Элективный курс по математике "Задача одна – решения разные"

Пояснительная записка.

Приёмы и методы решения геометрических задач чрезвычайно разнообразны. Обычно тот или иной метод демонстрируется на специально подобранных задачах, при решении которых данный метод является наиболее эффективным. Курс «Задача одна – решения разные» поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний, в том числе и методов обоснований (методов решения задач). В связи с этим преподавание элективного курса «Задача одна – решения разные» представляется мне особенно своевременным и актуальным.

Курс является предметным по типу и преследует цель – организацию пробы сил учащихся 9 классов в области математического направления через овладение различными методами задач, что даёт возможность полнее исследовать свойства геометрических фигур, расширить представления учащихся о сферах математики. Данная цель реализуется посредством следующих задач:

• Овладение приёмами решения задач.
• Формирование умений применять теоретические знания на практике к решению задач.
• Формирование математического мышления.
• Развитие эмоциональной сферы.
• Формирование правильного логического изложения мысли.
• Формирование общей математической культуры личности.
• Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.
• Интеллектуальное развитие учащихся.
• Формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.
• Формирование представления об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности.
• Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Данный курс рассчитан на 17 часов, что на мой взгляд кажется наиболее оптимальным для эффективного изучения разнообразных методов решения задач.

На этих элективных курсах самостоятельность учащихся проявляется в выборе заданий и выборе метода решения.

В процессе работы динамика интереса к элективному курсу будет фиксироваться с помощью анкетирования на первом и последнем занятии; собеседовании в процессе работы после выполнения каждого вида упражнений.

В целях формирования интереса и положительной мотивации к математическому профилю через освоение новых аспектов содержание и более сложных способов деятельности, содержание данного элективного курса включает оригинальный материал, выходящий за рамки школьной программы. Занятия элективного курса «Задача одна – решения разные» проходят с использованием контрольно – корректирующей технологии обучения, которая позволяет организовать индивидуальные образовательные траектории учащихся с учетом их способностей, индивидуальных особенностей, мотивации, а также необходимого уровня информации с заранее запланированными учебными результатами.

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к решению геометрических задач, выявлением их практической значимости.

Широко используются наглядные соображения. Уровень строгости изложения определяется с учетом общеобразовательной направленности изучения геометрического материала и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе геометрии, что осуществляется как при изучении нового материала, так при проведении повторения.

Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложений, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в результате изучения курса геометрии 7 – 9 классов.

Учащиеся 9 класса должны знать:

• Приёмы решения геометрических задач.
• Свойства геометрических фигур.
• Основные формулы нахождения площадей плоских фигур.
• Основные метрические соотношения.

Учащиеся 9 класса должны уметь:

• Рационально выбирать метод решения геометрической задачи.
• Применять свойства геометрических фигур к решению задач.
• Рационально применять формулы нахождения площадей геометрических фигур и метрические соотношения в процессе решения задач.

Формы и методы работы: рассказ, работа в группах, демонстрационный эксперимент, практическая работа, исследовательская работа, коллективное изучение нового материала, творческая работа.

Оценка учебных достижений учащихся осуществляется:

• На уроках, во время семинарных обсуждений.
• При проверке выполнения практических и исследовательских работ.
• При выполнении практических заданий.
• Во время опроса по теме.
• При защите итоговой работы.

В качестве оптимальной формы итоговой отчётности предлагается творческий отчёт в виде решения геометрических задач, что позволяет наиболее эффективно представить знания, полученные учащимися в рамках элективного курса.

Материальное оснащение программы:

• Наличие компьютерного класса.
• Школьная библиотека.
• Тексты практических заданий.

Тематический план

Содержание курса

1. Вводное занятие (1 час)

Лекция с элементами беседы. Цели и задачи курса, план, введение в курс. Анкетирование. Обсуждение предлагаемых творческих отчётов.

2. Параллельность прямых и пропорциональность отрезков (3 часа)

Основные теоретические сведения: параллельные прямые и отрезки, свойства параллельных прямых, признаки параллельности, аксиома параллельности, параллельность перпендикуляров, понятие пропорциональных отрезков. Теорема Фалеса. Геометрические преобразования: параллельный перенос, центральная симметрия, гомотетия. Лемма об отношении площадей многоугольника. Векторы. Свойства векторов. Метод параллельного проектирования.

3. Площади (4 часа)

Основные свойства площади. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника. Формула Герона. Отношение площадей подобных треугольников. Метод площадей. Отношение отрезков диагонали четырёхугольника. О биссектрисе внутреннего угла треугольника. Задачи на доказательство. Задачи на вычисления.

4. Перпендикулярность. Вычисление расстояний и углов (4 часа)

Расстояние между параллельными прямыми, точками, от точки до прямой.

