Общие методы преобразования уравнений

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

  • обобщить и углубить знания по теме;
  • сформировать представление о методах и способах решения алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;
  • формирование навыков умственного труда;
  • развивать качества мышления: гибкость, рациональность, критичность;
  • развитие внимания, логического мышления, аргументированной математической речи, самостоятельности, познавательной активности;
  • воспитание ответственности, воли, упорства в достижении поставленной цели, умение контролировать внимание на всех этапах урока.

Оборудование: кодоскоп, слайды, доклады-сообщения учащихся.

Тип урока: урок формирования знаний, умений и навыков.

Формы обучения: общеклассная, групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практические задания, самостоятельная деятельность, проблемно-поисковый.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Мотивационная беседа с учащимися пропедевтической направленности через осознание ими практической значимости изучаемых и применяемых знаний, умений и навыков.

Эпиграф урока: «Час, затраченный на понимание, экономит год жизни». (В. Босс)

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Работа по основным определениям, понятиям, относящимся к уравнениям (вопросы, составленные на основе курса лекций 1-4 «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автора П.В. Чулкова, М. Шабунин «Уравнения» – библиотека приложения к газете 1 сентября, дополнительные главы по курсу математики 10 под редакцией З.А. Скопеца);

2. Ответить на вопросы:

– Верно ли, что 5х = 10 х2 = 8 на множестве действительных чисел, на множестве рациональных чисел?
– Верно ли, что 2х = 10 5х = х2?

3. Алгоритм решения уравнения или как мы решаем уравнения?

III. Решение уравнений

Рассмотрим наиболее часто встречаемые преобразования уравнений.

а) разложение на множители (или расщепление уравнений):

1. х3 – 4х2 – 16х + 64 = 0
(х3 – 4х2) – (16х – 64) = 0
х2(х – 4) – 16(х – 4) = 0
(х – 4)(х2 – 16) = 0
(х – 4)2(х + 4) = 0
х1 = 4 или х2 = – 4

Ответ: + 4.

2. х3 + х – 10 = 0 (заслушать предлагаемые учащимися способы)
х3 + х – 8 – 2 = 0
(х3– 8) + (х – 2) = 0
(х – 2)(х2 + 2х + 4) + (х – 2) = 0
(х – 2)( х2 + 2х + 5) = 0
(х – 2) = 0 или х2 + 2х + 5= 0
х1 = 2 т.к. D = –16 < 0? то уравнение корней не имеет (здесь и далее имеется в виду множество действительных чисел).

Ответ: 2.

3. (используем метод разложения, применённый нами в предыдущем уравнении и решим данное) ОДЗ: х =/= 0.

, решая, получим:
Ответ: ; .

б) замена переменной в уравнении (или метод введения нового неизвестного):

– Какова суть метода? (Разбить уравнение на подуравнения).

Решите уравнение:

1. (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) = 12 (Заслушать предлагаемые учащимися способы. Очевидно, что ученики предложат выполнить умножение многочлена на многочлен)

– А какова степень уравнения? А нет ли более рационального способа решения? Посмотрите, как «звучит» способ в заголовке? Что вы заметили?

Возможны варианты: x2 + x = t или x2 + x + 1 =   t

Решение:

Пусть x2 + x + 1 = t
Тогда t (t + 1) = 12
t2 + t – 12 = 0, получаем t1 = – 4; t2 = 3.
Отсюда: х2 + х + 1 = – 4 или х2 + х + 1 = 3
х2 + х + 5 = 0 х2 + х – 2 = 0
т.к. D = –19 < 0, то D => 0 корней нет.
Т.к. сумма коэффициентов a + b + c = 0, то х1 = 1; х2 = c/a х2 = – 2

Ответ: 1; – 2.

2. Используйте этот приём для решения следующего уравнения:

; ОДЗ: х =/= 0, х =/= – 4, х =/= – 2.
Запишем уравнение иначе:
Пусть x2 + 4x = t, тогда
Получим: 1 . 5(t + 4) – 1 .   t . 5 = 4 . t . (t + 4)
5t + 20 – 5t = 4t2 + 16t
4t2 + 16t – 20 = 0
t2 + 4t – 5 = 0 D = 36 > 0  2 корня. По сумме коэффициентов: 1 + 4 – 5 = 0 имеем: t1 = 1; t2 = c/a t2 = – 5. Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения с переменной t.
Отсюда: x2 + 4x = 1 или x2 + 4x = – 5
x2 + 4x – 1 = 0 x2 + 4x + 5 = 0
D = 20 > 0 2 корня т.к. D = – 4 < 0, то корней нет.

Ответ:

3. Решите уравнение:

(х2 + 3х + 3)(х2 – 2х + 3) = 24х2

(Посмотреть на реакцию учащихся)
Для введения новой переменной «мешает» х2 в правой части, нет никакого смысла применять замену х2 = t. Как же преобразовать уравнение? Причём так преобразовать, чтобы правая часть не содержала х2. (как в уравнении 1) этого метода) Выслушать мнение учащихся. Достаточно разделить почленно уравнение на х2, т.к. х = 0 не является корнем данного уравнения!

(х2 + 3х + 3)(х2 – 2х + 3) = 24х2 х2 =/= 0

Вот теперь пусть , тогда (t + 3)(t – 2) = 24
t2 + t – 30 = 0, получаем: t1 = – 6; t2 = 5.
Отсюда: = – 6 или = 5
х2 + 6х + 3 = 0 или х2 – 5х + 3 = 0
D = 24 > 0 2 корня D = 13 > 0 2 корня

Ответ: ; .

