При обучении школьников решению задач учитель сталкивается с некоторыми проблемами. Многие учащиеся, даже старших классов не умеют анализировать условие трудных задач, осуществлять поиск решения, тем более поиск и оформление нескольких способов решения.
Рассмотрим модель развития комбинаторно-логического мышления в процессе решения задач (Рис.1. Приложение1.).
По словам Л.М. Фридмана "решить математическую задачу- это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения) получаем то, что требуется в задаче,- ее ответ".
В связи с этим предметом специального усвоения должны стать приемы поиска решения задач.
Особый интерес в нашем исследовании представляет характеристика решения задач, данная С.Л. Рубинштейном как ":процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их соотнесения".
На основе изученного опыта решения математической задачи (Д.Пойа, Л.М. Фридман, В.А. Гусев и др.) представим собственную модель процесса решения задачи.
Заметим, что в "Модель процесса решения задачи" включен не только алгоритм поиска и решения самой задачи (такой направленности модели описаны у Д.Пойа, Л.М.Фридмана), но и творческий, рефлексивный компоненты, осуществляемые после решения.
Рассмотрим модели трех ключевых типов задач.
Логические задачи
Алгоритм решения задач по теме "Математические софизмы":
- изучить содержание задачи, вычленить условия, требования к задаче.
- уточнить уровень математических знаний, необходимый для ее разрешения (содержательный компонент);
- поиск пути решения задачи:
- провести поиск скрытой ошибки (с помощью перехода на другие формы записи производимых математических преобразований;
- или рассмотрение тонкостей теоретического обоснования того или иного перехода в математических действиях);
- анализ решения задачи (обоснование скрытой ошибки (критический компонент));
- соотнесение задачи, скрытой ошибки с личным опытом (рефлексивный компонент);
- при необходимости выявить творческий компонент учащихся за счет разработки софизмов на основе разобранных, а также самостоятельное знакомство с другими видами софизмов.
Рассмотрим пошаговую работу над задачей
Задача № 1. Где ошибка?
Рассмотрим очевидное равенство:
(2 - 2,5)2 = (3 - 2,5)2
Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:
2 - 2,5 = 3 - 2,5
Прибавляем к обеим частям этого равенства по 2,5, получаем, что 2 = 3. Где ошибка?
Схема рассуждений и ход решения
Шаг 1. Использование разработанного алгоритма решения.
Шаг 2. Суть ошибки.
Выявляем, какое правило математики было нарушено.
При извлечении корня квадратного из обеих
частей возможного равенства получаем неверный
результат. Так как при любом значении а
справедливо 
=
|а|, то правильным следствием должно быть
верное равенство |2 - 2,5| = |3 - 2,5|, а из него следует
|-0,5| = |0,5|, а вовсе не равенство 2 - 2,5 = 3 - 2,5.
Замечание: Работа с парадоксальными выводами ярко оттачивает одно из важных свойств алгебры.
Комбинаторные задачи
Неупорядоченные перестановки, размещения, сочетания
Перестановки - это комбинации или соединения из n элементов, содержащие все элементы и считающиеся различными, если отличаются порядком элементов.
Размещения из n элементов по k - это комбинации или соединения, содержащие k различных элементов и считающиеся различными, если отличаются либо своими элементами, либо порядком элементов.
Сочетаниями из m элементов множества A по n элементов называются соединения, содержащие n элементов, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком.
Алгоритм определения различий между понятиями "сочетание" - "размещение":
- вычленение основного множества;
- вычленение из основного множества нескольких элементов;
- сравнение множеств вычлененных элементов с различными вариантами перестановок;
- осуществление необходимого вывода о важности (последовательность) или неважности (подмножество) перестановок в образованных множествах вычлененных элементов;
- осуществление окончательного вывода:
- порядок не важен - подмножество вычлененных элементов - понятие "сочетание";
- порядок важен - последовательность вычлененных элементов - понятие "размещение".
Задача № 2. Сколькими способами можно разместить во время проведения итоговой аттестации по алгебре 15 учащихся девятого класса за пятнадцатью столами так, чтобы за каждым столом сидело по одному ученику.
Решение. Воспользуемся определение и формулой перестановок.
