Математика и поэзия. Что роднит их, казалось, на первой взгляд они такие разные… Ученым не чужда поэзия. Как показывает история науки, еще со времен пифагорейцев выдающиеся математики увлекались поэзией и даже сами пробовали писать. Ж. Дьедоне говорил: “Стимулы математиков всех времен: любознательность и стремление к красоте”. Большое математическое дарование нередко сочетается с проявлением творческого интереса к поэзии.

В 2009 году исполнилось 210 лет со дня рождения А. С. Пушкина. Александр Сергеевич Пушкин – гениальный поэт, про­заик, драматург, критик, обогативший художественны­ми открытиями русский романтизм, заложивший основы самобытной русской реалистической литературы XIXв. Пушкин родился 6 июня (26 мая по ст. стилю) 1799 г. в Москве в дворянской семье. Пушкин великолепно владел многими литературными жанрами. Он писал стихи, по­эмы, романы, исторические повести, рассказы, сказки.
Хорошо известно, что Александру Сергеевичу Пушкину математика не давалась с детства и поэтому он ее не любил. По словам сестры поэта О.С.Павлишевой «арифметика казалась для него недоступною и он часто над первыми четырьмя правилами, особенно над делением, заливался горькими слезами». Лицейский друг Пушкина И.И.Пущин вспоминал впоследствии, что «…все профессора смотрели с благоговением на растущий талант Пушкина. В математическом классе вызвал его раз Карцов к доске и задал алгебраическую задачу. Пушкин долго переминался с ноги на ногу и все писал, молча какие-то формулы. Карцов спросил его, наконец: «Что ж вышло? Чему равняется икс?» Пушкин, улыбаясь, ответил: нулю! «Хорошо! У вас, Пушкин, в моем классе все кончается нулем. Садитесь на свое место и пишите стихи»». Далее Пущин добавляет: «Спасибо и Карцову, что он из математического фанатизма не вел войны с его поэзией».

Другой лицейский товарищ Пушкина Сергей Комовский подтверждал, что он «охотно занимался науками историческими, но не любил политических и в особенности математику…».

Кажется, что приведенных свидетельств более чем достаточно для того, чтобы сделать вывод о неприязненном отношении Пушкина к математике в течение всей его непродолжительной жизни.

Проблема нашего исследования, таким образом, состоит в осмыслении противоречий между:

– внешней нелюбовью к математике великого русского поэта и отражениями математических понятий, терминов и идей в рукописях и черновиках;
– точной наукой математикой и законами стихосложения.

Объект исследования – произведения А. С. Пушкина, в которых упоминаются или используются математические идеи.

Предмет исследования – это математическая лексика, законы математики, математические понятия в произведениях А. С. Пушкина.

Проблема, объект и предмет исследования определили тему нашего исследования  «Пушкин – математический гений?».

Цель  – выяснить, насколько прослеживалась связь творчества с точной наукой математикой в литературном процессе А. С. Пушкина.

Гипотезы исследования:

• Присутствие золотого и серебряного сечений  в произведениях Пушкина.
• Объяснение формы цифр Пушкиным арабских чисел обосновано.
• В сказках и стихах  Пушкина прослеживается математическое соответствие.
• Увлечение игрой в карты Пушкиным — основание его неплохой математической подготовки.

Задачи исследования:

• Изучение литературы.
• Поиск фактов, подтверждающих связь Пушкина с математикой.
• Исследование некоторых его произведений с точки зрения математики.

Методы исследования:  анализ, синтез, обобщение.

Литературы по этому вопросу нам удалось найти, очень мало, в основном, журнальные, газетные статьи. Прежде всего, это статьи В.Я. Френкеля, Н. Васютинского, Е. В. Шикина, А.Чернова. Мы  перечитывали  их статьи, сравнивали, обобщали, делали записи, советовались  с учителями математики и литературы, искали соответствия, подтверждения, связи с математикой творчества  А. С. Пушкина.

1. Числовая последовательность Фибоначчи в поэзии Пушкина

Эта последовательность названа  по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи). Фибоначчи – уроженец города Пизы.
В 1200 г. Леонардо создает свой труд по математике, где теоретический материал поясняется на большом числе задач. Одна из них – задача о кроликах. Если выписать последовательность из числа кроликов вначале каждого из шести месяцев, легко заметим, что каждый третий равен сумме двух предыдущих.
Этот ряд впоследствии оказался полезным в науке. Он известен не только математикам, но и естествоиспытателям. Так, например, если дерево разветвляется каждый год и на втором году имеет 2 ветви, то на третьем – 3, на четвертом – 5, на пятом – 8 и так далее.

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… . Суть последовательности Фибоначчи, в том, что начиная с 0 или 1, следующее число получается сложением двух предыдущих. Если какой-либо член этой последовательности разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,618033988975… и через раз то превосходящая, то настигающая его.

Во многих произведениях Пушкина присутствует соответствие числам Фибоначчи. Для анализа метрики стихотворений А.С. Пушкина рассмотрены произведения 1829-1836 годов, периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 96 произведений.
Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 153 . Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с числом строк более 60 составило всего 9 штук.
Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются предпочтительные и редко встречаемые размеры. На графике распределения
стихотворений А.С. Пушкина по числу строк в них отчетливо выделяется несколько максимумов – наиболее часто встречающихся размеров. Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34.

