Функция в астрономии

Объявление: Презентация, составленная к разделу «Функция в астрономии», может использоваться как составляющая часть комбинированного урока в качестве пособия с применением телекоммуникационных технологий для занятий по программе элективного курса «Астрономия в цифрах и образах» и на уроках астрономии и физики.
В процессе подготовки презентации по данной теме принимал участие Сафонов Александр, учащийся 10 физико-математического класса в качестве творческого занятия по данной теме.

1. Историческая справка: свет идей Декарта.

Цель: показать использование функциональной зависимости в астрономии.

Задачи занятия:

• способствовать развитию логического мышления и умения работать с информацией в новых условиях;
• обобщить и углубить астрофизические понятия о методах астрономии.

Оборудование: портреты учёных, фотографии небесных тел и телескопов, презентация (Приложение 2).

На представленном занятии презентация используется как составляющая часть комбинированного урока.
Звёзды и планеты, спутники звёзд и планет, галактики и межзвёздное пространство – и при чём здесь математика?
Но, как образно, заметил Галилео Галилей (1564 – 1642) – физик, математик, астроном, – книга природы написана языком математики и без него тщетно блуждание в бесконечном лабиринте космоса (Приложение 2. Слайд 2). Следует сказать, что первоначально Галилей видел свою задачу в том, чтобы математезировать физику Аристотеля: "Философия написана в величайшей книге, которая постоянно открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); но нельзя её понять, не научившись сперва понимать язык и различать знаки, которыми она написана. Написана же она языком математическим, и знаки её – суть треугольники, круги и другие математические фигуры". Математическим языком Вселенной является функция.
Функция – это математический портрет устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Однако впервые функция вошла в математику под именем "переменная величина" в знаменитом труде "Геометрия (1637 г.)" французского учёного, математика и философа Рене Декарта (1596-1650). Декарт исходил из того, что математика должна быть образцом для всякой другой науки. Он внёс движение в математику. Главным вкладом Декарта в математику было утверждение, что кривая может полностью выражаться в уравнении, связывающем значение координат её точек с неподвижными осями. Система координат, связанная с именем Декарта, всем хорошо известна. Введение координат позволяет определить положение точки при помощи одного числа (х); на плоскости – с помощью двух чисел (х,у); в пространстве – с помощью трёх точек – (х, у, z). Идея координат зародилась в науке Вавилона и Греции в связи с потребностями географии, астрономии и мореплавания. Ещё во II в. до н.э. Гиппарх предложил определять положение точки на земной поверхности с помощью географических координат – широты () и долготы (), выражаемых числами. В 14 веке француз Оресм (1323-1382) перенёс эту идею в математику, предложив покрывать плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой числа, характеризующие положение точки на этой сетке. Наконец, только в 17 веке Декарт увидел и реализовал возможность записи геометрических фигур – линий на координатной плоскости с помощью алгебраических уравнений. Система координат находит широкое применение при определении многих величин, особенно широко используется в физике, астрономии и космонавтике.
В астрономии Декарт известен как автор космогонической гипотезы образования Солнечной системы. Но Декарт не смог сформулировать законы планетных движений, поэтому его гипотеза не получила дальнейшего развития. Отмечая заслуги Декарта, Христиан Гюйгенс написал стихи "На смерть Декарта": (Приложение 2. Слайд 3)
Декарт. Природою он первым был оплакан, В своём отчаяньи склонившейся над ним.

В последний час угас священный факел, Но ярче вспыхнул свет идей, рождённых им.
Итак, с именем Декарта в математику, как и в другие науки, вошло очень много нового и необходимого, которое широко используется, в том числе и функциональная зависимость.
Известно, что Леонард Эйлер дал современную классификацию функций, употребив привычное для нас обозначение: f (x); y = f (x). Он определил понятие функции: "Когда некоторые количества зависят от другого таким образом, что при измерении последних и сами подвергаются изменению, то первые называются функцией вторых".
Во всех случаях символ, стоящий "под знаком функции", означает независимую переменную (аргумент), а символ левой части равенства – зависимую переменную (функцию).