Углы при параллельных прямых и секущей. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника. Сумма углов n – угольника. Измерение углов связанных с окружностью: центральный угол в окружности, вписанный угол, измерение вписанного угла. Угол, опирающийся на диаметр. Угол с вершиной внутри круга. Угол с вершиной вне круга. Измерение угла между касательной и хордой. Задачи на доказательство. Задачи на построение.

5. Метрические соотношения (4 часа)

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: свойства высоты в прямоугольном треугольнике, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора, теорема обратная теореме Пифагора, обобщённая теорема Пифагора. Тригонометрические функции. Теорема косинусов, теорема синусов, формула Эйлера, теорема Птолемея. Соотношения между отрезками, возникающими при пересечении прямых

с окружностью: свойство хорд в окружности, свойство секущих в окружности. Элементарные геометрические приёмы, геометрические преобразования (осевая симметрия, поворот вокруг точки и центрально-подобный поворот), векторы, координатный метод. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное, среднее гармоническое двух положительных чисел.

6. Итоговое занятие (1 час)

Творческий отчёт (задачи прилагаются). Подведение итогов работы. Анкетирование. Рефлексия и саморефлексия.

Перечень задач для итогового занятия

1. Прямая, не проходящая через центр параллелограмма АВСD, пересекает его стороны АD и ВС в точках М и Н, а диагонали АС и ВD в точках Т и К. Докажите, что если МТ = КН, то МН // АВ.
2. Диагонали четырехугольника АВСD пересекаются в точке О. Через середину М стороны АВ проведена прямая МО, пересекающая сторону СD в точке Н. Найдите отношение СН к НD, если АО=ОС и отношение ВО к ОD = 2.
3. Точка М – середина боковой стороны ВС трапеции АВСD. Докажите что площадь треугольника АDМ составляет половину площади трапеции.
4. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС взяты точки М, Н и К , такие, что отношение АК к АВ равно отношению ВМ к ВС равно отношению СН к СА и равно⁄3. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми АМ, ВН и СК , если площадь треугольника АВС равна S.
5. Диагонали трапеции АВСD с основанием АВ пересекаются в точке О. Площадь треугольников АОВ и СОD равны соответственно S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
6. Стороны АВ, ВС, СD, DА параллелограмма АВСD разделены точками К, L, M , N по его обходу в отношении 1:2. Какую часть площади параллелограмма АВСD составляет площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AL, BM, CN, DK?
7. На медиане СD треугольника взята произвольная точка Е . Прямые АЕ и ВЕ пересекают стороны ВС и СА треугольника соответственно в точках М и Н. Докажите , что треугольники АСМ и ВСН равновеликие.
8. Через середину М медианы СD треугольника АВС проведена прямая АМ, пересекающая сторону ВС в точке К. В каком отношении точка К делит сторону ВС?
9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
10. Дан прямоугольный треугольник АВС. Из вершины С прямого угла проведена высота СD. Точки М и Н – середины отрезков СD и ВD . Докажите перпендикулярность отрезков АМ и СН.
11. Одна из диагоналей вписанного в окружность четырехугольника является диаметром. Докажите, что проекции двух противоположных сторон на другую диагональ равны.
12. Постройте равнобедренный треугольник, если даны две его неравные высоты.
13. Восстановите квадрат АВСD , если на плоскости заданы его вершина А и точки М и Н на сторонах ВС и СD.
14. Найдите угол С треугольника АВС, если угол А равен 60 градусов и АС= 0,5 АВ.
15. Вычислите углы равнобедренного треугольника, высота которого вдвое меньше стороны АВ.
16. Диагонали трапеции равны. Докажите , что трапеция равнобочная.
17. Докажите, что для любого треугольника справедлива теорема косинусов.

Литература

1. Балаян Э. Н. Микросправочник по математике для выпускников и абитуриентов. Ростов на Дону, 2002.
2. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы. Ростов на Дону: Феникс, 2003.
3. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. – М.: Просвещение, 1997. – 176с.
4. Говоров В. М., Дыбов П.Т. Сборник конкурсных задач по математике. М.: Наука, 1983.
5. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна – решения разные: геометрические задачи: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 2000. – 224с.
6. Зив Б. Г. И др. Задачи по геометрии для 7 – 11 классов / Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. – М.: Просвещение, 1991. – 171с.
7. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: Книга для учителя / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.
8. Мордкович А. Г. Геометрические задачи на плоскости. – М.: Школа – Пресс, 1995. – 80с.
9. Понарин Я. П. Задача одна – решений много. Журнал «Математика в школе» №1 1992г.
10. Симонов А. Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение, 1991.
11. Система тренировочных задач и упражнений по математике / А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991. – 208с.
12. Шарыгин И. Ф. Математика для поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1997.