Задачи. Группа А
Вычислить:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Найти x, если:
Группа Б
Вычислить без таблиц:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Найти значения выражений:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;- Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что . - Вычислить
,
если известно, что . - Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что 
. - Вычислить
,
если известно, что .
Найти значения выражений:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
100.
Объем цилиндра
1.12.2 Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого равна S. Найдите объем этого цилиндра.
1.13.2 Радиусы оснований двух цилиндров равны R и r. Осевое сечение каждого из них является квадратом. Найдите отношение объемов этих цилиндров.
1.14.2 Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной
его оси. Диагональ сечения равна 
, она наклонена к плоскости
основания цилиндра под углом 
. Плоскость сечения отсекает от
окружности основания дугу величиной 
.
Найдите объем цилиндра.
1.15.2 Прямоугольник, площадь которого 200 см
, вращается
вокруг одной из сторон. Точка пересечения его
диагоналей описывает окружность, длина которой 20
см. Вычислите
объем цилиндра.
1.16.2 Прямоугольник, периметр которого равен Р, вращается вокруг одной из сторон. Длина окружности, которую описывает точка пересечения его диагоналей, равна с. Найдите объем цилиндра.
1.17.2 Диагональ прямоугольника равна 30 см, его
площадь 432 см
.
Вычислите объем цилиндра, полученного при
вращении прямоугольника вокруг большей стороны.
1.18.2 Радиус основания цилиндра равен 
. Площадь
сечения цилиндра плоскостью, параллельной его
оси равна S. Расстояние между осью и плоскостью
сечения равно 0,5 R. Найдите объем цилиндра.
1.20.2 Квадрат, сторона которого равна 
, вращается вокруг прямой,
параллельной его стороне. Расстояние от этой
прямой до ближайшей стороны квадрата равно 2 
. Найдите объем
тела, полученного при вращении квадрата.
1.21.3 Вершины квадрата, площадь которого равна 36
см
, лежат на
окружностях оснований цилиндра. Угол между
плоскостями квадрата и основания цилиндра равен
60
. Вычислите
объем цилиндра.
1.22.3 Вершины равностороннего треугольника,
сторона которого равна 
, расположены на окружностях оснований
цилиндра. Угол между плоскостями треугольника и
основания цилиндра 
. Найдите объем цилиндра.
1.23.3 В нижнее основание цилиндра вписан
треугольник, площадь которого 336 см
. Его стороны
пропорциональны числам 7, 24, 25. Расстояние от
центра верхнего основания цилиндра до вершин
треугольника 65 см. Вычислите объем цилиндра.
1.24.3 Высоты двух цилиндров пропорциональны числам 3 и 5. Площадь боковой поверхности каждого цилиндра равна площади его основания. Найдите отношение объемов этих цилиндров.
1.25.3 Площадь боковой поверхности цилиндра численно равна его объему. Найдите диаметр основания цилиндра.
1.26.3 Радиусы оснований двух цилиндров равны R и r. Площади их боковых поверхностей равны. Найдите отношение объемов этих цилиндров.
1.27.3 Найдите наибольший возможный объем
цилиндра, площадь полной поверхности которого
равна 54
см
, если известно,
что длина радиуса основания может изменяться от 1
см до 4 см.
1.28.3 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см. Найдите наибольший возможный объем цилиндра.
Объем конуса и усеченного конуса
1.13.2 Хорда основания конуса равная 6 дм,
стягивает дугу в 90
. Через эту хорду и вершину конуса
проведено сечение. Угол между плоскостями
сечения и основания конуса 60
. Вычислите объем конуса.
1.14.2 Радиус основания конуса равен R. Через
вершину конуса и хорду его основания проведено
сечение. Угол между плоскостями сечения и
основания конуса равен 
. Градусная мера меньшей из дуг, на
которые делит хорда окружность основания, равна 
. Найдите объем
конуса.
1.15.2 Угол между плоскостями основания конуса и
сечения, проходящего через его образующие, равен 
. Хорда,
являющаяся основанием сечения, равна 2 m. Она
удалена от центра основания конуса на
расстояние, равное 
. Найдите объем конуса.
1.16.2 Угол при основании осевого сечения конуса
равен .
Радиус окружности, описанной около него r.
Найдите объем конуса.
1.17.2 Длины высоты и образующей конуса
пропорциональны числам 4 и 5. Объем конуса 96 см
. Вычислите площадь его
полной поверхности.
1.18.2 Угол между образующей и высотой конуса 30. Сторона
правильного треугольника, вписанного в
основание конуса, равна 
см. Вычислите объем конуса.
1.19.2 Радиус основания конуса 5 см, его объем 
см. Вычислите градусную меру
центрального угла развертки боковой поверхности
конуса.
1.20.2 Вычислите градусную меру центрального угла
развертки боковой поверхности конуса, если его
объем равен 
см, а радиус
основания—25 см.
1.21.2 Угол между образующей и высотой конуса 60. Разность между
их длинами 3 дм. Вычислите объем конуса.
1.22.2 Площадь боковой поверхности конуса 
см
. Тангенс угла между образующей и
плоскостью основания равен 3. Вычислите объем
конуса.
1.23.2 Угол между образующей и плоскостью
основания конуса 60. Площадь его боковой поверхности 6 см. Вычислите
объем конуса.
1.24.2 Через середину образующей конуса проведена
плоскость, параллельная его основанию. Вычислите
объем отсеченного конуса. Если объем другой
отсеченной части равен 70 см.
1.25.2 Объем усеченного конуса 584 см. Радиусы его оснований 10 см и 7
см. Вычислите длину высоты усеченного конуса.
1.26.2 Радиусы оснований усеченного конуса
пропорциональны числам 1 и 2. Длина его образующей
дм. Она
наклонена к плоскости нижнего основания под
углом, синус которого равен 0,25. Вычислите объем
усеченного конуса.
1.27.2 Радиусы оснований и образующая усеченного
конуса пропорциональны числам 3,8 и 13. Объем его
равен 388.
Вычислите площадь боковой поверхности
усеченного конуса.
1.28.2 Основания осевого сечения усеченного
конуса 4 дм и 8 дм. Угол между образующей и
плоскостью основания усеченного конуса 45. Вычислите его
объем.
1.29.2 Диагональ осевого сечения усеченного конуса 17 дм, его высота 15 см. Проекция образующей на плоскость основания 2 см. Вычислите объем усеченного конуса.
1.30.2 Отношение площадей основания и боковой
поверхности конуса равно m. Длина образующей 
. Найдите объем
конуса.
1.31.3 Угол между образующей и плоскостью
основания конуса 
. Разность длин образующей и высоты
конуса d. Найдите объем конуса.
1.32.3 Площадь боковой поверхности конуса равна S. Расстояние от центра основания до образующей d. Найдите объем конуса.
1.33.3 Сечением конуса плоскостью, содержащей его вершину, является прямоугольный треугольник. Оно делит боковую поверхность конуса на две части, площади которых относятся как 1:2. Радиус основания конуса равен R. Найдите объем конуса.
1.34.3 Высота конуса H. Две его взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности на две части, отношение которых равно 0,5. Найти объем конуса.
1.35.3 Объем конуса 243 см. Высота конуса разделена на три равные
части. Через точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Вычислите объем части
конуса расположенной между этими плоскостями.
1.36.3 Объем усеченного конуса 2580 см. Его высота равна 15 см. Она
составляет 3/8 высоты полного конуса. Вычислите
длину радиуса большего основания усеченного
конуса.
1. 37.3 Радиусы усеченного конуса пропорциональны
числам 1 и 2. Площадь его полной поверхности вдвое
больше площади боковой поверхности. Площадь
осевого сечения усеченного конуса 
. Найдите его объем.
1.38.3 Найдите наибольший возможный объем конуса, периметр осевого сечения которого равен 10 дм.
1.39.3 Площадь боковой поверхности конуса 36 см
. Какой должна быть длина
радиуса его основания, чтобы объем конуса был
наибольшим?