2. Функциональная зависимость и телескопы

Рассмотрим некоторые примеры, подтверждающие факт использования функциональной зависимости в астрономии. Чтобы доказать данное подтверждение, Г. Галилей использует появившееся новшество – изобретённый телескоп, хотя первые телескопы были далеки от совершенства: первая труба телескопа давала всего лишь трёхкратное увеличение (Приложение 2. Слайд 4). Вскоре Галилей имел трубу с 30-кратным увеличением, а потом он "оставив дела земные, обратился к небесным". Галилей исследует поверхность Луны, открывает фазы Венеры, кольца Сатурна, спутники Юпитера. Позднее Галилей писал: "Я нашёл целый двор у Юпитера и двух прислужников у старика (Сатурна), они его поддерживают и никогда не отскакивают от его боков". Перед глазами Галилея Млечный Путь распался на отдельные звёзды: "все споры, в течение веков мучившие философов, умолкли сами собой благодаря наглядности и очевидности. Млечный Путь представляет собой ничто иное, как скопление бесчисленного множества звёзд, как бы расположенных в кучах". Все эти открытия были сделаны благодаря зрительным трубам – телескопам (Приложение 2. Слайд 5). Понятно, что миллионы и миллионы звёзд не были бы открыты и изучены, если бы не мощные телескопы, который делают глаз человека более "зорким". Задача телескопа – "уловить" этот слабый световой поток от звёзд. Чтобы уловить свет далёких звёзд, необходимо было увеличить площадь зрачка – в этом заключалась первоначальная задача телескопа. Поэтому телескоп можно охарактеризовать такой величиной, как "входное отверстие" для света звёзд – объектив, характеристикой которого является диаметр (D). Объектив – та часть телескопа, которая "смотрит" на объект. Ту часть телескопа, к которой прикладывается глаз наблюдателя, называют окуляром (от слова "око"). Объектив строит изображение объекта (Луны, планет) или участков звёздного неба в фокальной плоскости. Окуляр, выполняющий роль лупы, позволяет приблизиться к изображению этого объекта и рассматривать его под большим углом, чем сам объект. Количество света (J), собираемого объективом телескопа зависит от его площади: , т. е. оно пропорционально квадрату диаметра объектива или это можно выразить математическим языком: – имеем функциональную зависимость (Приложение 2. Слайд 6). Количество света, собираемого телескопом, приблизительно во столько раз больше количества света, попадающего в глаз наблюдателя непосредственно, во сколько раз площадь поперечного сечения объектива больше площади зрачка глаза. Проведём числовое сравнение: диаметр зрачка человеческого глаза при ночных наблюдениях примем в среднем равным 7 мм. Телескоп с объективом в 5 см пропускает лучей больше, чем зрачок, в (50/7)², т.е. примерно в 50 раз, а с диаметром 50 см – примерно в 5000 раз. Это относится только к звёздам, так как планеты имеют протяжённые размеры. Пусть, например, вы знаете, что в телескоп с диаметром отверстия 64 см можно различать звёзды до 15-й звёздной величины. Звёздную величину можно рассматривать как меру освещённости, создаваемой наблюдаемым источником. Спрашивается, каким объективом нужно располагать, чтобы видеть звёзды следующей, 16-й величины?
Составим пропорцию: х² : 64² = 2,5, где "х" – искомый диаметр объектива.
Тогда имеем: понадобится телескоп с диаметром объектива примерно в целый метр. Для увеличения зоркости телескопа на одну звёздную величину необходимо увеличение диаметра его объектива в , т.е. в 1,6 раза.
Следующее важное свойство телескопа – увеличить угол, под которым мы наблюдаем небесное тело. Увеличение (n^x) телескопа зависит от фокусного расстояния объектива (F) и фокусного расстояния используемого окуляра (f): Или его можно определить как отношение угловых расстояний: – угловое расстояние, на котором находятся, например, две звезды, рассматриваемые в телескоп и – то же самое расстояние между звёздами при наблюдении невооружённым глазом. Таким образом, мы вновь встречаемся с функциональной зависимостью: наблюдаемые угловые размеры, а значит и информация о небесных телах, находится в прямой зависимости от увеличения телескопа.
Увеличение телескопа при одном и том же окуляре, меняется в зависимости от фокусного расстояния объектива телескопа, т.е. от размеров его диаметра: При хороших атмосферных условиях наибольшее увеличение телескопа равно: n^x = 2D, а наименьшее (равнозрачковое) – n^x = D/6, где D выражено в мм, т.е. эти величины являются функциями от диаметра D. Угловое разрешение (разрешающая способность) телескопа равно (в радианной мере) – длина световой волны, или , где D – в мм. (Приложение 2. Слайд 7)
Угловое разрешение радиотелескопа равно и редко бывает лучше 1'. Чтобы существенно улучшить угловое разрешение в радиоастрономии используют радиоинтерферометры. Простейший радиоинтерферометр состоит из двух радиотелескопов, разнесенных на расстояние, называемое базой интерферометра. Разрешение радио – или оптического интерферометра равно , где L – расстояние между инструментами (база интерферометра). Сегодня у астрономов имеется огромное количество самых разнообразных телескопов, в том числе и оптический телескоп Хаббла в космосе. Информация (y), которую получают этими телескопами, может быть представлена функциональной зависимостью как y = f (D). При фотографических наблюдениях в окулярной части телескопа вместо окуляра помещается кассета с фотографической пластинкой. В этом случае характеристикой телескопа является масштаб изображения, который обычно выражается в секундах дуги на миллиметр. Линейные размеры изображения в фокальной плоскости телескопа характеризуются масштабом – углом, приходящимся на единицу длины изображения или обратной величиной и определяется: .
Если угловое расстояние между объектами на небе или размер небесного тела равен , то ему соответствует линейное расстояние (размер) на фотоплёнке или пластинке :
или в градусной мере: .
Использование телескопов позволило увеличить информацию о небесных телах в сотни раз, что позволяет заглянуть в глубины Вселенной в десятки раз дальше, чем раньше. На (Приложение 2. Слайд 8) представлен рост информации в виде кругов Эйлера, представляющих объём информации в разные периоды использования телескопов. Объем информации вырос в 2000 году в миллион раз по сравнению с 1900 годом, а расстояния проникновения вглубь Вселенной соответственно в 100 раз.

3. Активность Солнца и число Вольфа

Я в этот мир пришел, чтоб видеть Солнце. (Анаксагор, V в.)

Цель занятия: формирование понятий о Солнце, явлении солнечной активности и представление о переменных звёздах, их роли в определении масштаба Вселенной, показать связь с математическим понятием "функция".

Р. Вольф из Цюриха собрал данные о солнечных пятнах, систематизировал их, организовал регулярные наблюдения и предложил оценивать степень активности Солнца специальным индексом, определяющим меру "запятнённости" Солнца. Этот индекс относительного числа пятен, впоследствии названный "числами Вольфа", начинает свой ряд с 1749 года. Количественная характеристика солнечной активности – числа Вольфа – определяется функциональной зависимостью: W = k (10 g + f) ,
где g – количество групп пятен, f – количество всех наблюдаемых пятен, k – условный коэффициент, учитывающий качество инструмента наблюдений.

1) Масштабы Вселенной: Способы определения расстояний и функция

Определять расстояния в мире космических объектов необходимо, так как их знание позволяет построить модель строения Галактики, скоплений галактик и даже структуры обозримой части Вселенной. В астрономии нет единого универсального способа определения расстояний.

1-й способ: (приближенный) По третьему закону Кеплера можно определить удаленность планеты от Солнца, зная периоды обращений и одно из расстояний.

,

где величина а₁ является функцией периодов и известной полуоси другого небесного тела а₂. (Приложение 2. Слайд 9) – приближённый метод определения в Солнечной системе (СС).

2-й способ: Геометрический (параллактический)– (Приложение 2. Слайд 10).
Параллакс– угол, под которым из недоступного места виден базис (известный отрезок). В пределах СС за базис берут экваториальный радиус Земли = 6378км. При малом значении угла, выраженном в радианной мере, учитывая, что 1 рад = 57,3°= 3438' = 206265", получим расстояние до небесного тела Солнечной системы: D = 206265" ^. / p", где D – расстояние является функционально зависимой величиной от величины суточного параллакса p",т.е. D = f (p"), так как числитель – величина постоянная.

Вывод – расстояние и точность его определения зависят от точности измерения параллакса и, следовательно, от методов измерения расстояний (Приложение 2. Слайд 11).
Годичным параллаксом звезды называется угол, под которым с неё был бы виден средний радиус земной орбиты ( а ), перпендикулярный направлению на звезду. Он обозначается ? и измеряется в секундах дуги. Радиус земной орбиты, параллакс и расстояние до звезды, связаны соотношением:

Так как параллаксы звёзд малы (меньше 1"), то можно воспользоваться известным соотношением для синуса малого угла, выраженного в радианах: , но параллакс обычно выражается в секундах дуги, а так как в 1 радиане содержится 206265", то расстояние равно (пк)– (Приложение 2. Слайд 12). Из этой формулы видно, что если в качестве единицы длины оставить метр, то расстояние выражается очень большим числом. Поэтому в астрономии используют специальные единицы измерения расстояний: астрономические единицы, световой год и парсек (Приложение 2. Слайд 13). Впервые параллакс звезды Вега (? Лиры).был измерен 8 февраля 1837г русским астрономом Василий Яковлевич Струве (1793-1864). После 17 измерений он определил, что параллакс Вега равен: = 0,125". Точность измерения расстояния до небесных тел зависит от точности измерения базисного расстояния – астрономической единицы (Приложение 2. Слайд 2).

