Развитие творческой активности на уроках математики

Математика как школьный учебный предмет является наиболее стабильным среди общеобразовательных дисциплин в содержательном и целеполагающих аспектах, менее всего подвержена конъюнктурным и социально-политическим изменениям. Однако в связи с тенденцией общества на гуманизацию, гуманитаризацию образования, с ориентацией процесса обучения на индивидуальные интересы личности, в содержании, структуре и методике преподавания математики произошли за последние годы определенные изменения.
Появляются элементы статистики, формирующие у учащихся необходимые умения анализировать экономическую и другую информацию, усилились практические и прикладные аспекты изложения материала. Обществу необходима творческая личность, поэтому задача учителей математики в процессе обучения, ориентируясь на индивидуальные возможности учащегося, его жизненные и учебные способности, помочь учащемуся выбрать свою образовательную траекторию, развивая его как творческую личность, и впоследствии самоопределиться в обществе.

Развивать творческую личность в процессе обучения математике – значит:

1) помогать ему посредством решения совокупностей специально подобранных задач приобретать творческие умения, необходимым условием этого является обучение, мыслительным операциям и способам рассуждений;
2) развивать творческое воображение и интуицию – в первую очередь на базе распространенных представлений, пространственного воображения и мышления при опоре на геометрические задания;
3) стимулировать активность предъявлением требований, новизной, занимательностью заданий, сводящих к минимуму подражательность и вызывающих любознательность и интерес у учащихся [1].

Остановимся на развитии и приобретении творческих умений на примере рассмотрения темы «Квадратные уравнения» (8 класс).

Что же включает в себя понятие «творческие умения»? Это умения, которые способствуют выполнению следующих видов деятельности:

– связывать математические понятия и их свойства с конкретными объектами деятельности, отыскивать применение математических сведений в других предметах, практике, искусствах, иллюстрации в природе;
– переносить знания и приемы познавательной деятельности с ранее изученного на вновь узнаваемое;
– подходить к математическому понятию с разных сторон;
– выделять существенное в рассматриваемом;
– видеть новую функцию знакомого объекта;
– новые проблемы в знакомых ситуациях;
– находить аналоги новому в старом [1].

Творческие умения можно конкретизировать через систему знаний, содержание которых отражает полноту знаний о понятии, а логическая структура обеспечивает систему важнейших компонентов в структуре понятийного мышления.

Введению понятия должна предшествовать пропедевтическая работа. Приведем несколько примеров того, как в системе упражнений реализуется введение понятия квадратного уравнения.

1)  Учащимся предлагается решить задачу:

«Через какое время тело брошенное вверх, со скоростью 20 м/с, достигает высоты 15м? Может ли оно достичь 25 м?»

Учащимся из физики известно, что тело, брошенное вверх со скоростью V, движется по закону S  =  Vt – gt²/2 (g ~ 10 м/с²).
Ученики, перенося знания и приемы с ранее изученного (тема «Формулы») на вновь узнаваемое, получают уравнения, которые надо решить:

?15  =  20t – 10t²                   25   =  20t – 10t²
10 t² – 20t + 15  =   0             10t² – 20t + 25  =  0
2 t² – 4 t +3  =   0                   2t² – 4t + 5  =  0

Возникает новая проблема в знакомой ситуации. Ученики понимают, что перед ними ситуация, которую разрешить не могут.

Учащимся сообщается, что равноускоренное движение описывается законом S  =  So + Vot + gt²/2. Отсюда часто необходимо найти время, а для этого надо уметь решать такого вида уравнения. Таким образом, модель равноускоренного движения (метод сквозных задач) подводит учащихся к понятию «квадратное уравнение», мотивирует его изучение, позволяет новому понятию занять в сознании учащихся правильное место в ряду других понятий и приучает ученика ассоциировать это понятие с теми образами, явлениями жизни, с которыми они встречаются.

