Занятие "В духе древнегреческой школы" по теме "Функции, их свойства и графики"

Цели урока (слайд 5)

1. Развивать умение анализировать, классифицировать, аргументировать.
2. Расширить кругозор учащихся об истории возникновения понятия “функция”, о древнегреческих мудрецах.
3. Развивать навыки общения, владение работой в паре, в команде, умение принимать решение.
4. Проверить способность к исследованию свойств функций и применению этих свойств к решению заданий на построение.
5. Воспитывать умение преодолевать трудности, способность к самостоятельной деятельности, самооценке.

Необходимое оборудование и материалы

1. Сигнальные карточки красного и синего цвета.
2. Карточки с номерами от 1 до 4.
3. Наборы трафаретов графиков функций каждому ученику.
4. Пластиковые модели графиков тригонометрических функций.
5. Компьютер, экран, проектор, презентация урока (приложение 1).
6. Раздаточный материал:
• Табель ответов – слайд 6 (рисунок 1)
• Карточки с таблицей 2 (слайд43) для игры “ Проще простого” (каждому ученику) (рисунок 16)
• Карточки с таблицей 3 (слайд59) для конкурса “Спешите видеть” (каждому ученику) (рисунок 18)
• Карточки для работы в расчётно-графическом состязании – табл.4 (одна карточка на двоих), (слайды 67,68) (рисунок 22)
• Карточки с готовыми координатными плоскостями на миллиметровой бумаге для графического турнира решения уравнений (каждому ученику)

Подробный конспект урока

Мотивация учащихся Проверка знаний по данной теме, которая проводится в соревновательной форме с конкурсными элементами и большим эмоциональным подъёмом.

Ход и содержание урока

Организационный момент (слайды 2-4)

Русское слово “школа” как и латинское “Schola”, происходит от греческого слова “??о??”, что означало о т д ы х, но не бездельный отдых, а отдых в смысле развлечения, соединённого с элементами не только о б щ е н и я с другими людьми, но и с о с т я з а н и я.

Мы проведём сегодняшнее занятие в духе той самой первой древнегреческой школы.

Мы тоже, как и они будем соревноваться в умственной, теоретической и практической деятельности. Все задания подобраны из материалов ЕГЭ прошлых лет по теме “Функции, их свойства и графики”.

Особенностью древнегреческой школы были положительные эмоциональные переживания. И мне очень важны ваши эмоции и ваше настроение. Именно поэтому я попрошу вас в конце урока ответить на следующие вопросы:

• Придал ли наш урок уверенность в своих возможностях?
• Получили ли вы удовлетворённость успехом?
• Открыли ли вы для себя способы овладения своим поведением?
• Помог ли вам урок оценить свои силы и свою готовность к сдаче экзамена по данной теме?

Количество заработанных баллов вы будете вносить в табель ответов (рисунок 1) (слайд 6)

I. Немного истории из уст ораторов ( слайд с 7 по10)

В древнегреческой школе очень ценилось искусство разговорной речи– ораторское искусство. Об истории возникновения понятия “функции” захотели нам рассказать Кристина, Катя и Алексей и продемонстрировать своё ораторское искусство.

1-й ученик:

– Термин “функция” ввёл немецкий математик Г. Лейбниц (1646-1716) (Рисунок 2) немца по национальности У него функция связывалась с графиком. С именами Л. Эйлера (1707-1783) (Рисунок 3) и И.Бернулли (1667-1748) (Рисунок 4) связано понимание функции как аналитического выражения, т. е. выражения, образованного из переменных и чисел с помощью тех или иных аналитических операций.

2-й ученик:

– Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах русского математика Н.И. Лобачевского (1792-1856) (Рисунок 5), немецкого математика П.Дирихле (Рисунок 6), и других учёных. В результате функцию стали рассматривать как соответствие между числовыми множествами: переменная у есть функция переменной х (на отрезке а ? х ? b), если каждому значению х соответствует определённое значение у, причём безразлично, каким образом установлено это соответствие: формулой, графиком, таблицей, словами.

