Урок направлен на повторение, обобщение и применение в нестандартных ситуациях пройденного материала по темам: «Геометрический смысл производной», «Уравнение касательной». Урок проводится в компьютерном классе, сопровождается презентацией, включает элементы исследовательской работы (лабораторная работа обучающихся с использованием программы Graph plotter v.1.0 (www.still-soft.com), анализ результатов, выдвижение гипотезы и ее доказательство, использование результатов).
Цели:
- «Открыть» и доказать свойство касательной к гиперболе
, найти его применение для решения геометрической задачи на построение; - Показать рациональность применения изученного материала в задачах, не связанных с касательной.
Задачи:
- Развитие учебно-познавательных, информационных компетенций посредством наблюдений, сопоставлений, сравнений, обобщений в процессе работы с моделями графиков функций.
- Развитие навыков исследовательской работы.
Приложения:
- Приложение 1 - презентация, сопровождающая ход урока.
- Приложение 2 - буклет, содержащий материал по основным типам задач на касательную, составленный к уроку одним из учащихся (Стрельников Евгений, 10 кл, ТОГОУ «Мичуринский лицей- интернат»).
- Приложение 3 - шаблон заготовки для практической работы учащихся.
План урока.
- Постановка цели.
- Актуализация опорных знаний учащихся.
- Исследование по теме: «Гипербола и касательная».
- Решение типовой задачи ЕГЭ с применением касательной.
- Итог, домашнее задание.
Ход урока.
1. Постановка цели.
- Сегодня на уроке мы повторим и обобщим материал по теме « Касательная к графику функции». Но не только. Нам предстоит открыть некоторые новые свойства касательной (в частном случае), которые не очевидны, а поэтому удивят вас.
2. Актуализация опорных знаний учащихся (фронтальная работа).
- Задания на повторение геометрического смысла производной (Приложение 1, слайды 3-16).
- Задания типа «Найди ошибку» на основные типы задач на касательную (Приложение 1, слайды 17-21). Здесь учитель нацеливает обучающихся на поиск ошибок в ходе решения четырех предложенных задач с последующим проговариванием правильного алгоритма решения (или подтверждения правильности решения).
- Как обобщение материала проводится представление учеником информационного продукта- буклета с материалом по основным типам задач на касательную; раздается всем учащимся (Приложение 2).
3. Исследование по теме: «Гипербола и касательная» (самостоятельная работа учащихся, фронтальная работа).
1. Лабораторная работа в программе Graph plotter v.1.0 (Приложение 1, слайды 22-31)
Тема исследования: «Касательная к графику функции у=f(x)».
Предмет исследования: гипербола и касательная к ней.
Цель исследования: установить свойства, которыми обладает касательная к графику гиперболы.
Учащимся предлагается построить график гиперболы y=6/x и касательную к нему в точке графика с абсциссой х=а (каждому учащемуся задаются различные точки), используя программу Graph plotter v.1.0 и вычислить площадь треугольника, отсекаемого касательной от осей координат. Результаты занести в таблицу (Приложение 1, слайд 26).
2. После того, как таблица заполнена, учащимся предлагается на основании ее результатов сформулировать гипотезу. Она очевидна: треугольник, образованный касательной к гиперболе у=k/х в точке графика с абсциссой х=а и осями координат, имеет постоянную площадь.
3. Затем учащимся предлагается доказать сформулированную гипотезу. Дается время на размышление, после чего один из учащихся записывает доказательство на доске (Приложение 1, слайд 29).
Кроме того, в ходе доказательства выявляются и другие интересные факты (следует нацелить учащихся на их поиск): точка касания является серединой отрезка, отсекаемого от касательной координатными осями. После доказательства учащимся предлагается на основании полученных фактов сформулировать выводы (Приложение 1, слайд 30).
4. Применение результатов исследования.
На основании полученных выводов учащимся предлагается придумать способы построения касательной к графику гиперболы у=k/х в любой точке графика без вывода уравнения касательной (Приложение 1, слайд 31). Для этого каждому заранее выдается заготовка с чертежом координатной плоскости и графиком гиперболы (Приложение 3), здесь учащиеся и проводят построения.
Возможные способы построения:
- Опустить перпендикуляр на ось Ох из данной точки касания. Полученный перпендикуляр будет являться средней линией треугольника, отсекаемого касательной от координатных осей. По найденной середине катета строят вершину треугольника и через нее и точку касания проводят искомую касательную.
- Точка касания является центром окружности, описанной около треугольника, отсекаемого касательной от координатных осей, а радиусом является отрезок с началом в данной точке и концом в точке (0;0). Построив такую окружность, мы получаем вершины треугольника, лежащие на координатных осях. Прямая, проходящая через них- искомая касательная.
Свои способы учащиеся демонстрируют у доски, на которой заранее приготовлены чертежи гипербол.
5. Подводятся итоги исследовательской работы.
4. Решение типовой тренировочной задачи ЕГЭ с применением касательной.
Цель разбора этой задачи- показать возможности применения материала по теме «Касательная к графику функции» к решению задач с параметром.
Задача. (Приложение 1, слайд 32-36)
При каких значениях параметра а неравенство 
выполняется при всех допустимых значениях х?
Решение. (Коллективно с учащимися.)
О.Д.З.: 
Рассмотрим функции:
- ветвь параболы, ориентированная на ось Ох;
- семейство кривых с угловым коэффициентом ½. (Рис.1).
Условие задачи выполняется, если графики располагаются, как на рисунке 2.
Рисунок 1
Рисунок 2
Найдем, при каких значениях а прямая 
является касательной к графику функции 
.
Это все такие а, которые удовлетворяют системе:
Из второго уравнения найдем х=2,5. Тогда а=1,25.
При а<1,25 все прямые семейства будут находиться выше графика функции 
Таким образом, условие задачи выполняется при а≤1,25.
5. Итоги, домашнее задание.
Домашнее задание у учащихся указано в Приложении 3.
Использованные материалы:
- «1С: Репетитор. Математика (часть 1)+ Варианты ЕГЭ. 2006».
- Б. М. Ивлев, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, С. И. Шварцбурд. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для 10-11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1990.- 48 с.
- Ф.Ф.Лысенко и др. Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009. Часть II.
- http://www.still-soft.com/