2)  Учащимся предлагается устно решить 5 уравнений, каждое из которых, если раскрыть скобки, примет вид квадратного уравнения.

Но задание – решить устно, и класс начинает рассуждать.

а) х(х – 1)  =  х. Корень уравнения – это число, при подстановке, которого в уравнение обе части его будут равны одному и тому же числу, поэтому х – 1  =  1 = > х  =  2и равенство получим х  =  х. После этого они легко указывают корень: х  =  0.

б) х(х² – 3)  =  х.

Закрепляется прием, использованный при решении первого уравнения, но это уравнение имеет 3 корня: х² – 3  =  1  = > x²  =  4 = > x_1,2   =  ±2  х₃  =  0

в) (х² ~ 9)(х² – 2)  =  9 – х².

Многие учащиеся предложили х² – 2 приравнять, как и в предыдущих уравнениях к 1, так как невнимательно проанализировали условие, но другая группа выступила против необоснованной аналогии и пояснила, что х² – 2 должно равняться –1, так как выражения х² – 9 и 9 – х² – противоположные.

х² – 2 = – 1  = >х² =  1  = > х_1,2   =  ± 1
х² – 9  =  0  = > х²  =  9  = > х_3,4  =  ± 3

г) (х⁴ – 16)((х + 1)² + 2)² =  16 ~ х⁴.

Используется метод решения предыдущего уравнения, но ((х + 1)² + 2)² не может быть равно –1, поэтому корни получаются из решения уравнения

x⁴ – 16  =  0 = > x₁  =  x₂ = ±2.
д) (х² – 9)²(х² – 5х + 1)  =  х⁴ – 18х + 81.

По внешнему виду это уравнение отличается от предыдущих. Перед учащимися встает вопрос: как можно использовать аналогию?
Некоторые учащиеся догадываются, что х⁴ – 18х + 81 = (х² – 9)², и уравнение сводится к решению:

х² – 9  =  0       или   х² – 5х + 1 = 1
х_1,2 = ±3                   х² – 5х  =  0
х(х – 5)  =  0  = > х  =  0, х  =  5.

Таким образом, уравнения подобраны так, что каждое следующее по конструкции с первого взгляда кажется повтором предыдущего. Вот это «узнавание» помогало учащимся уверенно действовать; но, с другой стороны, и приводило к ошибкам в силу предпринимаемой ими «голой» аналогии. Для  класса было неожиданным предложение решить трудные уравнения устно, и им ничего не оставалось, как внимательно разглядывать обе части уравнения и догадываться, как найти значение неизвестного, при котором в обеих частях стояло бы одно и то же число, да и после механического раскрытия скобок они пришли к квадратным уравнениям, которые еще не умеют решать, тем более устно.

Замечая, что во всех случаях рассматриваемые уравнения – квадратные, предлагаем учащимся заметить закономерность и записать уравнения в общем виде:

ах² + bх + с  =  0, где а, b, с – числа, а =/= 0; или ах² + bх  =  0, с  =  0; или ах² + с = 0, b  =  0.

Здесь задача обучения состоит в том, чтобы с данным словом, символом учащиеся связывали все те и только те объекты, которые принадлежат классу, определяемому этим понятием. Так, при выводе формулы разложения квадратного трехчлена на множители перед учащимися целесообразно поставить цель: представить в виде нескольких множителей квадратный трехчлен ах² + bх + с   =  0; возможно ли это? Как нам установить возможность разложения?

Учащиеся знают разложение х² – 1  =  (х – 1)(х + 1) и могут, опираясь на этот опыт, разложить двучлены вида х² – а² . Чтобы подвести их к необходимому выводу, предлагаем им перемножить двучлены вида х + а, отличающиеся не только знаками. Так перед учащимися встает новая проблема в знакомой ситуации.

(х – 1)(х – 5)  =  х² – 6х + 5.
(х – 2)(х – 5)  =  х² – 7х + 10.