3-й ученик:

– Одна из оригинальных функций, названная функцией Дирихле, выглядит так: (слайд 10)

График этой функции “разрывен” в каждой точке. Он состоит из прямой у = 1, у которой исключены все точки с иррациональными абсциссами. Дальнейшее развитие понятия функции связано с рассмотрением соответствий между множествами, элементами которых могут быть не только числа, но и объекты произвольной природы.

II. Математическая дуэль “Теоретическая”. (слайды 11-25)

– Философы древней Греции обучали учеников на занятиях, которые проводили в форме бесед и споров (диспутов).

Каждый из вас приготовил вопрос по теории функций и готов сразиться в математической дуэли знатоков функций.

Ученик подходит к компьютеру и выбирает произвольный номер на экране (номер соответствует определённому сопернику, с которым он и будет состязаться в знаниях теории).

Если они ответили верно, то оба получают по 1 баллу. Кто выйдет следующий определяет учитель, выбрав один из оставшихся номеров, соперника для себя ученик выберет таким же образом.

Вопросы учащихся для математической дуэли:

1. Дать понятие обратимой функции.
2. Что нужно сделать для нахождения обратной функции, если обратимая функция y=f(x) задана формулой?
3. Как найти область определения и множество значений обратной функции?
4. Всякую ли функцию можно задать формулой? Если нет, то привести пример такой функции.
5. Всякая ли формула выражает функцию? Если нет, то привести пример такой формулы.
6. Какие ты знаешь способы задания функции?
7. Дай понятие нечётной функции.
8. Что является достаточным условием существования обратной функции?
9. Как расположены графики исходной и обратной ей функции?
10. Дай понятие чётной функции.
11. Дай понятие периодической функции.
12. Какую особенность имеет график чётной функции и её область определения?
13. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

III. Разминка “Гимнастика ума” (неоцениваемый этап урока) (слайды 26-38)

– Перед любыми серьёзными соревнованиями нужна разминка. Проведём и мы “гимнастику ума”. Если вы согласны с моим утверждением, то поднимаете зелёную карточку, а если нет, то красную. За разминку баллы не ставятся

IV. Графический турнир решения уравнений (с помощью трафаретов графиков функций) (слайды 39-41)

Очень многие встречающиеся в математике задачи сводятся к составлению и решению уравнений. Однако весьма ограничено число тех или иных типов уравнений, которые возможно решить точно тем или иным определённым способом. Графический способ позволяет решить любое уравнение (в пределах возможности построения графиков), хотя и приближённо, но очень быстро, в чём и заключается его значимость.

А кто из вас лучше всех владеет этим способом, позволит нам узнать турнир решения уравнений. Для каждого из вас приготовлены трафареты необходимых графиков. С помощью них и миллиметровой бумаги вы должны выполнить следующие задания.

Задание: Решить уравнения (графически)

1. х³ + х + 2 = 0;
2. – х² + 1 = lg х;
3. (1/2)^х = log₂(х+2);
4. f(x) = x², если f(x) =

V. Игра “Проще простого” (слайды с 42 по 57)

Цель игры: знакомство с новыми математическими терминами.

На слайде появляется слово и три его возможных значения, одно из которых подчёркнуто.

Если учащиеся согласны с этим значением слова, то в таблице (Рисунок 16) ставят Х, а если не согласны – 0.

