Способы решения уравнений и неравенств

Атаева Вера Ивановна

Анализируя опыт моей работы в старших классах, (а я выпустила уже 4 класса, сдающих ЕГЭ) я сделала вывод: необходимо знакомить учащихся как можно с большим количеством методов решения задач. Проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач, т. к. знание некоторых приемов позволит многие трудные задачи сделать вполне посильными. Выбраны способы, овладение которыми может оказаться полезными при решении заданий части С.

Например, при изучении темы “ Иррациональные уравнения” помимо основного способа возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень рассмотреть следующие методы, выполняя поставленные цели и задачи:

Цели:

показать нестандартные приемы решения иррациональных уравнений;
повысить уровень понимания и практической подготовки в решении уравнений и неравенств;
формировать и развивать качества мышления, характерные для математической деятельности.

Задачи:

научиться решать уравнения и неравенства более высокого, по сравнению с обязательным, уровнем сложности;
овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования.

I. Иррациональные уравнения.

1) Решив, такой пример сначала обычным способом определив, что проверка корней связана с определенными трудностями, необходимо предложить более простой способ решения, который не требует столь скрупулезной проверки.

Обратим внимание, что при таком способе нет необходимости делать проверку, так же как и проверять, попадет ли найденное значение корня в область допустимых значений уравнения. Вместо этого мы по ходу решения следили за тем, чтобы вновь введенные переменные удовлетворяли условиям u ≥ 0, z ≥ 0.

Проверкой убеждаемся, что x = 5 корень исходного уравнения.

4) Метод сведения иррациональных уравнений к системам рациональных эффективно применять при решении таких уравнений:

Проверкой убеждаемся, что оба числа являются корнями исходного уравнения.

5) Умножение обеих частей уравнения на функцию, имеющую смысл на ООУ. При решении необходимо следить за равносильностью преобразований на ООУ, либо в конце решения надо сделать проверку, так как могут появиться посторонние корни.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2.

6) Рассмотрим еще один очень эффективный метод решения некоторых иррациональных уравнений, который редко применяется. Речь идет о заменах, но не алгебраических, а тригонометрических.

установим взаимнооднозначное соответствие между х и γ, ограничим промежуток изменения следующим неравенством: 0≤ γ≤ π

Оба слагаемых в левой части неотрицательны, т. к. их сумма равна нулю, то каждое из них также равно нулю, значит:

Ответ: 0.

Задания, в которых можно применять указанный метод:

II. Задачи связанные с исследованием свойств, входящих в них функций.

1) Использование ОДЗ


Проверка

Ответ: 1.

2) Использование оценки множества значений функции.

(Использование ограниченности функций.)

Уравнение имеет решение обе части уравнения одновременно равны 4.

Ответ: -0,1.

III. Использование монотонности функции.

а) Если f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке L, то уравнение f(x) = С, где С – const, может имеет не более одного решения на промежутке L.

б) Если f(x) и g(x) – непрерывные на промежутке L функции f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает на этом промежутке, то уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного решения на промежутке L.

в) Если y = f(x) возрастает при а ≤ x ≤ b

y = g(x) убывает и f(а) > g(а), то корней уравнения для а ≤ x ≤ в нет.

Например:

1а) log₂(7 – x) = x – 1

О.О.У x < 7

f(x) = log₂(7 – x)

g(x) = x – 1

для x < 7 y = f(x) – убывает,

y = g(x) – возрастает.

Методом подбора выясняем, что x = 3 и этот корень один.

Ответ: 3.

2б). 3^х+ 4^х+ 5^х= 6^х