Учащимся дается задание: найти связь между коэффициентами трехчленами и соответствующими парами чисел в двучленах разложения на линейные множители, т. е. между совокупностью – 6 и + 5 и совокупностью 1 и 5 в первом случае и между – 7 и 10 и совокупностью 2 и 5. Учащиеся в результате анализа и сравнения приходят к выводу, что – 6 равно сумме 1 + 5 с противоположным знаком, а  5   =  1 – 5; так же – 7  =  – (2 + 5), а 10  =  2 • 5. Установлена и возможность разложения квадратного трехчлена.

Новый вопрос для учащихся: а зачем это надо делать?

Дается задание: сократить дробь   х² ~ 6х + 5
                                                          х² – 7х + 10
Используя сделанные наблюдения, учащиеся получают результат:  х – 1
                                                                                                                  х – 2
Обобщая записи вида: х² – 6х + 5 = (х – 1)(х – 5), учащиеся записывают формулу: ах² + bх + с  =   а(х – x₁)(x – х₂). Таким образом, школьники в результате поиска сами вывели формулу разложения трехчлена на линейные множители (сначала при а  =  1, а затем для любого действительного а), и этот математический факт приобрел для каждого из них личностное значение.

В процессе овладения учащимися понятием необходимо развивать у них умение конкретизировать его. Конкретизация осуществляется в процессе применения понятия, при решении упражнений, при раскрытии общих положений на конкретном материале. Под умением конкретизировать будем понимать его применение в простейших случаях как упрощенных моделях более сложных. Приведем ряд задач.

1. Укажите квадратные уравнения среди следующих, чему равны их первый, второй коэффициенты и свободный член: 3х² – 2х + 7   =  0; – х² + 1/3х  =  0; 5х – 2  =  0;

2. Решите уравнения: х² – 7х  =  0; 2х²   =  1/2; х² + 16  =  0; х² – 15  =   0. Какое уравнение лишнее? По какому признаку?

3. Решите различными способами уравнения: х² + 6  =  0; х² – 9  =  0; х² – 6х + 5   =  0; 5х² – 4х – 1 = 0; х² – 6х + 9  =   0.

4. Сколько корней имеет уравнение: x² – 4x + 4 = 0

5. Составить квадратное уравнение, корни которого 2 и 5; 0 и –3

6. Установи закономерность и продолжи запись: ах² + bх + с  =  0  = > х1,2 =  (– b ± 6² – 4ас )/2а; ax² + 2mx + с  =  0  = > ?

Подбирая задачи, необходимо помнить, что настоящее обучение, вовлекающее в творческую работу весь класс, нельзя строить только на одних сложных задачах, как и на одном легком материале. Задания должны быть разнообразными не только в математическом плане, но и в методическом. Под методическим разнообразием имеется в виду следующее: формулировка должна содержать конфликт, который видит учащийся сразу, без обращения к математической стороне вопроса.

Например:

– задачи, где предлагаются ошибочные рассуждения или нереальные конфигурации;
– задачи, нацеленные на перестраивание условия путем отказа от избыточной информации;
– задачи, где по данным нужно отыскать все, что возможно.

Для развития творческих умений необходима система упражнений на выработку умений отнести данные объекты к той или иной группе из указанных групп, разбить на группы по определенному признаку, дать название каждой группе, указать признак объединения объектов в группы.

Например:

1. Разбейте данную совокупность квадратных уравнений на группы, дайте им названия;
2. Все ли объекты этой группы указаны;
3. По какому признаку проведена классификация:
а) ах² + bх + с  =  0 – полное, ах² + bх   =  0, ах² + с  =  0 – неполное, х" + рх + q  =  0 – приведенное;
б) квадратные уравнения, имеющие 1 корень (D  =   0); квадратные уравнения, имеющие 2 корня (D > 0); квадратные уравнения, не имеющие корней (Д < 0);  
4. По заданной классификации расставьте в окошки схемы уравнения:

2х² + 3 = 0;
5х² – х = 0;
4х² + 6х – 8 = 0;
5х² + 3х – 8 = 0;
6х² – 5х – 7 = 0;
х² + 3х – 4 = 0;
3х² – х – 4 = 0.