4. А вот ещё одно очень интересное уравнение:

(х – 1)4 + (х + 3)4 = 82

–1 и + 3 можно представить в виде сумм, одно из слагаемых которых будет 1 : – 1 = – 2 + 1 и 3 = 2 + 1.
Тогда х – 1 = х – 2 + 1 = (х + 1) – 2
х + 3 = х + 2 + 1 = (х + 1) + 2, получим уравнение:
((х +1) – 2)4 + ((х +1) + 2)4 = 82, пусть х + 1 = t,
Тогда (t – 2)4 + (t + 2)4 = 82.

На первый взгляд, новое уравнение не отличается принципиально от данного: мы получили четвёртую степень двучлена, но вторые слагаемые двучлена отличаются только знаками, что намного упрощает конечный вид и преобразования полученного уравнения.

В результате преобразований получается биквадратное уравнение относительно переменной t: t4 + 24 t2 – 25 = 0; пусть t2 = y, тогда y2 + 24y – 25 = 0

Корни этого уравнения 1 и – 25.
Отсюда: t2 = 1 или t2 = – 25
t1,2 = ± (<0)
t1,2 = ± 1 нет корней
т.е. х + 1 = 1 или х + 1 = – 1
х1 = 0 х2 = – 2 Ответ: 0; – 2.

IV. Работа с кодоскопом

Кодопозитив (устный комментарий учителя)

V. Доклад-сообщение учащихся: «Абу Райхан Беруни и его математические труды» (практическая арифметика и алгебра) стр. 52; 70 из серии «Люди науки», авторы Сираждинов С.Х., Матвиевская Г.П., Москва «Просвещение» , 1978 год.

VI. Рассмотрим решение ещё некоторых видов уравнений

1. Определение

Уравнение вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + …+ a2x2 + a1x + a0 = 0, где коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Свойства симметрических уравнений:

а) если дано уравнение нечётной степени, то х = – 1 – корень уравнения;
б) уравнение чётной степени 2n с помощью подстановки v = x + 1/x сводится к уравнению степени n.

Рассмотрим решение на конкретном уравнении:

2х5 + 5х4 – 13х3 – 13х2 + 5х + 2 = 0 да, по определению это симметрическое уравнение нечётной степени. Значит х = – 1 – корень исходного уравнения; разложим его на множители:
(х + 1)(2х4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2) = 0;
работаем со вторым множителем:
2х4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2 = 0 ¦: х2 =/= 0 2х2 + 3х – 16 + 3 . 1/х + 2 . 1/х2 = 0.
Группируем: 2(х2 + 1/х2) + 3(х + 1/х) – 16 = 0. Пусть х + 1/х =, тогда х2 + 1/х2 = t2 – 2,
отсюда: 2(t2 – 2) + 3t – 16 = 0 и далее 2t2 + 3t – 20 = 0,
решая это уравнение, получим: t1= – 4 и t2 = – 5/2; откуда х + 1/х = – 4 или х + 1/х = – 5/2.
Решая эти уравнения, получим: х1,2 = – 2 ± img3.gif (230 bytes), х3 = 2, х4 = 1/2.

Ответ: – 1, – 2 ± img3.gif (230 bytes), 2, 1/2.

2. Определение. Уравнение вида a0(u(x))n + a1(u(x))n – 1v(x) + a2(u(x))n – 2(v(x))2 +…+ ak(u(x))n – k(v(x))k +…+ a0(v(x))n = 0 называют однородным уравнением степени n относительно u(x) иv(x).

Решите уравнение: (х – 2)2(х + 1)2 – (х – 2)(х2 – 1) – (х – 1)2 = 0
Пусть u = (х – 2)(х + 1) и v = х – 1, получаем: u2 – uv – 2v2 = 0.
Рассмотрим все возможные случаи:

а) v = 0, тогда х = 1, но 1 не является корнем исходного уравнения (была проверка!);
б) v =/= 0, тогда заменой p = u/v получаем уравнение: p2 – p – 2 = 0, откуда p1 = –1, p2 = 2. т.е.
Решаем эти уравнения, получаем: х1 = 0; х2 = 3; х3,4 = + .

Ответ: 0; 3; + .

VI. Итог урока

Рефлексия: беседа с учащимися о занятии, что необходимо школьнику, чтобы заметить тот или иной приём, рациональный в данном конкретном случае, что было трудно, какой приём требуется ещё повторить?

VII. Домашнее задание:

Решите уравнения:

  • х4 + (1 – х)4 = 1/8;
  • (х + 2)(х – 3)(х – 1)(х + 6) = 40х2
  • х2(х – 1)2 + х(х2 – 1) = 2(х + 1)2.

Проверочная работа.

1) Равносильны ли уравнения

2) Какое из двух уравнений является следствием другого: х2 = 9 или х = 3?

3) Решите уравнения:

  1. х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0;
  2. х6 – 9х3 + 8 = 0;
  3. (х2 – 6х)2 – 2(х – 3)2 = 81;
  4. х(х + 3)(х + 5)(х + 8) = 10;
  5. х4 – 4х3 + 5х2 – 4х + 1 = 0;
  6. ;
  7. (х2 + х + 4)2 + 8х(х2 + х + 4) + 15х2 = 0;
  8. .

Ответы:

1) нет,
2) первое,
3)

  1. 1; 2; 3,
  2. 1; 2,
  3. 3; 3 + 2,
  4. – 4 + ,
  5. ,
  6. 0,
  7. – 2; – 3 + ,
  8. 7 + .