Пифагоровы тройки в тригонометрии

Старцева Татьяна Александровна, учитель математики

Разделы: Математика

Цель урока:

показать связь пифагоровых троек с тригонометрией;
научить видеть и применять пифагоровы тройки;
способствовать расширению кругозора и логического мышления, переноса знаний в новую ситуацию.

Оборудование:

доска,
памятка применения пифагоровых троек.

Приложение 1.

Ход урока

I. Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Учитель: С пифагоровыми тройками мы познакомились в 8 классе на уроке геометрии. Пифагоровы тройки известны давно, об исторических аспектах говори на факультативных занятиях, а сегодня перелистаем учебники по алгебре за 9-10 класс и обратимся к разделу "Тригонометрические выражения и их преобразования". Из данного раздела выделим темы:

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Формулы сложения
Формулы двойного угла.

Необходим инструментарий: это домашние заготовки в виде памятки применения пифагоровых троек, формул по вышеперечисленным темам.

II. Покрутимся вокруг задач.

Решаем вместе задачи по теме 1 (ученик выходит к доске).

1) Задача: найдите cosa, tga и ctga, если sina = 5/13, и a - угол второй четверти.

Решение. Учащиеся предлагают способы решения задач с использованием основных тригонометрических тождеств и как альтернатива с помощью пифагоровой тройки (5, 12, 13). Совместно проговариваем второй способ решения задачи, состоящий из этапов:

Исходя из определения cos, tg и ctg острого угла a прямоугольного треугольника и учитывая, что числа 5 и 12 - это катеты, а 13 - гипотенуза, записываем:

cosa = 12/13, tga = 5/12, ctga = 12/5.

Зная, в какой четверти находится угол ?, расставляем знаки:

cosa = -12/13, tga = -5/12, ctga = -12/5.

Ответ: cosa = -12/13, tga = -5/12, ctga = -12/5.

2. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:

а) -7/25 и 24/25,

б) 5/13 и -12/13,

в) -24/25 и -7/25,

г) 9/41 и 38/41.

Учащиеся предлагают решить задачу с помощью выражения . Вычисляем и записываем ответ:

а) -7/25 и 24/25, да

б) 5/13 и -12/13, да

в) -24/25 и -7/25, да

г) 9/41 и 38/41, нет т.к. 1.

3. Найдите значение других трех основных тригонометрических функций, если cosa = 15/17, и a - угол четвертой четверти.

Учащимся предлагается выбрать способ решения и заполнить таблицу:

a	cosa		sina	tga	ctga
IV	15/17		-8/17	-8/15	-15/8

Решаем задачи по теме 2.

1. Задача: Вычислите с помощью формул сложения , если cosa = -15/17, a - угол третьей четверти, sin = 12/13, - угол первой четверти.

Ученик выходит к доске, учащиеся предлагают способы решения данной задачи и останавливаются на способе с применением пифагоровых троек. Используем алгоритм решений и записываем: (8, 15, 17) и (5, 12, 13). Далее находим по формулам сложения:

	cos(?+) =
	sin (a-) = sina * cos - cosa * sin sin (a-)=

Решаем задачи по теме 3.

Задача: вычислите cos2a и sin2a, если tga = -2,4 и a - угол второй и третьей четверти. Учащиеся предлагают способы решения задач, замечают, что -2,4 = -12/5, следовательно можно применить пифагорову тройку (5, 12, 13).

Ученик выходит к доске и записывает: