Цель урока: познакомить учащихся с 2 способами приближенного вычисления площадей плоских фигур: с помощью палетки и формулы Пика, продолжать развивать навыки нахождения площадей различных четырехугольников, развивать графическую культуру учащихся, воспитывать потребность расширения мировоззрения.
Оборудование: таблица “Формула Пика”, модели четырехугольников различных видов для лабораторной работы, палетки.
ХОД УРОКА
I. Повторение.
У доски работают два человека по карточкам.
Карточка № 1.
Задача.
Вычислить площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, а длины их равны 8 см и 12 см.
Карточка № 2.
Задача.
Доказать: если диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, то его площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
В это время 4 учащихся выполняют индивидуальные задания на местах по карточкам.
Карточка № 3.
Найти площадь равнобокой трапеции, если меньшее основание 18 см, высота 9 см, а острый угол 450.
Карточка № 4.
Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый прямоугольный участок имеет стороны 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?
Карточка № 5.
Полкомнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета 30 см, а ширина 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?
Карточка № 6.
Вырезать из бумаги 2 равных прямоугольных треугольника и составить из них:
а) равнобедренный треугольник;
б) прямоугольник;
в) параллелограмм, отличный от прямоугольника.
Сравнить площадь полученных фигур.
Остальные учащиеся участвуют в проведении “Гимнастики ума”.
Гимнастика ума
- Площадь каких четырехугольников мы можем находить к сегодняшнему уроку?
- Как найти площадь параллелограмма, зная его сторону и высоту, проведенную к ней?
- Какие формулы для площади параллелограмма вам
еще известны (S = ab sin
; S = 1/2d1d2 sin)? - Укажите формулу площади прямоугольника.
- Какой из четырехугольников: прямоугольник или параллелограмм имеет большую площадь, если их стороны равны?
- Как вычислить площадь ромба?
- А как иначе найти площадь ромба?
- Вычислить площадь ромба с диагоналями 10 см и 12 см.
- Чему равна площадь трапеции?
- А как практически найти площадь четырехугольника, не являющегося ни одним из перечисленных четырехугольников (разбить на 2 треугольника).
- Можно ли для вычисления площади выпуклого четырехугольника применить другой подход?
Ответ на этот вопрос дает отвечающий у доски по карточке № 2, который комментирует решение задачи о нахождении площади выпуклого четырехугольника по его диагоналям и углу между ними.
Учитель: Кроме того, на прошлых уроках в ходе решения нестандартных задач мы познакомились с формулами для нахождения площади четырехугольника:
а) вписанного в окружность
S = 
(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),
p = (a+b+c+d)/2;
б) четырехугольника, который одновременно является и вписанным и описанным
S = abcd
Это формулы – аналоги формулы Герона.
I. За страницами учебника
Способы приближенного измерения площадей.
С помощью палетки.
Задача.
Можно ли очень точно определить площадь большого участка земли, имеющего форму четырехугольника?
Ответ.
Для этого используется метод приближенного нахождения площади. С помощью аэрофотосъемки получают карту этого участка с определенным масштабом. А затем с помощью палетки определяется площадь. Так, например, с помощью карты на уроке геометрии вы можете найти площадь государства, озера, какого-либо экономического района.
Этот способ определения площади применяется для любой фигуры, например, листа (в биологии это тоже приходиться иногда делать).
Считают количество полных квадратов (со стороной, например, 1 см), расположенных внутри фигуры, а затем считают число неполных квадратов.
Для нахождения площади к числу полных прибавляют половину числа неполных квадратов. Погрешность большая. Этой точности достаточно только в некоторых случаях.
А сейчас познакомимся с еще одним способом нахождения площади. Ученик рассказывает о формуле Пика.
II. Формула Пика
Пик Георг Александров (1859-1943 гг.) – австрийский математик открыл теоремы Пика, Пика – Жюлиа, Пика – Невалины, доказал неравенство Шварца – Пика.
Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник. Например, такой, как вы видите на рисунке 1 (Приложение № 1). Попробуем теперь рассчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты. Последовательно проводя вычисления получим, что площадь нашего многоугольника равна 20,5, если за единицу площади взять площадь одного квадрата клетчатой бумаги. Но если вспомнить, что сторона такого квадрата равна 0,5 см, а значит его площадь равна четверти квадратного сантиметра, площадь нашего многоугольника в квадратных сантиметрах будет равна 20,5/4 = 5,125 см2.
Использованный нами способ несложен, но очень громоздок, кроме того он годится не для всяких многоугольников. Так многоугольник на рисунке 2 (Приложение № 1) нельзя разбить на прямоугольные треугольники и прямоугольники, так как мы это проделали в предыдущем случае. Можно, например, попробовать дополнить наш многоугольник до “хорошего”, нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить описанным способом, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей. Однако оказывается, что есть очень простая формула, позволяющая вычислить площади таких многоугольников с вершинами в узлах квадратной сетки S = B + 0,5 Г – 1, где S – площадь многоугольника, выраженная в площадях единичных квадратиков сетки; Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника, а В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника. В нашем случае Г=7, В=18, S=18+3, 5-1 = 20,5.
Столь же просто сосчитать и площадь многоугольника на первоначальном рисунке: Г=12, В=11, S=11+6,1-1 = 16,0.
Формула, с которой мы познакомились, носит имя немецкого математика Пика, открывшего её.
S = В + Г/2 – 1
III. Лабораторная работа
(в группах по 5 человек).
I – II группа.
Каждому учащемуся учитель предлагает для выполнения задания произвольный четырехугольник.
- Определить площадь фигуры с помощью палетки.
- Выполнить на четырехугольнике необходимые построения и измерения и вычислить его площадь.
Сравнить полученные результаты.
III группа.
Площадь четырехугольника “по-вавилонски”.
- Древние вавилоняне вычислили площадь четырехугольника, перемножая полусуммы длин противоположных сторон. Можете ли вы установить, для каких четырехугольников такой способ вычисления дает правильное значение площади?
- Определите площадь этой фигуры с помощью палетки и путем разбиения на 2 треугольника.
- Каков в процентном отношении неточность измерения площади с помощью палетки по отношению к вычислению с помощью треугольников.
IV группа.
Площадь трапеции “по-египетски”.
Для вычисления площади равнобокой трапеции древние египтяне умножали полусумму длин оснований на длину боковой стороны. Какова в процентном отношении ошибка такого “египетского” способа для случая равнобокой трапеции с боковой стороной 20 см и основаниями 6 см и 4 см?
Найти относительную погрешность измерения с помощью палетки к точному определению площади.
IV. Итог урока.
Итак, на сегодняшнем уроке мы познакомились с некоторыми формулами нахождения площадей четырехугольников, методом приближенного нахождения площадей. Где используется измерение площадей?
V. Задание на дом.
- Повторить тему “Площади фигур”.
- Из предложенных 7 задач по-своему выбору решить 3 из них.
№ 1.
Сторона параллелограмма 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол 300. Найти площадь параллелограмма.
№ 2.
Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 9 м2, а его периметр равен 12 м.
№ 3.
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими часть стены, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м.
№ 4.
Найти сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м.
№ 5.
Начертить квадрат, принять его за единицу измерения площадей.
Начертить:
а) квадрат, площадь которого выражена
числом 4;
б) прямоугольник, площадь которого выражена
числом 4;
в) треугольник, площадь которого выражена числом
2.
№ 6.
Найти стороны прямоугольника, если его площадь 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой.
№ 7.
Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна стороне параллелограмма, равной 12 см. Найти площадь параллелограмма.