Общее число этих стихотворений составило – 61, или около 64% к их общему числу.

Следует учесть, что законы стихосложения требуют, как правило, наличия четного числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Неудивительно, что стихотворения с числом строк в 12 и 14 встречаются гораздо чаще, чем с числом строк 13. Это же справедливо и для интервала 20-22 строки.
С учетом этого правомерно сгруппировать стихотворения по их размерам к некоторым областям, расположенным около чисел Фибоначчи. В результате стихотворения распределились следующим образом (см. Приложение 1, рисунок 1)

5 +/– 1 строка – 5
8 строк – 11,
14 +/– 2 строки – 23
22 +/– 2 строки – 14,
32 +/– 2 строки – 8 штук.

Наиболее выдающиеся шедевры, состоящие из 8 строчек, – это “Я вас любил”, “Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит”.   13-14 строчек в стихах “Сонет”, “Мадонна”, “Няне”. По 20 строчек – “Храни меня, мой талисман”, “В глубине сибирских руд”, “Памятник”.

После приведенного анализа  стихотворений А.С. Пушкина уже не кажется случайностью тот факт, что его роман в стихах «Евгений Онегин» состоит из 8 глав, в каждой главе в  среднем 50 стихов (а в 7-й главе 55), а каждый стих состоит из 14 строчек. Основная схема построения “Евгения Онегина” основана на близости к трём числам Фибоначчи: 8, 13, 55.
Тяготение к определенным стихотворным формам характерно для каждого поэта, оно и определяет его индивидуальность. Для А.С. Пушкина характерно большое разнообразие таких форм, но есть у него и наиболее излюбленные.  По-видимому, сюда относится и неосознанное, интуитивное тяготение к числам Фибоначчи. Ведь интуиция в творчестве  А.С. Пушкина во многом  определила гениальность его произведений.

2. Золотое сечение – гармония прямого

Многими исследованиями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них так же существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a : b = b : c или с : b = b : а.

Части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. Свойства «золотого сечения» описываются уравнением: 

Решение  этого уравнения:

Золотое сечение математики рассмотрим на примере композиции “Пиковой дамы” Пушкина. В повести 853 строчки. Кульминацией является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну 3-х карт. Смерть графини от испуга случается на 535 строке. Эта строка располагается точно в месте золотого сечения.
Всего: 853 строки, 535 строка – кульминация,  853 : 535 = 1,6 – золотое сечение.
Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи – 55!   Н. Васютинский констатирует: «Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне – строка «Бледнеть и гаснуть … вот блаженство!».
Эта строка делит всю восьмую главу на две части – в первой 477 строк, а во второй – 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!».
Для обнаружения  золотого сечения в стихах следует поделить число слогов или слов на число, равное 1,618.
Рассмотрим, например, стихотворение А.С.Пушкина «Надпись на стене больницы»:

Вот здесь лежит больной студент;
Его судьба неумолима.
Несите прочь медикамент:
Болезнь любви неизлечима. (1817)

Оно состоит из 14 слов, поделив это число на 1,618, получим около 8,7. Значит, золотым сечением является слово «прочь» (10-е).
Другое стихотворение А.С.Пушкина «Сапожник» состоит из 56 слов. В нем выделяется две смысловые части: первая – 33  и  вторая (мораль притчи) –  23 слова  (56 : 1,618 ? 34,6). Значит «золотой пропорцией» является словосочетание «есть у меня приятель».

Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...
А эта грудь, не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
«Суди, дружок, не выше сапога!»
Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах! (1829)

Стихотворение  «Арион»  состоит из  57 слов. Золотым сечением является «вихрь шумный», т.к. 57: 1,618 ~ 35,2.

Нас было много на челне;
Иные парус напрягали,
Другие дружно упирали
Вглубь мощны вёсла. В тишине
На руль склонясь, наш кормщик умный
В молчанье правил грузный чёлн;
А я – беспечной веры полн –
Пловцам я пел….
Вдруг лоно волн
Измял с налёту вихрь шумный…
Погиб и кормщик и пловец! –
Лишь я, таинственный певец,
На берег выброшен грозою,
Я гимны прежние пою
И ризу влажную мою
Сушу на солнце под скалою. (1827)

3. Серебряное сечение – гармония круглого

Любое художественное творение – виток спирали, разомкнутая окружность. Значит, у композиции стихотворения или фуги может быть и «диаметр композиции». То есть серебряное сечение.
Математическую закономерность принципа «серебряного сечения» впервые обнаружил петербургский поэт и переводчик А.Чернов в тексте загадочного древнерусского памятника «Слово о полку Игореве» в виде отношения:

В «Медном Всаднике» А. С. Пушкин также  использовал круговую композицию. В  поэме – 466 строк. Вступление – 96 строк; часть первая – 148; часть вторая – 222 строки. Диаметр от 466 строк как раз и равен 148 строкам, т.е. 466:148 ? 3,14. Только у Пушкина часть, равная диаметру, посередине поэмы.

