Математика и поэзия. Что роднит их, казалось, на первой взгляд они такие разные… Ученым не чужда поэзия. Как показывает история науки, еще со времен пифагорейцев выдающиеся математики увлекались поэзией и даже сами пробовали писать. Ж. Дьедоне говорил: “Стимулы математиков всех времен: любознательность и стремление к красоте”. Большое математическое дарование нередко сочетается с проявлением творческого интереса к поэзии.
В 2009 году исполнилось 210 лет со дня рождения А. С.
Пушкина. Александр Сергеевич Пушкин –
гениальный поэт, прозаик, драматург, критик,
обогативший художественными открытиями
русский романтизм, заложивший основы самобытной
русской реалистической литературы XIXв. Пушкин
родился 6 июня (26 мая по ст. стилю) 1799 г. в Москве в
дворянской семье. Пушкин великолепно владел
многими литературными жанрами. Он писал стихи,
поэмы, романы, исторические повести, рассказы,
сказки.
Хорошо известно, что Александру Сергеевичу
Пушкину математика не давалась с детства и
поэтому он ее не любил. По словам сестры поэта
О.С.Павлишевой «арифметика казалась для него
недоступною и он часто над первыми четырьмя
правилами, особенно над делением, заливался
горькими слезами». Лицейский друг Пушкина
И.И.Пущин вспоминал впоследствии, что «…все
профессора смотрели с благоговением на растущий
талант Пушкина. В математическом классе вызвал
его раз Карцов к доске и задал алгебраическую
задачу. Пушкин долго переминался с ноги на ногу и
все писал, молча какие-то формулы. Карцов спросил
его, наконец: «Что ж вышло? Чему равняется икс?»
Пушкин, улыбаясь, ответил: нулю! «Хорошо! У вас,
Пушкин, в моем классе все кончается нулем.
Садитесь на свое место и пишите стихи»». Далее
Пущин добавляет: «Спасибо и Карцову, что он из
математического фанатизма не вел войны с его
поэзией».
Другой лицейский товарищ Пушкина Сергей Комовский подтверждал, что он «охотно занимался науками историческими, но не любил политических и в особенности математику…».
Кажется, что приведенных свидетельств более чем достаточно для того, чтобы сделать вывод о неприязненном отношении Пушкина к математике в течение всей его непродолжительной жизни.
Проблема нашего исследования, таким образом, состоит в осмыслении противоречий между:
– внешней нелюбовью к математике великого
русского поэта и отражениями математических
понятий, терминов и идей в рукописях и
черновиках;
– точной наукой математикой и законами
стихосложения.
Объект исследования – произведения А. С. Пушкина, в которых упоминаются или используются математические идеи.
Предмет исследования – это математическая лексика, законы математики, математические понятия в произведениях А. С. Пушкина.
Проблема, объект и предмет исследования определили тему нашего исследования «Пушкин – математический гений?».
Цель – выяснить, насколько прослеживалась связь творчества с точной наукой математикой в литературном процессе А. С. Пушкина.
Гипотезы исследования:
- Присутствие золотого и серебряного сечений в произведениях Пушкина.
- Объяснение формы цифр Пушкиным арабских чисел обосновано.
- В сказках и стихах Пушкина прослеживается математическое соответствие.
- Увлечение игрой в карты Пушкиным — основание его неплохой математической подготовки.
Задачи исследования:
- Изучение литературы.
- Поиск фактов, подтверждающих связь Пушкина с математикой.
- Исследование некоторых его произведений с точки зрения математики.
Методы исследования: анализ, синтез, обобщение.
Литературы по этому вопросу нам удалось найти, очень мало, в основном, журнальные, газетные статьи. Прежде всего, это статьи В.Я. Френкеля, Н. Васютинского, Е. В. Шикина, А.Чернова. Мы перечитывали их статьи, сравнивали, обобщали, делали записи, советовались с учителями математики и литературы, искали соответствия, подтверждения, связи с математикой творчества А. С. Пушкина.
1. Числовая последовательность Фибоначчи в поэзии Пушкина
Эта последовательность названа по имени
средневекового математика Леонардо Пизанского
(или Фибоначчи). Фибоначчи – уроженец города
Пизы.