Критерии оценивания:

11,12заданий – 3 балла

9,10 заданий – 2 балла

6,7,8 заданий – 1 балл

Взаимопроверка (Рисунок 17)

• 1.Кохлеоида – кривая линия. ПЛОСКАЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ КРИВАЯ, ИМЕЮЩАЯ БЕСЧИСЛЕННОЕ МОЖЕСТВО ВИТКОВ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ПОЛЮС И КАСАЮЩИХСЯ ОСИ.
• 2.Лемминг – мышь
• 3.Локсодрома – кривая линия. ЛИНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ВСЕ МЕРИДИАНЫ ПОД ПОСТОЯННЫМ УГЛОМ.
• 4.Ирбис – снежный барс
• 5.Обсидиан – вулканическая горная порода
• 6.Лемниската-плоская кривая, ИМЕЮЩАЯ УРАВНЕНИЕ R²=A²COS2?
• 7.Директриса-женщина-директор. Директриса параболы x²=2py –это прямая линия у = – р/_2.
• 8.Клофоида – кривая линия. ЭТО ПЛОСКАЯ ТРАСЦЕНДЕНТНАЯ КРИВАЯ, КОТОРУЮ НАЗЫВАЮТ СПИРАЛЬЮ Л. ЭЙЛЕРА, У КОТОРОГО ОНА ВПЕРВЫЕ ВСТРЕЧАЕТСЯ. КЛОФОИДА ШИРОКО ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В ПРАКТИКЕ РАСЧЁТА ДИФРАКЦИИ СВЕТА.
• 9.Кошара – помещение для овец.
• 10.Аверс – лицевая сторона медали.
• 11Циклоида – кривая линия. Имеет координаты х=аt-a sint , y=at-аcost
• 12Конхоида– кривая линия. Конхоида Никомеда-плоская алгебраическая кривая. Названа по имени Никомеда 3 в. до н. э.

VI. Конкурс “Спешите видеть” (слайды с 58 по 63)

Задание
1) На одном из вариантов (слайд 60) изображён график данной функции (Рисунок 20).
Укажите номер этого рисунка и выпишите букву, соответствующую этому числу из таблицы (слайд 59) на рисунке 18.

2) Если все ответы верны – у вас получится имя греческого государственного деятеля, законодателя, первого известного афинского поэта, причисленного к Семи мудрецам света. Критерии оценивания на слайде 61(Рисунок 19)

Ответ: 2 – С; 5 – о; 12 – л; 13 – о; 17 – н. Итак, это Солон (Рисунок 21)

Афоризмы, цитаты Солона

• Законы подобны паутине: если в них попадается бессильный и легкий, они выдержат, если большой – он разорвет их и вырвется.
• Во всем нужна мера.
• Только тогда принимай в руки власть, когда научишься повиноваться.
• Кто для многих страшен, тот должен многих бояться.
• Упрекай друга наедине, хвали – публично.

VII. Расчётно-графическое состязание (работа в парах)

“Одна голова хорошо, а две – лучше” (Слайды с 64 по 74)

-Мы проведём это состязание в парах. Как говориться “Одна голова хорошо, а две – лучше”. Вам необходимо построить 4 графика функций, обратных данным и выполнить 5 заданий на нахождение обратной функции, её области определения и множества значений. Каждая пара получает одно задание на двоих – нужно заполнить таблицу. (Рисунок 22)

Победившей в состязании паре и выполнившей правильно все 9 заданий будет предоставлено почётное право открыть все 9 букв. В табель за каждое верно выполненное заданий 1 балл.

В состязании 9 заданий и 9 букв в фамилии человека, прославившегося своей мудростью. По матери он грек, а по отцу — скиф. Кто же это? Назвавшему имя – дополнительный балл за догадку и эрудицию (для подсказки предлагаются 9 букв, из которых состоит имя мудреца)

В поисках знаний он приехал в Афины, чтобы поучиться у мудреца Солона, и через раба передал ему такие слова: “Я хочу видеть тебя и стать твоим другом”. Солону это не понравилось, и он велел сказать юноше: “Друзей принято приобретать у себя на родине, а не искать их в чужих землях”.

Вопрос: Как вы думаете, как ответил этот человек, что Солон, поражённый его быстрым умом, велел впустить его и вскоре стал ему другом? (1 балл)

Ответ: На нелюбезное приветствие Солона “Друзей принято приобретать у себя на родине, а не искать их в чужих землях” Анахарсис (Рисунок 23) не растерялся и ответил: “Солон, ты ведь у себя на родине, почему бы тебе не завести друга?”