Развитию творческих умений способствует система задач, требующих проведения элементарных исследований, позволяющих применять свои знания в измененных ситуациях.

Приведем систему задач такого рода.

1. Докажите, что не существует такого значения а, при котором уравнение х²(а – 2) + ах + 1  =   0 имело бы 1 корень.
2. При каких m можно представить в виде квадрата двучлена выражения: х² + mх + 9; mх² – 12х + 9; х² – 2/7х + m?
3. При каком а уравнение х² + ах + 16  =  0 имеет 1 корень?
4. Докажите, что при любом m уравнение 4у² + mу – 5  =  0 имеет 2 корня.
5. При каком m один из корней уравнения 2х² – х – m  =  0 равен – 3?
6. При каких а двучлен 2а² – 1,6а равен трехчлену 1,8а² + 0,4а + 5?
7. Один из корней равен – 2. Найдите к и второй корень уравнения х² + 5х + к  =  0.

 Решение любой задачи – творчество (простое или сложное); чем сложнее задача, тем больше умственных усилий оно требует и тем лучше служит развитию учащихся: они учатся применять математические сведения, знания при решении практических, прикладных, межпредметных задач.

Приведу примеры таких задач по рассматриваемой теме:

1. На покрытие теплицы имеется 89 м² полиэтиленовой пленки. Заданы размеры теплицы: высота h  =  2 м., длина 1  =  5 м, наклон крыши 45°. Найти такую ширину х теплицы, чтобы оптимально использовать пленку.

2. Золотое сечение заложено в пропорциях человеческого тела. Найдите золотую пропорцию. Задача деления отрезка на 2 неравные части так, что отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, известна с глубокой древности (Это и есть золотое сечение или золотая пропорция).

3. Два проводника при последовательном соединении имеют сопротивление в 4,5 раза большее, чем при параллельном. Во сколько раз отличается сопротивление проводников?

4. Сопротивление f дороги движению автомобиля при скорости V км/ч выражается следующими формулами:

   а) на асфальте f  =  14,5 + 0,25V;
   б) на хорошем шоссе f  =  24 – (2/3)V + (1/30)V²;
   в) на булыжной мостовой f  =  29 – (2/3)V + (1/16)V²;
   г) на мягкой грунтовой дороге f  =  36,5 – (3/4)V + (1/30)V².

   Когда это возможно, определите V, при котором f – наименьшее.

5. Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 5000 р.; по истечении года к его вкладу были перечислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад еще на 5000 р., а по истечении еще одного года попросил выдать ему накопленные деньги. Какова полученная сумма?

6. Две бригады студенческого строительного отряда, работая вместе, построили кошару для овец за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на строительство такой же кошары каждой бригаде отдельно, если первой бригаде нужно работать на 10 дней больше, чем второй.

Остановимся на методике обучения учащихся решению задач «на работу» в 8 классе в теме «Квадратные уравнения» обучения:

• обучаем решению задач на совместную работу алгебраическим методом, опираясь на умения решать такие задачи арифметическим путем (поиск решения методом синтеза: «Что можно найти по данным задачи? Поможет ли это дальнейшему решению?», так и методом анализа: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Можем ли узнать?»);
• рассматриваем различные ситуации организации работы: выполняется вся работа по отдельности или совместно; один начинает, другой присоединяется; начинают вместе, а заканчивает один и другие варианты;
• рассматриваем задачи, в которых меняется производительность труда;
• проводим аналогию в решении задач на работу и на движение: «вдогонку», «вливается–выливается», «навстречу» и т.п. – одинаковый характер совместной работы;
• составляем задачи по заданному уравнению, по схеме уравнения;
• обобщаем различные задачи по единой модели их решения.