В 1200 г. Леонардо создает свой труд по математике,
где теоретический материал поясняется на
большом числе задач. Одна из них – задача о
кроликах. Если выписать последовательность из
числа кроликов вначале каждого из шести месяцев,
легко заметим, что каждый третий равен сумме двух
предыдущих.
Этот ряд впоследствии оказался полезным в науке.
Он известен не только математикам, но и
естествоиспытателям. Так, например, если дерево
разветвляется каждый год и на втором году имеет 2
ветви, то на третьем – 3, на четвертом – 5, на пятом
– 8 и так далее.
Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… . Суть последовательности Фибоначчи, в том, что начиная с 0 или 1, следующее число получается сложением двух предыдущих. Если какой-либо член этой последовательности разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,618033988975… и через раз то превосходящая, то настигающая его.
Во многих произведениях Пушкина присутствует
соответствие числам Фибоначчи. Для анализа
метрики стихотворений А.С. Пушкина рассмотрены
произведения 1829-1836 годов, периода создания
наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 96
произведений.
Число строк в стихотворениях этого периода
изменялось от 4 до 153 . Однако большие
стихотворные формы встречаются редко; число
стихотворений с числом строк более 60 составило
всего 9 штук.
Размеры стихов распределены совсем не
равномерно; выделяются предпочтительные и редко
встречаемые размеры. На графике распределения
стихотворений А.С. Пушкина по числу строк в них
отчетливо выделяется несколько максимумов –
наиболее часто встречающихся размеров. Они явно
тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34.
Общее число этих стихотворений составило – 61, или около 64% к их общему числу.
Следует учесть, что законы стихосложения
требуют, как правило, наличия четного числа строк
в стихотворении, так как строки попарно
рифмуются. Неудивительно, что стихотворения с
числом строк в 12 и 14 встречаются гораздо чаще, чем
с числом строк 13. Это же справедливо и для
интервала 20-22 строки.
С учетом этого правомерно сгруппировать
стихотворения по их размерам к некоторым
областям, расположенным около чисел Фибоначчи. В
результате стихотворения распределились
следующим образом (см. Приложение
1, рисунок 1)
5 +/– 1 строка – 5
8 строк – 11,
14 +/– 2 строки – 23
22 +/– 2 строки – 14,
32 +/– 2 строки – 8 штук.
Наиболее выдающиеся шедевры, состоящие из 8 строчек, – это “Я вас любил”, “Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит”. 13-14 строчек в стихах “Сонет”, “Мадонна”, “Няне”. По 20 строчек – “Храни меня, мой талисман”, “В глубине сибирских руд”, “Памятник”.
После приведенного анализа стихотворений
А.С. Пушкина уже не кажется случайностью тот факт,
что его роман в стихах «Евгений Онегин»
состоит из 8 глав, в каждой главе в среднем 50
стихов (а в 7-й главе 55), а каждый стих состоит из 14
строчек. Основная схема построения “Евгения
Онегина” основана на близости к трём числам
Фибоначчи: 8, 13, 55.
Тяготение к определенным стихотворным формам
характерно для каждого поэта, оно и определяет
его индивидуальность. Для А.С. Пушкина характерно
большое разнообразие таких форм, но есть у него и
наиболее излюбленные. По-видимому, сюда
относится и неосознанное, интуитивное тяготение
к числам Фибоначчи. Ведь интуиция в
творчестве А.С. Пушкина во многом
определила гениальность его произведений.
2. Золотое сечение – гармония прямого
Многими исследованиями было замечено, что
стихотворения подобны музыкальным
произведениям; в них так же существуют
кульминационные пункты, которые делят
стихотворение в пропорции золотого сечения.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части
следующими способами:
- на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
- таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
a : b = b : c или с : b = b : а.
Части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. Свойства «золотого сечения» описываются уравнением:
Решение этого уравнения:
Золотое сечение математики
рассмотрим на примере композиции “Пиковой
дамы” Пушкина. В повести 853 строчки.
Кульминацией является сцена в спальне графини,
куда проник Германн в надежде узнать тайну 3-х
карт. Смерть графини от испуга случается на 535
строке. Эта строка располагается точно в месте
золотого сечения.