Греки считали Анахарсиса одним из Семи мудрецов света и записали некоторые его изречения, его влияние на культуру древней Греции было значительным.

Вопрос: Как вы думаете, что мог ответить такой мудрец на вопрос, что у человека одновременно хорошее и плохое? (Ответ: “Язык”)

Вопрос: Как вы думаете, что мог ответить Анахарсис на вопрос, какие корабли самые безопасные? (Ответ: “Те, что вытащены на берег”.)

Критерии оценивания (каждому из пары):

За каждое правильно выполненное задание – 1 балл

Назвавшему имя мудреца -1 балл

Угадавшему, что ответил мудрец – 1 балл

VIII. Эстафета “Преобразование графиков” (слайды с 75 по 78)

(работа по командам у доски с помощью пластиковых моделей графиков тригонометрических функций)

Подготовка к эстафете (Рисунки 24-29)

Задание для I команды: построить график функции у = | 1 – 2соs(х + 1)|

Задание для II команды: построить график функции у = | – 3sinх/2 – 1|

Каждому из победившей команды по 3 балла. Правильные ответы на рисунках 30 и 31

IX. Графический диктант

“Дальше, дальше…” (слайды с 79 по 89)

Проверка с помощью карточек с цифрами от 1 до 4.

Кто был учеником Сократа (Рисунок 35) и учителем Аристотеля (Рисунок 37)?

Это вы узнаете, ответив на мои 6 вопросов. Выполнив задание, поднимите карточку с той цифрой, под которой правильный ответ. Не забудьте выписать эти цифры. У вас должна получиться комбинация из 6 цифр. У кого эти цифры окажутся верными, тот и назовёт имя человека, который был учеником Сократа и учителем Аристотеля, воспользовавшись ключом к ответу (слайд 87) (Рисунок 32)

Задание1 Найдите наименьший положительный период функции

y=sin2cos ?x/4 + cos2sin ?x/4

1) 2/ ?; 2) 4; 3) 6 ?; 4) 8

Задание 2. Найдите наименьший положительный период функции y = 5 – tg(x/2 + ?/3)

1) 2?; 2) 3?; 3)1/2 ?; 4)1/3 ?

Задание 3. Наименьшее значение функции y = 2х² + 8х равно:

1) 2; 2) 4; 3) – 8 ; 4) 8

Задание 4. Найдите асимптоты дробно-линейной функции у = :

2) х = 3; у = 2; 2) х = – 3; у = – 2; 3) х = 6; у = -5 ; 4)х = 3; у = – 2

Задание 5. Написать уравнение прямой по графику (Рисунок 33)

1) у = 4х + 4; 2) у = x + 4; 3) y = x – 3; 4) y = x – 3

Вопрос 6 Составить уравнение параболы у = х² + bх + с (Рисунок 34)

1) у=х² + 2х – 1; 2) у = х² – 3х + 1; 3) у = х² – 2х – 1; 4) у = х² + 2х + 1

Крупнейшими учёными в Афинах V и IV вв. до н. э. были Сократ, Платон и Аристотель. Об учении Сократа написал его лучший ученик — философ Платон (Рисунок 36) Он преподавал в роще, которая была посвящена знаменитому герою Академу. Поэтому школа Платона получила название “Академия”. Это слово сохранилось до наших дней. Так теперь называют высшее научное или учебное заведение. В различных Академиях страны учатся ребята, закончившие наш лицей (перечислить в каких). Учеником Платона был Аристотель,

X. Итог

Проверка и оценивание. На каждом этапе урока свои критерии оценивания, выраженные в баллах, которые потом ссумируются и выставляется итоговая оценка за весь урок:

29-34 балла – “5”; 21-28 баллов – “4”; 14-20 баллов – “3”.

Рефлексия деятельности на уроке.

В конце урока ответы на вопросы, поставленные в начале урока.

Рисунки

Презентация