Цели:
- показать разнообразие сфер применения прикладных задач математики;
- повторить дифференциальное и интегральное исчисления, логарифмирование;
- развивать логическое мышлене, вычислительных навыков;
- расширять кругозор;
- воспитывать самостоятельность в добывании знаний;
- воспитывать умение работать в группах;
- обучать компьютерной грамотности.
Оборудование: компьютер, рисунок пирамиды, зачетные листы, разноуровневые карточки с задачами.
Подготовка к уроку: учащиеся класса разбиваются на 4 группы и готовят заранее презентации по вопросам плана.
ХОД УРОКА
I. Вводное слово
В 20 веке в одной из стран нашлись организаторы
любопытного конкурса. Они предложили
соревноваться в написании сочинения на тему:
«Как жил человек без математики». Победителю
была обещана большая премия. Но ни одной работы
на конкурс не поступило, хотя премия прельщала
многих.
История этого конкурса все-таки поучительна. Она
является красноречивым свидетельством
нелепости темы о жизни человеческого общества
без математики.
Сегодня мы проведем урок по теме «Прикладные
задачи математики».
Основная цель урока: показать широкое применение
математических методов в самых различных
областях человеческой деятельности.
Работать будем по следующему плану:
- Физика, экология – радиоактивные вещества.
- Биология – размножение бактерий.
- География – демографические проблемы.
- История – Великие пирамиды.
У каждого из вас есть зачетный лист, который разделен вертикальной чертой на две части. В левой части вы должны в ходе работы на уроке записывать опорные формулы для решения задач. Затем после изложения всего материала занятия вы выполните самостоятельную работу. Решите задачи в зачетном листе с правой стороны от вертикальной черты. Итак, начнем с первого пункта плана.
II. Основная часть
Физика, экология. Радиоактивные вещества
Выступление с показом презентации первой
группы учащихся.(Приложение 1)
Сегодня 26 апреля исполняется 20 лет со дня
Чернобыльской катастрофы (показ видеофильма о
Чернобыле).
Звучат слова: «26 апреля 1986 года на Чернобыльской
атомной электростанции мирный атом вышел из-под
контроля. Радиоактивное облако накрыло страны
Европы и распространилось по всей Земле.
Заброшенный город – результат отселения тысяч
людей из 30-ти километровой зоны. И это не пикник
на обочине неведомых существ. Это результат
человеческой самоуверенности. Наша собственная
зона, вход куда закрыт на многие-многие годы.»
Огромную опасность для природы нашей планеты
представляет гонка вооружений. Загрязнения,
возникающие при испытании ядерного оружия, дают
1/5 всех загрязнений окружающей среды. Наша
планета постепенно превращается в кладбище
ядерных отходов.
Что же представляют собой ядерные отходы –
остатки отработанных радиоактивных веществ? Так
ли они безобидны?
Скорость уменьшения массы m(t) радиоактивного
вещества пропорционально его количеству, т.е. m'(t)
= – k m(t). Решением этого уравнения при t = 0 является
m(t) = m0e–kt, где
, m0 – масса вещества в начальный
момент времени t = 0, m – масса вещества в момент
времени t, Т – период полураспада.
е ~ 2,718281828…, ln 2 ~ 0, 693147, ln 10 ~ 2,302585.
Период полураспада Т – это время, за которое
первоначальная масса радиоактивного вещества
уменьшится вдвое.
Периоды полураспада различных веществ различны:
от миллиардов лет до десятимиллионных долей
секунды.
Например, период полураспада урана238 – 4,5 млрд
лет, цезия137 – 31 год, йода131 – 8 суток, тория с
всего 3 • 10–7 секунд.
Задача 1. Период полураспада радия равен 1600 лет. Через какое время его количество уменьшится в 10 раз?
Решение.
m(t) = m0e-kt, m = 
m0 , m0 = m0e-kt, 
, e–kt = 10, ln
e–kt = ln10 kt = ln 10, t = 
k = 
t = 
.
T
Ответ: через 5315 лет количество радия уменьшится в 10 раз.
Вопрос. Через какое время из 1 кг
радиоактивного радия получится 1 грамм?
Ответ: чтобы из 1 кг радиоактивного
радия получить1 грамм, необходимо 15945 лет.
Вывод: теперь понятно, почему нашу
планету стали называть кладбищем ядерных
отходов.
«Земля у нас только одна. Этот прекрасный корабль
имеет всё необходимое для бесконечно долгого
путешествия на нём. Механизм жизни необычайно
прочен, однако не беспредельно. В случае поломки
его, пересесть нам будет не на что. Надо беречь,
что имеем»
Берегите Землю!