Р15 = 15!= 1307674368000
Задача № 3. Организаторы городской математической олимпиады для учащихся 9-11 классов решили ввести оригинальное определение числа участников и номера кодировок их выполненных работ. Чтобы узнать, какое количество участников необходимо пригласить на конкурс, нужно вычислить все возможные варианты трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждая цифра в числе использовалась единожды.
Решение. Шаг 1. Вычленение основного множества.
А - множество всевозможных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждая цифра в числе использовалась единожды.
Шаг 2. Вычленение из основного множества нескольких элементов.
Выберем, например, три цифры - 1, 3, 4.
Шаг 3. Сравнение множеств вычлененных элементов с различными вариантами перестановок: {1, 3, 4}; {1, 4, 3} или {4, 3, 1} и т.д.
Шаг 4. Осуществление необходимого вывода о важности (последовательность) или неважности (подмножество) перестановок в образованных множествах вычлененных элементов.
В данной задаче перестановка цифр задает различные числа, следовательно, важен порядок расположения элементов, т.е. каждой цифре присваивается свой личный номер, значит, выборочные элементы задают последовательности.
Шаг 5. Осуществление окончательного вывода: Порядок важен - последовательность вычлененных элементов - понятие "размещение". При решении этой задачи используем формулу размещений.
А
Ответ: 60 участников.
Задача № 4. Школьному координатору по проведению итоговой аттестации учащихся 11 классов необходимо разместить в период с 1 по 10 июня три экзамена из семи, которые были определены выбором учащихся.
Решение. В данной задаче, например,
геометрия, физика, химия и всевозможные
перестановки являются одним вариантом, то для
решения воспользуемся формулой сочетаний. 
Ответ: 35 вариантов.
Алгоритм решения задач по теме "Метод включения и исключения"
- изучение содержания задачи;
- выдвижение гипотезы (гипотез) поиска решения;
- осуществление логических рассуждений, связанных с нахождением числа общих элементов всех рассматриваемых множеств, а также числа общих элементов возможных переборов этих множеств: по два, три множества и т.д.;
- проверка выдвинутых гипотез других способов решения (критический компонент);
- осуществление решения при помощи формулы метода включения и исключения (в зависимости от числа рассматриваемых множеств);
- обсуждение результатов и соотнесение с собственным опытом (рефлексивная составляющая)
- обсуждение дополнительных вопросов к задаче на усиление логической составляющей (логическая составляющая);
- составление и решение аналогичных задач (творческий компонент).
Задача № 5. Каждый ученик физико-математического класса посещает элективный курс или по математике, или по физике, или оба курса. Элективный курс по математике посещают 18 учащихся, а по физике - 19 учащихся, причем 14 человек посещают оба курса. Сколько учащихся в физико-математическом классе?
Схема рассуждений и ход решения
Шаг 1.Введем обозначения. А - множество
учащихся, посещающих ЭК по математике, буквой В -
множество учащихся, посещающих ЭК по физике. N(A)=18,
N(B)=19, N(А
В)=14.
Шаг 2. Множества А и В имеют общие элементы, т.
е. АВ = 14.
Шаг 3. Число учащихся, посещающих только ЭК по математике равно 4 (18 - 14 = 4), число учащихся, посещающих ЭК по физике равно 5 (19 - 14 = 5).
Шаг 4. Общее число слушателей двух курсов равно сумме участников ЭК только математики, только физики и слушателей, посещающих оба курса, то есть равно 4+5+14=23.
Шаг 5. Вычисление числа учащихся (другим способом) с применением формулы метода включения и исключения.
N(A 
В) =
N(А) + N(В) - N(А
В)
= 18 + 19 - 14 = 37 - 14 = 23.
Ответ: в физико-математическом классе 23 ученика.
Основные методы решения математических задач
Рассмотрим методику изучения основных методов решения математических задач
Формирующий этап. Через разработку моделей известных учащимся специальных методов и их применения осуществляем переход к проблемной ситуации - к выходу на основные методы. На основе работы в проектном режиме и результатов работы в проекте вырабатывается новая модель (на основе известных) основных методов, разбираются основные характеристики метода, демонстрируются образцы применения каждого метода.