Задачи на работу делятся на два вида: задачи, в которых объем работы задан, и задачи, в которых он не задан (задачи на совместную работу).
Словарь перевода условия задачи на ее вид и основные величины.

Слова, подсказывающие вид задачи	Слова, подсказывающие объем работы
разгрузить, изготовить, выполнить	Заказ, наряд, задание, работа
наполнить, опорожнить, откачать	Бассейн, бочка, резервуар, чан
обработать, вспахать	Участок, поле
убрать	Урожай, улица, поле
перепечатать, переписать	Рукопись

Величины задачи с открытым условием (Что нужно знать, чтобы найти объем, производительность, время?), с открытым заключением (Что можно найти, зная производительность каждого? Время совместной работы? Время, направленное на выполнение всей (части) работы? Часть работы и время ее выполнения?).

Методика работы с задачей № 6

Анализ условия задачи

 

Поиск решения

Что можно найти по данным задачи? (Какую часть работы выполнили 2 бригады, работая вместе).
Каким методом будем решать задачу дальше? (Алгебраическим).
С чего начинаем решать задачу этим методом? (С выбора основания для составления уравнения).
Какое условие можно выбрать за основание составления уравнения? Какова схема уравнения?

Условие	Схема
первоначально 2 бригады работали вместе 12 дней	tcoвм = 12,   Vсовм.~ 1
Сначала выполнили 1/12 работы	Р1 + Р2 = 1/12.
В итоге первый работал t дней	P1 = l/tl
В итоге второй работал на 10 дней меньше	P2 = l/(t,–10); t2 = t,–10

Сможем ли мы составить уравнение?

Решая уравнение: 1/х + 1/(х–10)  =  1/12, где х <> 0, х <> 10, получим х² – 34х + 120  =   0; xi  =  4 (но по смыслу задачи х > 10), х²   =  30.

Ответ: 30 дней, 20 дней.

На решении данной задачи ярко продемонстрировано, как важны «полочки» в анализе условия и поиске способа решения, важен грамотно поставленный вопрос. Данная методика решения задач способствует формированию творческих навыков, наводит учащихся на «открытие» неизвестных закономерностей, на выделение существенного в рассматриваемом.

На развитие творческих умений учащихся ориентированы поисковые задания (ориентация на всех учащихся), связанные с основным учебным материалом. Целесообразно подбирать задания, объединенные одной проблемой.

Могут быть сформулированы, например, следующие учебные проблемы.

Проблема 1. Как уравнения помогают решать задачи?
Проблема 2. Каким образом вычисления подсказывают закономерность?
Проблема 3. Сколько данных должно быть в задаче?
Проблема 4. Всегда ли выручает аналогия?
Проблема 5. Все ли возможные случаи рассмотрены?
Проблема 6. Сколько решений имеет задача?
Проблема 7. Изменение одних элементов вызывает изменение других. Какие закономерности можно при этом заметить?
Проблема 8. Взаимозаменяемы ли условия задачи?
Проблема 9. Нельзя ли обобщить задачу? Конкретизировать задачу?
Проблема 10. Нельзя ли применить результат задачи в других ситуациях?
Проблема 11. Как можно сформулировать утверждение иначе?
Проблема 12. Допущена ли ошибка?

Опыт применения поисковых заданий показывает, что в работе учащихся происходит снижение роли подражания, действия по образцу, развивается способность к преобразованию математических объектов, критическому осмыслению способов решения задач.

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Наглядным является привитие школьникам вкуса к творчеству, к исследованию. Только тогда можно считать школьника творческой личностью, если он обладает не только творческими умениями, формированию которых посвящена статья, но и творческим воображением и творческой активностью [1].

Литература:

1. Аммосова Н.В. Формирование творческой личности младшего школьника средствами математики: Учеб. пособие. Астрахань: Изд-во Астрах, пед. ун-та, 1998.