Берегите
Жаворонка в голубом зените,
Бабочку на листьях повилики,
На тропинке солнечные блики,
На камнях играющего краба,
На могиле тень от баобаба,
Ястреба, парящего над полем,
Полумесяц над речным покоем,
Ласточку, мелькающую в жите,
Берегите Землю!
Берегите!М. Дудин
Физика точная наука, родственная математике. Но математические вычисления применяются и в естественных науках.
Биология. Размножение бактерий
Выступление с показом презентации второй группы учащихся. (Приложение 2)
В воздухе и в воде, в любом комочке почвы и в
каждом живом организме обитают тысячи, а то и
миллионы бактерий.
Бактерии разрушают мертвую органическую материю
и превращают ее в углекислый газ и воду,
регулируют состав атмосферы, помогают сохранять
плодородие почвы.
Значение бактерий в промышленности и сельском
хозяйстве открыл французский ученый Луи Пастер.
В результате его исследований были открыты
бактерии, оказавшиеся виновниками тяжелых
заболеваний человека, животных, растений.
Бактерии необычайно живучи. Их удается
обнаружить: в верхних слоях атмосферы на высоте
нескольких десятков километров и глубоких
подземных скважинах, в кипящих вулканических
источниках и в толще антарктических ледников.
Бактерии были найдены даже в воде, охлаждающей
ядерные реакторы, т. е. там, где уровень радиации
во много раз превышает смертельную дозу для
человека. Оптимальная температура роста
бактерий 30o-40o С, встречаются виды,
развивающиеся при температуре ниже 12oС и
выше 50oС.
Скорость m'(t) размножения бактерий связана с
массой m(t) бактерий в момент времени t
уравнением m'(t) = km'(t), где k –
положительное число, зависящее от вида
бактерий и внешних условий.
Решением этого дифференциального уравнения
являются функции m(t) = Cekt
Если в момент времени t = 0 масса бактерий
– m0, то m(t) = m0ekt
Задача 2. Какое потомство даст одна бактериальная клетка за 6 часов? (Коэффициент k = 2)
Решение.
m(t) = m0ekt, m(6) = 1
= 
.
Ответ: 150000 бактерий – потомство одной бактериальной клетки за 6 часов.
Учитель. Обратите внимание на формулы
в 1 и 2 задачах.
Вопрос 1. Чем они отличаются и как
отражается это отличие на практике?
Ответ: формулы в задачах 1 и 2 отличаются
знаком перед коэффициентом k. На
практике это означает, что с течением времени
количество радиоактивного вещества уменьшается,
а численность бактерий растет.
Вопрос 2. Почему при таком быстром
размножении бактерии до сих пор не заполнили
нашу Землю?
Ответ: большая часть бактерий быстро
погибает (продолжительность жизни бактерий
мала).
География. Демографические проблемы
Выступление с показом презентации третьей группы учащихся. (Приложение 3)
На протяжении почти всей истории человечества
рост населения был медленным, ускорение роста
наступило в 20 веке. Численность в 1 млрд человек
население мира достигло в 1820 году. В 1927 году на
Земле стало 2 млрд жителей, в 1960 – 3 млрд, в 1975 – 4
млрд, в 1978 – 5 млрд, в 1999 – 6 млрд.
К числу важнейших социально-экономических
процессов современности относится урбанизация,
характерной чертой которой является быстрый
темп роста городского населения. В 1900 г. в городах
жило около 14 % населения мира, в 1950 г. – 29 %, в 1995 г.
– 45 %, в 2000 г. – 48 %.
Скорость роста народонаселения задается
уравнением N'(t) = k N(t)
Решениями этого дифференциального уравнения
являются функции N(t) = C
Если в момент времени t = 0 число людей равно N0,
то N(t) = N0
, 
прирост населения в год. Если прирост населения в
год составляет 2%, то N = N0
.
Задача 3. Население города – новостройки увеличивается ежегодно на 8 %. Через сколько лет число жителей удвоится?
Дано: N = 2N0, 
= 0,08.
Найти: t.
Решение.
N(t) = N0,
2 N0 = N0,
= 2, ln = ln2, t = ln2, t = ln2 : ,
t ~ 0,693147: 0,08 ~ 8,6643 ~ 9(лет).
Ответ: число жителей удвоится
приблизительно через 9 лет.
Вопрос. Что общего в решении этих задач из
различных областей науки?
Учитель. Общественные науки также
пользуются математическим аппаратом для
детального изучения своих объектов.