1.40.3 Сумма длин высоты и образующей конуса равна 4 м. Какова должна быть длина образующей конуса, чтобы его объем был наибольшим?
1.41.3 Из всех конусов данного объема найдите конус, площадь боковой поверхности которого наименьшая.
1.42.3 Периметр равнобедренного треугольника 2 p. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы объем тела, образованного при вращении треугольника вокруг основания, был наибольшим?
Объем призмы
1.12.2 Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна 26 см. Расстояние между непараллельными диагоналями противоположных боковых граней равно 10 см. Вычислите объем призмы.
1.13.2 Сторона основания правильной
четырехугольной призмы равна a. Диагональ призмы
образует с плоскостью боковой грани угол . Найдите объем
призмы.
1.14.2 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см. Боковая поверхность ее равна сумме площадей оснований. Вычислите объем призмы.
1.15.2 Расстояние между противоположными ребрами правильной треугольной призмы равно а. Боковое ребро в 3 раза больше стороны основания. Найдите объем призмы.
1.16.2 Основанием прямой призмы является ромб с
углом 60.
Большая ее диагональ равна 12 см и наклонена к
основанию под углом 45. Вычислите объем призмы.
1.17.2 Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого пропорциональны числам 5 и 16. Диагонали параллелепипеда равны 26см и 40 см. Вычислите объем параллелепипеда.
1.20.2 Стороны основания прямой треугольной
призмы равны 10 см, 10 см и 16 см. Диагональ меньшей
боковой грани наклонена к плоскости большей
боковой грани под углом 30. Вычислите объем призмы.
1.21.2 Основанием параллелепипеда является квадрат со стороной 20 см, а все боковые грани — ромбы. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от вершин нижнего основания. Вычислите объем параллелепипеда.
1.29.3 Все ребра параллелепипеда имеют длину а.
Плоские углы одного трехгранного угла равны 45, 60и 90. Вычислите объем
параллелепипеда.
1.30.3 Объем четырехугольной призмы равен V.
Плоскости диагональных сечений взаимно
перпендикулярны, их площади равны 
и 
. Найдите длину бокового ребра
призмы.
1. 31.3 Диагональ прямоугольного параллелепипеда
равна 10
см и
образует с плоскостью основания угол 45. Вычислите
объем параллелепипеда, если одна сторона
основания больше другой на 2 см.
1.32.3 Площади двух боковых граней треугольной
призмы равны
и . Угол между
плоскостями этих граней равен . Найдите объем призмы,
если ее боковое ребро равно m.
1.33.3 Площадь боковой поверхности треугольной
призмы равна 8 м
. Длина бокового ребра равна 5 дм.
Расстояние между боковыми ребрами
пропорциональны числам 16, 25 и 39. Вычислите объем
призмы.
1.34.3 Основанием прямой призмы является
равнобочная трапеция, в которую можно вписать
окружность. Боковая сторона основания равна а,
острый угол -
.
Расстояние между параллельными и неравными
ребрами верхнего и нижнего оснований равно а.
Найдите объем призмы.
1.35.3 Сумма длин всех ребер правильной треугольной призмы равно 36 дм. Вычислите длину стороны основания призмы, если она имеет наибольший объем.
1.36.3 Сумма длин всех ребер треугольной призмы равна b. Найдите длину стороны основания призмы, при которой ее объем будет наибольшим.
1.37.3 Периметр боковой грани правильной треугольной призмы равен а. Найдите длину ее бокового ребра, при которой объем призмы будет наибольшим.
1.38.3 Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. Найдите длину ее бокового ребра, при которой объем призмы будет наибольшим.
Объем пирамиды
1.19.2 Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой длина каждого ребра равна 6 см.
1.20.2 Сторона основания правильной
четырехугольной пирамиды равна а. Угол между
апофемами смежных боковых граней 60
. Найдите объем пирамиды.
1.21.2 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональное сечение является правильным треугольником со стороной а.
1.22.2 Основание пирамиды MABCD — прямоугольник.
