Цели урока:
1. Сформировать умение применять ранее изученные свойства при решении задач, систематизировать и обобщить знания.
2. Воспитание аккуратности, точности и лаконичности ответов, умения слушать и анализировать высказывания учащихся.
3. Развитие исследовательско-познавательных способностей учащихся.
Оборудование урока:
1. Компьютер.
2. Мультимедийный проектор.
3. Экран.
4. Раздаточный материал.
5. Карточки с вопросами для опроса по домашнему заданию
6. Презентация к уроку (Приложение 1 «Устная работа», Приложение 2 «Иные способы доказательства известных теорем»).
Этапы урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа учащихся (приложение 1)
III. Проверка домашнего задания (опрос теорем 8 кл)
IV. Систематизация, обобщение знаний и умений.
V. Постановка домашнего задания.
VI. Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщаем о вопросах, рассматриваемых на уроке. Говорим, что было задано домашнее задание: повторить понятия средней линии треугольника и трапеции, их свойства, свойства биссектрисы треугольника.
Сегодня на уроке обсуждаем другие способы доказательства этих фактов.
II. Проверка домашнего задания
Опрос учащихся . 5 человек у доски:
- Свойство средней линии треугольника
- Свойство средней линии трапеции
- Свойство биссектрисы угла ( № 535 )
- № 792
- № 536(а)
III. Устная работа со всем классом Презентация «Площади фигур»
По окончании презентации беглый опрос отвечающих у доски.
Далее обсуждаются другие способы доказательства (индивидуальные задания)
1) № 792 Доказать с использованием векторов теорему «Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине».
Дано: ∆ ABC, AK=KB, AM=MC
Доказать: KM || BC, KM=0,5 BC
Доказательство:
Полученное равенство утверждает, что
KM || BC и KM = 0,5 BC, что и требовалось доказать.
2) Докажите свойство средней линии трапеции
3) Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
Построим CK || BD и продолжим AB до пересечения с CK (см. рис).
Используя свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, докажем, что ∆ BKC - равнобедренный.
Так как стороны <KAC пересечены двумя параллельными прямыми BD и KC, то AB:BK = AD:DC или AB:BC = AD:DC
II способ доказательства
Проведя DK || AB, получим равнобедренный ∆BDK,
т.к. <DBK = <BDK.
Из подобия треугольников ABC и DKC следует, что
AB:BC = DK:KC = BK:KC, но BK:KC = AD:DC, следовательно AB:BC = AD:DC
IV. Решение задач (если позволит время)
Соотношения в трапеции.
1) Дано: ABCD – трапеция
BC || AD
AB = CB
BE ┴ AD
MK - средняя линия
Доказать, что MK = ED
2) Дано: ABCD – трапеция
BC || AD,
AB = CD
Доказать, что
BD2 = AB2 + AD * BC
Доказательство: Проведем BE ┴ AD
BD2 = BE2 + ED2 = AB2– AE2 + ED2 = AB2 + (ED2 – AE2) = AB2 + (ED + AE) * (ED – AE) = AB2 + AD*BC Ч.т.д.
3) Дано: ABCD – трапеция
BC ||AD
AB ┴ AD
Доказать, что BD2 – AC2 = AD2 - BC2
Доказательство:
Вычитаем из 1-го уравнения второе.
BD2 - AC2 = AD2 _ BC2 Ч.т.д.
V. Постановка домашнего задания
№ 537; 786; 799
VI. Подведение итогов урока
Литература
1. Геометрия 7-9. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др./ « Просвещение», ОАО «Московские учебники»,М., 2006;
2. Гайштут А.Г., Литвиненко Г.Н. Планиметрия: Задачник к школьному курсу М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.
3. Смирнов В.А., Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. Учеб.пособие для ОУ. М.: МЦНМО, 2009.