Всего: 853 строки, 535 строка – кульминация, 853 : 535
= 1,6 – золотое сечение.
Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений
Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот
роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем
около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее
отточенной и эмоционально насыщенной является
восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом
Евгения к Татьяне (60 строк) это точно
соответствует числу Фибоначчи – 55! Н.
Васютинский констатирует: «Кульминацией главы
является объяснение Евгения в любви к Татьяне –
строка «Бледнеть и гаснуть … вот
блаженство!».
Эта строка делит всю восьмую главу на две части –
в первой 477 строк, а во второй – 295 строк. Их
отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие
величине золотой пропорции! Это великое чудо
гармонии, совершенное гением Пушкина!».
Для обнаружения золотого сечения в стихах
следует поделить число слогов или слов на число,
равное 1,618.
Рассмотрим, например, стихотворение А.С.Пушкина «Надпись
на стене больницы»:
Вот здесь лежит больной студент;
Его судьба неумолима.
Несите прочь медикамент:
Болезнь любви неизлечима. (1817)
Оно состоит из 14 слов, поделив это число на 1,618,
получим около 8,7. Значит, золотым сечением
является слово «прочь» (10-е).
Другое стихотворение А.С.Пушкина «Сапожник»
состоит из 56 слов. В нем выделяется две смысловые
части: первая – 33 и вторая (мораль притчи)
– 23 слова (56 : 1,618 ? 34,6). Значит «золотой
пропорцией» является словосочетание «есть у
меня приятель».
Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...
А эта грудь, не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
«Суди, дружок, не выше сапога!»
Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах! (1829)
Стихотворение «Арион» состоит из 57 слов. Золотым сечением является «вихрь шумный», т.к. 57: 1,618 ~ 35,2.
Нас было много на челне;
Иные парус напрягали,
Другие дружно упирали
Вглубь мощны вёсла. В тишине
На руль склонясь, наш кормщик умный
В молчанье правил грузный чёлн;
А я – беспечной веры полн –
Пловцам я пел….
Вдруг лоно волн
Измял с налёту вихрь шумный…
Погиб и кормщик и пловец! –
Лишь я, таинственный певец,
На берег выброшен грозою,
Я гимны прежние пою
И ризу влажную мою
Сушу на солнце под скалою. (1827)
3. Серебряное сечение – гармония круглого
Любое художественное творение – виток спирали,
разомкнутая окружность. Значит, у композиции
стихотворения или фуги может быть и «диаметр
композиции». То есть серебряное сечение.
Математическую закономерность принципа
«серебряного сечения» впервые обнаружил
петербургский поэт и переводчик А.Чернов в
тексте загадочного древнерусского памятника «Слово
о полку Игореве» в виде отношения:
В «Медном Всаднике» А. С. Пушкин также использовал круговую композицию. В поэме – 466 строк. Вступление – 96 строк; часть первая – 148; часть вторая – 222 строки. Диаметр от 466 строк как раз и равен 148 строкам, т.е. 466:148 ? 3,14. Только у Пушкина часть, равная диаметру, посередине поэмы.
4. Сказка ложь, да в ней намёк…
«Сказка
ложь, да в ней намёк добрым молодцам урок» не
пустые слова в сказках Пушкина. Мы
изучили его сказки, искали в них числа,
какие-то математические моменты. Хотя в его
записях сказок от слов своей няни присутствует
много числительных, в сказках использование
числительных весьма ограничено. Кое-какие
данные, связанные с расчетами имеются в сказке «
О царе Салтане…».
Мы решили вычислить минимальное расстояние от
царства Салтана до города-дворца, обоснованного
князем Гвидоном, до которого могла доплыть бочка
с царицей и его сыном в течение суток,
используя некоторые географические данные.