История. Великие пирамиды
Выступление с показом презентации четвертой группы учащихся. (Приложение 4)
Поразительно, но при довольно примитивной и
громоздкой арифметике древние египтяне смогли
добиться значительных успехов в геометрии. Среди
пространственных тел самым «египетским» можно
считать пирамиду, ведь именно такую форму имеют
знаменитые усыпальницы фараонов. Восхищение
Великими пирамидами настолько велико, что их
считают одним из семи чудес света.
Строение гробницы следовало рассчитать так,
чтобы давление на внутренние помещения (галереи,
погребальные камеры, святилища) распределялось
равномерно, и пирамида не обрушилась внутрь от
собственной тяжести.
Математические расчеты стирают пыль веков с
некоторых фактов.
Например, можно рассчитать работу против силы
тяжести, затраченную при постройке пирамиды.
Задача 4. Пирамида Хеопса представляет собой правильную пирамиду высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 232 м. Она построена из камня, плотность которого 2,5 г/см3. Найти работу против силы тяжести, затраченную при постройке.
Рисунок 1
Дано: правильная четырехугольная
пирамида, Н = 147 м, 
= 2,5 г/см3 = 2500кг/м3,
а = 232 м, g = 9,8 м/с2
(Н/кг).
Найти: А.
Решение.
Проведем вертикально вверх ось х с
началом О у основания пирамиды. По этой оси будем
измерять высоту подъема камней.
Решим задачу в общем виде, а в ответ подставим
числовые значения.
Пусть высота пирамиды равна Н, сторона
основания а, плотность камня .
А(х) – работа, совершаемая для
постройки пирамиды от основания до высоты х.
у – сторона квадрата, получающегося в
горизонтальном сечении пирамиды на высоте х.
АВС ~ОВЕ,
следовательно, (Н – х) : Н
= у : а, отсюда у = а(Н
– х) : Н.
Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный
на расстоянии х от основания. Этот
слой можно приблизительно считать
параллелепипедом.
Пусть dx – толщина слоя, dm – масса слоя.
dm = dV = y2 dx = a2(H –
x)2 : H2dx.
При подъеме этого слоя на высоту х была проделана работа dA = dFx.
dA = (g dm) • x = g a2(H – x)2
: H2x dx.
А = 9,8 • 2500 • 2322 • 1472 : 12 =
2,374627416000 Дж ~ 2,4 • 1012 Дж = 24 • 105
тоннокилометров.
Ответ: работа против силы тяжести,
затраченная при постройке пирамиды равна
2400000 тоннокилометров.
Учитель. Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейшие инструменты для исследования окружающего нас мира. И вы в процессе изучения математики знакомились с такими инструментами и учились ими правильно владеть: это формулы, правила, выводы (дифференциальное и интегральное исчисления, логарифмирование). Сейчас вы выполните самостоятельную работу, применяя правильно формулы, выводы, которые записаны у вас в ходе урока.
III. Выполнение самостоятельной работы
Задачи расположены по мере возрастания степени трудности (учащиеся сами выбирают посильные задания)
Задачи для самостоятельной работы:
1. Какое потомство даст одна бактериальная
клетка за 2 часа? (Коэффициент к = 3).
Ответ: е6 ~ 387 бактерий.
2. Население страны увеличивается ежегодно на 3%.
Через сколько лет число граждан этой страны
удвоится?
Ответ: приблизительно через 23 года.
3. Период полураспада цезия равен 31 году. Через
какое время его количество уменьшится в 100 раз?
Ответ: приблизительно через 206 лет.
4. Найти работу против силы тяжести, затраченную
при постройке пирамиды Хефрена, если ее высоту
считать равной 143 м, основание – квадрат со
стороной 230 м, а плотность строительного камня 2,5
г/см3.
Ответ: приблизительно 2,2 • 1012 Дж.
IV. Итог урока
Выводы:
- Широкое применение математических методов в самых различных областях человеческой деятельности.
- Решение дифференциальных уравнений дает возможность находить не просто значения тех или других постоянных величин, а разные виды функциональных зависимостей, законы тех или иных явлений и процессов.
- Решая дифференциальное уравнение, мы получаем картину развивающегося во времени процесса.
- Многие уравнения и процессы разной природы описываются одинаковыми уравнениями. Если мы знаем решение того или иного дифференциального уравнения, то тем самым мы фактически имеем результат для всех аналогичных процессов, описываемых данным уравнением.
Выставление оценок.
V. Задание на дом
Оформить материал «Прикладные задачи математики» в виде проекта, добавив диаграммы, графики, таблицы и другие практические задачи.
– Закончить урок я хочу словами Н. И. Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».