Высота пирамиды равна 
дм и делит сторону AD основания пополам.
Боковые грани AMB и BMC наклонены к плоскости
основания соответственно под углами 45
и 30
. Вычислите объем пирамиды.
1.23.2 Основание пирамиды — прямоугольник. Две
боковые грани ее перпендикулярны основанию, две
другие образуют с плоскостью основания углы в 45 и 30. Вычислите объем пирамиды,
если длина наибольшего ребра равна 
см.
1.24.2 Основание пирамиды — ромб со стороной 14см и
острым углом 60.
Двугранные углы при основании пирамиды равны 45. Вычислите
объем пирамиды.
1.25.2 Основание пирамиды — ромб. Все боковые
грани наклонены к плоскости основания под углом 
. Найдите объем
пирамиды, если сторона ромба равна а, а его острый
угол равен 
.
1.26.2 Длина ребра правильного тетраэдра равна а. Найдите его объем.
1.27.2 Угол между плоскостями боковой грани и
основания правильной треугольной пирамиды равен
60, сторона ее
основания — 4 см. Вычислите объем пирамиды.
1.28.2 Высота правильной треугольной пирамиды
равна 9
см,
боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 30.
Вычислите объем пирамиды.
1.29.2 Угол между плоскостями боковой грани и
основания правильной треугольной пирамиды равен
60. Длина ее
апофемы равна 4 дм. Вычислите объем пирамиды.
1.30.2 Основание пирамиды — прямоугольный
треугольник, один из катетов которого равен 6 см,
а противолежащий ему угол — 60. Вычислите объем пирамиды, если
длина каждого бокового ребра равна 4 см.
1.31.2 Основание пирамиды — равнобедренный
треугольник с углом при вершине 120 и боковыми сторонами
равными 10 см. Все боковые ребра равны по 26 см.
Вычислите объем пирамиды.
1.32.2 Стороны основания треугольной пирамиды,
объем которой равен 2000 см
, равны 20 см, 30 см, 40 см. Боковые
ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости
основания. Вычислите угол между боковым ребром и
плоскостью основания пирамиды.
1.33.2 Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого соответственно равны 10 дм и 13 дм. Длина каждого бокового ребра пирамиды равна 10 дм. Вычислите объем пирамиды.
1.34.2 Основание пирамиды — треугольник, длины сторон которого 6 дм, 6 дм и 8 дм. Длина каждого бокового ребра равна 9 дм. Вычислите объем пирамиды.
1.35.2 Длины сторон треугольника, лежащего в
основании пирамиды 7 см, 8с м и 9 см. Боковые грани
пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания. Вычислите угол между плоскостями
боковой грани и основания пирамиды, если объем ее
равен 20 см.
1.36.2 Основание пирамиды — треугольник со
сторонами 10 см, 12 см и 10 см. высоты боковых граней
равны 3
.
Вычислите объем пирамиды.
1.37.2 Основание пирамиды—прямоугольный
треугольник, катеты которого равны 12 см и 9 см.
Каждая боковая грань наклонена к основанию под
углом 30.
Вычислите объем пирамиды.
1.38.2 Длины сторон основания треугольной
пирамиды 7 см, 8 см и 9 см. Двугранные углы при
ребрах основания пирамиды по 45. Вычислите объем пирамиды.
1.39.2 2 Основание пирамиды — равносторонний
треугольник со стороной 
см. Две боковые грани пирамиды
перпендикулярны плоскости основания, а третья
наклонена к ней под углом 60. Вычислите объем пирамиды.
1.40.2 Сторона основания правильной
шестиугольной пирамиды равна 4дм, боковая грань
наклонена к плоскости основания под углом 60. Вычислите
объем пирамиды.
1.41.2 Вычислите объем правильного октаэдра,
ребро которого равно 
см.
1.42.2 Объем пирамиды равен 120 см
. Через середину ее высоты
проведена плоскость, параллельная основанию.
Вычислите объемы двух полученных
многогранников.