4. Сказка ложь, да в ней намёк…

«Сказка ложь, да в ней намёк добрым молодцам урок» не пустые слова в сказках  Пушкина. Мы  изучили  его сказки, искали в них числа, какие-то математические моменты. Хотя в его записях сказок от слов своей няни присутствует много числительных, в сказках использование числительных весьма ограничено. Кое-какие данные, связанные с расчетами имеются в сказке « О царе Салтане…».
Мы решили вычислить минимальное расстояние от царства Салтана до города-дворца, обоснованного князем Гвидоном, до которого могла доплыть бочка с царицей и его сыном в течение суток,  используя некоторые географические данные.

1,2 м/с + 0,6 м/с = 1,8 м/с = 6,48 км/ч
6,48 км/ч • 24 ч ~ 156 км – минимальное расстояние

Просчитав возможное расстояние,  сделали вывод, что царица с сыном находились на таком расстоянии, что весть о диковинках этого города доходила до царя Салтана от проезжающих купцов не так быстро и не так долго. Значит, слова “Сказка ложь, да в ней намек, добрым молодцам урок”– непустые слова в сказках Пушкина. Кроме того, крылатые слова Пушкина “В геометрии нужно вдохновение, как и в поэзии”, “Поверил я алгеброй гармонию” и др. имеют глубокий математический смысл.

5. Гипотеза А.С.Пушкина о форме цифр

В материалах записных книжек Пушкина за 1835 год содержится гипотеза о происхождении формы цифр: «Форма цифр арабских составлена из следующей фигуры: AD (1), ABDC (2), ABECD (3), ABD+AE (4). Русские цифры составлены по тому же образцу».
Следует, однако, признать, что эта гипотеза поэта для объяснения формы наших цифр не имеет никакого исторического обоснования. Русский ориенталист Георг Яковлевич Керр (1692-1740) впервые в науке высказал мысль об индийском происхождении так называемых «арабских» цифр, что было признано лишь в 19 веке. Даже до сих пор в некоторых учебниках по математике цифры ошибочно называются арабскими. Индийские цифры попали в Европу от арабов в 12 веке через Мавританию. (Приложение 2)

6. Симметрия в стихах А.С.Пушкина

Симметрия стихотворения выражается в четном числе рифмованных строк, в наличии 4-, 6- и 8-стиший, в парном количестве стихов в произведениях.
Некоторые стихотворения Пушкина симметричны по смысловому содержанию, которое делит их на две равные части. Например, «Город пышный, город бедный…», «Счастлив тот, кто избран своенравно…», «И.И. Пущину», «Движенья нет …» и др.

Город пышный, город бедный,
Дух неволи, стройный вид,
Свод небес зелёно-бледный,
Скука, холод и гранит –
Всё же мне вас жаль немножко,
Потому, что здесь порой
Ходит маленькая ножка,
Вьётся локон золотой. (1828)

В этом  стихотворении Пушкина симметрия проявляется на различных уровнях. (Приложение 2)

7. Наука о случайностях

В творчестве Пушкина в различных вариациях встречаются слова, загадочным образом связанные с наукой о случайном.

Дар напрасный, дар случайный,
Жизнь, зачем ты мне дана?
Иль, зачем судьбою тайной
Ты на казнь осуждена?

В незаконченном стихотворении о научном творчестве Пушкин дает глубокие определения случаю, опыту и гению:

О, сколько нам открытий чудных,
Готовят просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретатель.

В библиотеке А.С. Пушкина имелись два сочинения по теории вероятностей, одно из которых представляет собой знаменитый труд великого французского математика и механика Лапласа (1749-1827) «Опыт философии теории вероятностей», вышедший  в Париже в 1825 году. Такое внимание к теории вероятностей связано, по-видимому, с тем глубоким интересом, который проявлял Пушкин к проблеме соотношения необходимости и случайности в историческом процессе.

Сам А.С. Пушкин был страстным игроком в карты. В одном из самых известных его произведений – «Пиковой даме» – описывается личная драма молодого человека, связанная с крушением надежд на крупный выигрыш в карты. Друг А.С. Пушкина поэт П.А. Вяземский в своей «Старой записной книжке» приводит такой интересный эпизод: «Пушкин, во время пребывания своего в южной России, куда-то ездил за несколько сот верст на бал, где надеялся увидеть предмет своей тогдашней любви. Приехав в город, он до бала сел понтировать и проиграл всю ночь до позднего утра, так что проиграл все деньги свои, и бал, и любовь свою».
Возможно, что страсть Пушкина к картам являлась дополнительной причиной его повышенного интереса к теории вероятностей.

В настоящее время на основе произведений Пушкина авторы современных задачников по теории вероятностей включают задачи на классическое определение вероятности. Например: Из колоды карт (52 карты) Герман наугад извлекает три карты. Найдите вероятность того, что это будут 3, 7 и туз.
А какова же была вероятность  выигрыша?  Решив задачу, нам стало ясно, что шансы Германа были  сведены к  минимуму. (Приложение 2)