Абстрагирующий вариант. Узнавание метода, применение их в задачах - первый этап абстрагирования. Вторым этапом абстрагирования будем считать реализованным, если ученик осуществляет применение изученного метода в житейских ситуациях.
Анализ и синтез
Алгоритм решения задач по теме "Анализ и синтез"
- изучение содержания задачи;
- вычленение пунктов условия, требования;
- на основе теоретических сведений по каждому из условий делаются выводы;
- соотнесение каждого вывода (пункт 3) с содержанием задачи, с тем, что необходимо найти (доказать);
- выполнение необходимых дополнительных условий (дополнительные построения, обозначения и т д.);
- проверка выдвинутых способов
- решения (критический компонент);
- осуществление решения;
- обсуждение результатов и соотнесение с собственным опытом (рефлексивная составляющая)
- обсуждение дополнительных вопросов к задаче;
- составление и решение аналогичных задач, поиск других путей решения исходной задачи (творческий компонент).
Задача № 6 (НГУ-1996 г.) Сочетание методов: анализ, синтез, перебор, аналогия.
Папа Карло выстрогал Буратино и отправил его в школу, дав ему на букварь несколько рублей, не более 30 штук. Буратино продал все рубли коллекционерам по 150 сольдо за каждый. Пять сольдо он сунул себе за щеку, не более трех закопал на поле Чудес, а на оставшиеся купил хлеба по цене 51 сольдо за корочку. Сколько корочек хлеба купил Буратино?
Решение:
Шаг 1. Вычленение условий, требований к задаче.
Шаг 2. Введение обозначений.
Обозначим за х- количество рублей, которые дал папа Карло Буратино.
По условию задачи х
30, х
N . Пусть у-
закопанные на поле чудес сольдо.
По условию задачи у=0 или у= 1, или у= 2, или у=3.
Пусть z- количество купленных корочек хлеба,
где z N.
Шаг 2.Составление уравнений по условию задачи.
Шаг 3. Поиск решения уравнения с тремя неизвестными.
1) Проведем небольшие преобразования в уравнении, которые не нарушают его равносильность
2) Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки
3) Так как левая часть уравнения делится на 3 (потому что один из множителей равен числу 3), то и правая часть уравнения должно делиться на 3. Разделим обе части уравнения на 3.
Шаг 4. Применение метода перебора.
Осуществим метод перебора
При у=0, у=2, у=3 правая часть получается дробным выражением, что не подходит под наше условие задачи. Левая часть- целое число, так как х и z- натуральные числа.
При у=1, правая часть равна 2, что, конечно же, нас устраивает.
Шаг 5. Перейдем к дальнейшему решению равносильного уравнения, применяя метод аналогии.
Преобразуем уравнение
Повторим шаг, аналогичный шагу 3.
Поделим обе части уравнения на 17.
Учитывая, что х N, осуществим
перебор натуральных значений х, которые
будут удовлетворять условию задачи.
х=15; 32; 49 и т.д. Но так как х30, то условию удовлетворяет только х=15.
Шаг 6. Найдем значение z.
При х=15 получаем, 45-z =1. Отсюда z=44.
Ответ: Буратино купил 44 корочки хлеба.
Шаг 7. (творческий компонент) Составление задач с измененными данными, с добавочными условиями.
Шаг 8. (частично-поисковый метод) Решение схожих задач в парах, группах
Образцы задач:
Купил Роман раков, вчера-мелких, по цене 51 рубль за штуку а сегодня- по 99, но очень крупных. Всего на раков истратил 2520 рублей, из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 16 до 20 рублей. Сколько Роман купил раков вчера и сколько сегодня?
У Фрола было мыло, не менее 6 кусков, а у Прокла- шилья, не более 30 штук. Столковались они считать каждое шило за 87 рублей, а кусок мыла- за 45, да и поменялись. Прокл отдал Фролу все свои шилья и забрал у него все мыло. Сколько мыла выменял Прокл, если Фрол доплатил Проклу 33,5 рублей и остался ему должен не более 5 рублей?
Шаг 9. Рефлексия. Обсуждение общих шагов решения задач на сочетание методов (анализ, синтез, перебор, аналогия).