2) Измерение расстояний по цефеидам

Наблюдения показывают, что очень часто звезды объединены в пары, такая пара называется двойной звездой. Во Вселенной примерно половина всех звёзд входит в состав двойных или кратных систем (состоящих из нескольких звёзд), двойственность которых обнаруживается путем анализа испускаемого ими света. Изменение блеска таких систем объясняется взаимным затмением: такие системы называют затменно-переменными.

Физические переменные звёзды изменяют свой блеск в результате физических процессов, происходящих в их недрах. Чаще всего изменение блеска звёзд данного типа вызваны пульсацией звёзд. При сжатии звезды размеры её уменьшаются, она нагревается и становится ярче, при расширении звезды блеск её уменьшается. Такие переменные звёзды называют цефеидами по названию созвездия, где они были обнаружены (Приложение 2. Слайд 15)

Справедливости ради переменные звёзды такого типа следовало бы называть "орлидами", а не "цефеидами", так как переменность звезды "Эта () Орла "– сверхгиганта, была открыта Эдвардом Пиготтом в 1783 году, т.е за год до открытия переменности ? Цефея.
Удачное, образное сравнение, а иногда и противопоставление, облегчает учащимся восприятие пространственно-временных масштабов, которыми оперирует астрономия. Примеры учат лучше теории, считал И.Ньютон. "Противопоставление облегчает, ускоряет наше здоровое мышление" – писал И.П.Павлов. Метод сравнения, вызывая удивление, помогает усвоить цифровой материал, используемый при описании экзотических состояний небесных тел. Этот метод позволяет наглядно объяснить причину изменения блеск цефеид.
Физическая теория пульсаций была развита российским астрофизиком Жевакиным. В некотором роде пульсации цефеиды похожи на пульсации нашего сердца. Причины пульсаций лежат в особом строении этих звёзд-гигантов. Источником энергии, поддерживающим колебания, являются ядерные реакции в центре звезды. Механизм пульсаций звезды получил название "клапанного механизма". Внутри звезды находится особый слой вещества, который называют клапаном. Когда клапан открыт, излучение из центра звезды легко проходит через всю звезду, и она сжимается. Затем клапан закрывается, излучение не выходит наружу, энергия, переносимая излучением, скапливается около клапана и давит на него, останавливая сжатие и, толкая слои звезды наружу, заставляет ее расширяться. Затем клапан снова открывается, излучение покидает звезду, давление уменьшается, и звезда снова начинает сжиматься под действием силы тяжести – до тех пор, пока клапан не включится снова и всё повторится. Таким клапаном внутри звезды служат слои частично ионизованного водорода и гелия. Частично ионизованного – означает, что часть атомов водорода и гелия в этих слоях потеряли по электрону. Открытие и закрытие клапана связано с процессами ионизации и рекомбинации (захвату электрона назад), которые имеют место в этих слоях при сжатии и расширении. На основе этой теории объясняется наличие связи между периодом и светимостью цефеид. Дело в том, что пульсации звезды представляют собой волны сжатия, похожие на звуковые волны, которые возбуждаются клапаном и затем распространяются к поверхности звезды. Практически период колебаний звезды представляет собой время, которое требуется волне, чтобы пройти путь от клапана – слоя частичной ионизации водорода и гелия – до поверхности. Известно, что чем больше по размерам звезда, тем больше её светимость, с другой стороны, чем больше звезда, тем больше требуется времени для волны, чтобы достигнуть её поверхности, т.е. тем больше период (Т) колебаний звезды, т. е. Т = f (R), где R – радиус звезды-цефеиды. Последнее свойство было открыто в 1912 году американским астрономом Генриеттой Левитт. Наблюдая цефеиды в соседней галактике Малое Магелланово Облако – спутнике Млечного Пути, она обнаружила, что чем больше период изменения блеска цефеиды, тем больше её яркость.
Если обозначить яркость (блеск) звезды через J (m), а время (период) изменения блеска через Т, то получим функциональную зависимость: J = f (Т). Сравнивая полученную звёздную величину с известной звёздной величиной, можно определить расстояние до этой цефеиды или галактики, в которой она наблюдается. Известный астроном Эдвин Хаббл, используя полученную зависимость между периодом и светимостью цефеид, впервые определил расстояние до другой гигантской галактики – Туманности Андромеды и пришел к выводу: Вселенной состоит из набора огромных звездных островов — галактик. Астроном, наблюдая цефеиду в какой-либо другой галактике, определяет её период, а потом – светимость, т.е. видимую звёздную величину. Именно по этой аналогии цефеиды иногда называют маяками Вселенной: сравнивая блеск звёзд и цефеид, используя зависимость светимости от расстояния по формуле Погсона, определяют расстояние (Приложение 2. Слайд 16) ––> .
Цефеиды обнаружены в звёздных скоплениях и по ним были определены расстояния до этих скоплений. На основании этих измерений была выделена спиральная структура нашего Млечного Пути.
Измерение расстояний до галактик по цефеидам является основным методом определения масштабов Вселенной, т.е. лежит в основе построения космологической картины мир, т.е. необходимо определить яркость объекта – звёздную величину.