1,2 м/с + 0,6 м/с = 1,8 м/с = 6,48 км/ч
6,48 км/ч • 24 ч ~ 156 км – минимальное расстояние
Просчитав возможное расстояние, сделали вывод, что царица с сыном находились на таком расстоянии, что весть о диковинках этого города доходила до царя Салтана от проезжающих купцов не так быстро и не так долго. Значит, слова “Сказка ложь, да в ней намек, добрым молодцам урок”– непустые слова в сказках Пушкина. Кроме того, крылатые слова Пушкина “В геометрии нужно вдохновение, как и в поэзии”, “Поверил я алгеброй гармонию” и др. имеют глубокий математический смысл.
5. Гипотеза А.С.Пушкина о форме цифр
В материалах записных книжек Пушкина за 1835 год
содержится гипотеза о происхождении формы цифр:
«Форма цифр арабских составлена из следующей
фигуры: AD (1), ABDC (2), ABECD (3), ABD+AE (4). Русские цифры
составлены по тому же образцу».
Следует, однако, признать, что эта гипотеза поэта
для объяснения формы наших цифр не имеет
никакого исторического обоснования. Русский
ориенталист Георг Яковлевич Керр (1692-1740) впервые
в науке высказал мысль об индийском
происхождении так называемых «арабских» цифр,
что было признано лишь в 19 веке. Даже до сих пор в
некоторых учебниках по математике цифры
ошибочно называются арабскими. Индийские цифры
попали в Европу от арабов в 12 веке через
Мавританию. (Приложение
2)
6. Симметрия в стихах А.С.Пушкина
Симметрия стихотворения выражается в четном
числе рифмованных строк, в наличии 4-, 6- и 8-стиший,
в парном количестве стихов в произведениях.
Некоторые стихотворения Пушкина симметричны по
смысловому содержанию, которое делит их на две
равные части. Например, «Город пышный, город
бедный…», «Счастлив тот, кто избран
своенравно…», «И.И. Пущину», «Движенья нет …» и
др.
Город пышный, город бедный,
Дух неволи, стройный вид,
Свод небес зелёно-бледный,
Скука, холод и гранит –
Всё же мне вас жаль немножко,
Потому, что здесь порой
Ходит маленькая ножка,
Вьётся локон золотой. (1828)
В этом стихотворении Пушкина симметрия проявляется на различных уровнях. (Приложение 2)
7. Наука о случайностях
В творчестве Пушкина в различных вариациях встречаются слова, загадочным образом связанные с наукой о случайном.
Дар напрасный, дар случайный,
Жизнь, зачем ты мне дана?
Иль, зачем судьбою тайной
Ты на казнь осуждена?
В незаконченном стихотворении о научном творчестве Пушкин дает глубокие определения случаю, опыту и гению:
О, сколько нам открытий чудных,
Готовят просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретатель.
В библиотеке А.С. Пушкина имелись два сочинения по теории вероятностей, одно из которых представляет собой знаменитый труд великого французского математика и механика Лапласа (1749-1827) «Опыт философии теории вероятностей», вышедший в Париже в 1825 году. Такое внимание к теории вероятностей связано, по-видимому, с тем глубоким интересом, который проявлял Пушкин к проблеме соотношения необходимости и случайности в историческом процессе.
Сам А.С. Пушкин был страстным игроком в карты. В
одном из самых известных его произведений –
«Пиковой даме» – описывается личная драма
молодого человека, связанная с крушением надежд
на крупный выигрыш в карты. Друг А.С. Пушкина поэт
П.А. Вяземский в своей «Старой записной книжке»
приводит такой интересный эпизод: «Пушкин, во
время пребывания своего в южной России, куда-то
ездил за несколько сот верст на бал, где надеялся
увидеть предмет своей тогдашней любви. Приехав в
город, он до бала сел понтировать и проиграл всю
ночь до позднего утра, так что проиграл все
деньги свои, и бал, и любовь свою».
Возможно, что страсть Пушкина к картам являлась
дополнительной причиной его повышенного
интереса к теории вероятностей.
В настоящее время на основе произведений
Пушкина авторы современных задачников по теории
вероятностей включают задачи на классическое
определение вероятности. Например: Из колоды
карт (52 карты) Герман наугад извлекает три карты.
Найдите вероятность того, что это будут 3, 7 и туз.
А какова же была вероятность выигрыша?
Решив задачу, нам стало ясно, что шансы Германа
были сведены к минимуму. (Приложение 2)