1.43.2 Стороны оснований правильной
четырехугольной усеченной пирамиды равны 12 см и
18 см. Боковые грани ее наклонены к плоскости
большего основания под углом 60. Вычислите объем
усеченной пирамиды.
1.44.2 Стороны оснований правильной
четырехугольной усеченной пирамиды равны 12 см и 8
см. Боковые грани ее наклонены к плоскости
большего основания под углом 30. Вычислите объем
усеченной пирамиды.
1.53.3 Плоский угол при вершине правильной
четырехугольной пирамиды равен 60, а высота пирамиды — 5 дм.
Вычислите объем пирамиды.
1.54.3 Вычислите объем правильной
четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро
равно 7 дм, а косинус плоского угла при вершине-
.
1.55.3 Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V, сторона основания —а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1.56.3 Основание пирамиды—прямоугольник, площадь
которого 1 м
.
Две боковые грани ее перпендикулярны плоскости
основания, а две другие наклонены к нему под
углами 30 и 60. Вычислите
объем пирамиды.
1.57.3 Основание пирамиды — прямоугольник. Одна
боковая грань перпендикулярна плоскости
основания, а остальные наклонены к ней под углом
60. Высота
пирамиды — 3 см. вычислите объем пирамиды.
1.58.3 Основание пирамиды — прямоугольник с
площадью S, две боковые грани ее перпендикулярны
плоскости основания, а две другие образуют с ней
углы 
и 
. Найдите объем
пирамиды.
1.59.3 Основание пирамиды — параллелограмм, стороны которого равны 3 дм и 7 дм, а одна из диагоналей — 6 дм. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 дм. Вычислите объем пирамиды.
1.60.3 Длина каждого бокового ребра пирамиды 65см. Основание пирамиды—трапеция, у которой длины сторон равны 14 см, 30 см, 50 см и 30 см. Вычислите объем пирамиды.
1.61.3 Вычислите объем четырехугольной пирамиды, у которой длина каждого бокового ребра равна 39 см, а длина сторон основания 18 см, 18 см, 24 см и 24 см.
1.62.3 Основание пирамиды — равнобочная трапеция,
основания которой равны 4 см и 16 см. Вычислите
объем пирамиды, если угол между плоскостями
каждой ее боковой грани и основания равен 60.
1.63.3 Основание пирамиды—равнобочная трапеция,
у которой длины параллельных сторон 2 м и 8 м.
Боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 60.
Вычислите объем пирамиды.
1.64.3 Основание пирамиды—равнобочная трапеция, параллельные стороны которой равны 10 дм и 20 дм. Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 10 дм. Вычислите объем пирамиды.
1.65.3 Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной равной а и плоским углом при вершине, равным углу наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
1.66.3 Сторона основания правильной треугольной
пирамиды равна а, двугранные углы при боковых
ребрах равны 120. Найдите объем пирамиды.
1.67.3 Вычислите объем треугольной пирамиды, у которой два противоположных ребра равны 8 см и 24 см, а все остальные ребра имеют длину 14 см.
1.68.3 Вычислите объем треугольной пирамиды, если
два угла ее основания равны и , а радиус описанной около него
окружности — R. Боковые ребра пирамиды наклонены
к плоскости основания под углом 
.
1.69.3 Вычислите объем треугольной пирамиды, если
каждое ее боковое ребро равно 1 дм, а плоские углы
при вершине соответственно равны 60, 90 и 120.
1.70.3 Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 м и 3 м. Тангенс угла между плоскостями боковой грани и нижнего основания равен 6. Вычислите объем усеченной пирамиды.
1.71.3 Площади оснований правильной
четырехугольной усеченной пирамиды
пропорциональны числам 1 и 16. Вычислите объем
этой усеченной пирамиды, если ее апофема равна
5см, а площадь боковой поверхности — 100 см
.
1.72.3 Тангенс угла между плоскостями боковой
грани и нижнего основания правильной
четырехугольной усеченной пирамиды равен 
. Стороны ее
оснований равны 12 см и 8 см. Вычислите объем
усеченной пирамиды.