Видимая звёздная величина – это совершенно условная характеристика яркости звезды. Звёздную величину можно рассматривать как меру освещённости, создаваемой наблюдаемым источником. Но измерить эту освещенность в абсолютных единицах, например, Вт/м? очень сложно. Оценки, полученные Гиппархом для нескольких сотен звёзд, были очень грубыми. Измерения, выполненные в середине XIX в., уточнили систему деления на звёздные величины. Шкала звёздного блеска установлена так, что отношение блеска звёзд двух смежных величин остается постоянным. Обозначив это "световое отношение" через "n", получим:

Звёзды 2-й величины слабее звёзд 1-й величины в n раз;
Звёзды 3-й величины слабее звёзд 2-й величины в n раз и т.д.

Было установлено, что поток энергии от звезды 1-й величины в 100 раз больше, чем от звезды 6-й величины, т.е. Е₁ : Е₆ = 100, где "Е" – освещенность, создаваемая световым потоком, падающим на единичную площадку, перпендикулярную лучу зрения. Иначе говоря, разности в пять звёздных величин соответствует изменение потоков (освещенностей, яркости) в сто раз. Из наблюдений было определено, что величина n⁵ = 100, поэтому найти величину светового отношения "n" легко: Отсюда следует, что если блеск светил отличается на одну звёздную величину, то отношение потоков от них равно отношению освещенностей:
Проще говоря, величина звезды (m) отличается от некой стандартной величины (m0) на логарифм отношения их потоков, умноженный на 2,5. Этот коэффициент и логарифм приводят к тому, что разница в потоке в 100 раз дает разницу в 5 звёздных величин. То есть звезда шестой величины в 100 раз слабее звезды первой величины. Простая классификация Гиппарха использует относительно сложную функцию, потому что глаз человека именно так реагирует на яркость света. Следуя Гиппарху, звёздную величину источника условились считать тем большей, чем он слабее. Отношение яркости между двумя звездными величинами приведено вформуле: m₂ – m₁ = –2.5lg₁₀(Е₂/Е₁),
где m₁ и m₂ — звездные величины двух объектов, а Е₁ и Е₂ — их яркость.
Освещенность (в оптической астрономии освещенность, создаваемую телом, называют видимым блеском светила) и видимая звездная величина звезды зависят от расстояния до наблюдателя r. Так как Е₂/Е₁ = r₁²/ r₂². Не зная расстояния до звезды по ее блеску нельзя сказать, сколько на самом деле энергии выделяет звезда. Поэтому, знание расстояний до небесных объектов имеет большое значение. (Приложение 2. Слайд 17)
Для того чтобы освободиться от влияния расстояний, введено понятие абсолютной звездной величины. Звездные величины, которые имели бы звезды, если бы они все находились на одинаковом расстоянии от нас, равном 10 пк, называются абсолютными звездными величинами М.

Для абсолютной звёздной величины двух сравниваемых звёзд также справедлив закон Погсона: М₁ – М₂ = –2.5lg₁₀(Е₂/Е₁).
В астрономической практике звёздная "величина" определяется при помощи особых приборов – фотометров: блеск светила сравнивается с блеском определенной звезды, сила света которой известна, или же с "искусственной звездой" в приборе. Такая зависимость является следствием особенностей восприятия раздражения органами чувств человека: если раздражения (в данном случае блеск) возрастают в геометрической прогрессии, то зрительные ощущения ("величина звёзд") – в арифметической прогрессии – закон Вебера-Фехнера. Т. е., в то время как звёздные величины убывают в арифметической прогрессии, блеск звёзд возрастает в геометрической прогрессии.

Приложение 1 – Чёрные дыры и функция.