Решение иррациональных уравнений. Математика. 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели урока:

Обучающие:

  • ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения;
  • создать условия контроля усвоения знаний и умений.

Развивающие:

  • совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации;
  • развивать умение самостоятельно работать, контролировать и оценивать результаты своих действий;
  • развивать творческий потенциал, мышление, познавательный интерес.

Воспитательные:

  • содействовать повышению уровня математической культуры;
  • воспитывать ответственное отношение к учебному труду;
  • способствовать воспитанию коммуникабельности;
  • тренировка памяти.

Тип урока: урок изучения и закрепления нового материала.

Оборудование:

  • тесты по теме;
  • карточки для разноуровневой самостоятельной работы.
  • презентация

Методы обучения: дифференцированный, репродуктивный, частично – поисковый. Тестовая проверка уровня знаний, самопроверка.

Формы организации труда: индивидуальная, фронтальная, групповая.

План урока:

  1. Оргмомент.
  2. Устные упражнения по повторению пройденного материала.
  3. Изучение новой темы.
  4. Закрепление.
  5. Работа учащихся с тестами.
  6. Самооценка.
  7. Проверочная работа.
  8. Домашнее задание.
  9. Итог урока.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока, краткий план урока. Слайд 1.

II. Актуализация опорных знаний.

Устная работа. Классификация уравнений. Слайд 2.

Цель: приведение в систему знаний видов уравнений.

Задача: определить тип каждого из перечисленных уравнений, вспомнить алгоритм решения.

  1. 5х –  =  + 2х;
  2. cos  + 1 = 0,5;
  3. 0;
  4. 2х + sin=3;
  5. ;
  6. ;
  7. ;
  8. .

III. Изучение нового материала.

Цель: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений.

Последнее уравнение называется иррациональным, и на этом уроке вы познакомитесь различными методами решения таких уравнений. Тема эта актуальна, так как иррациональные уравнения традиционно встречаются в заданиях ЕГЭ, с их помощью легко диагностируются знания выпускников по таким понятиям, как равносильность уравнений и ОДЗ.

Итак, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или дробной степени, называются иррациональными.

Задание: какие из следующих уравнений являются иррациональными:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. = 1,56 + x;
  5. .

Слайд 3.

Отметим, что:

  1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.
  2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Напомним, что уравнение f2n(x)=g2n(x) является следствием уравнения f(x)=g(x). То есть возведение в четную степень обеих частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать этого, необходимо либо проверить подстановкой, удовлетворяют ли полученные корни исходному уравнению, либо ограничить ОДЗ значениями переменной, при которых обе части уравнения одного знака (неположительны или неотрицательны одновременно).

Основные способы решения иррациональных уравнений:

1. Решение без равносильных преобразований с проверкой.

2. Использование равносильных преобразований. Слайд 4.

  1.  или  
  2. .
  4.  
  6. .

Рассмотрим способы решения иррациональных уравнений.

1. Решение уравнения  = 1 – х методом возведения в квадрат обеих частей уравнения.
() = (1 – х);

1+ 3х = x2 – 2x + 1;

x2– 5x = 0.
Решив это уравнение, находим корни .

Проверка: если x = 0, то , 1 = 1 – верно;
если х = 5, то , 4 = 4 – неверно.
Ответ: 0.

2. Решение уравнения  = 1 – х методом равносильных переходов:

  
Ответ: 0.

3. Решение уравнения  = 1 – х графическим способом. Слайд 5.
В одной системе координат построим графики функций f(x) =  и g(x) = 1 – х


Ответ: 0.

4. Решение уравнения  = 1 – х с использованием теоремы о корне.

Так как функция f(x) =  возрастает при , а функция g(x) = 1 – х убывает на множестве R, то по теореме о корне уравнение f(x) =g(x) имеет не более одного корня. Подбором находим, что x = 0.

Ответ: 0.

IV. Закрепление.

Решить уравнение: 3– =7.

Найдем ОДЗ: .

Преобразуем уравнение: 3=+7.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то можно возвести в квадрат:

9(x+3) = x – 2 + 49 + 14, преобразуем уравнение, уединим радикал в правой части: 4x– 10 = 7. Чтобы обе части уравнения были неотрицательны, наложим ограничение: 4x – 100, т.е. x2,5, с учетом ОДЗ: x2,5. Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные: 16x2 – 129x + 198=0. Из его корней x1= 6 и x2 =  условию x2,5 удовлетворяет х = 6.

Ответ: 6.

V. Тренировочная работа по заданиям обязательного уровня.

Цель: формирование умений решать иррациональные уравнения способом возведения в степень по алгоритму. Развитие коммуникативной компетентности школьников.

Работа в группах по алгоритму с консультацией учителя. Слайд 6.

Алгоритм решения уравнений вида
n – четное n – нечетное
1)уединить корень;
2) возвести обе части уравнения в степень n;
3)решить полученное уравнение;
4) выполнить проверку корней путем подстановки в исходное уравнение;
5)записать ответ.		 1)уединить корень;
2)возвести обе части уравнения в степень n;
3)решить полученное уравнение;
4)записать ответ.

Вариант 1

А1. Решите уравнение

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 4,5

А2. Найдите сумму корней уравнения .

1) 6; 2) 2; 3) – 6; 4) – 2.

А3. Какому из промежутков принадлежит корень уравнения

1) [– 1; 3 ]; 2)[ – 1; 2); 3) (– 1; 2 ); 4) ( 2; 4).

Вариант 2

А1. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

1) (– 2; 0); 2) ( 0; 2); 3) (2; 4); 4) (3; 6)

А2. Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции у = .

1) (– 6; – 4); 2) ( 0; 2); 3) (2; 5); 4) (– 4; 0)

А3. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

1) (– 6; – 3); 2) (– 3; 0); 3) (0; 3); 4) ( 3; 6)

Вариант 3.

А1. Найдите сумму корней уравнения .

1) – 1; 2) 1; 3) 4; 4) 5.

А2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

1) [– 6; – 5]; 2) [– 4; 0 ]; 3) [ 2; 4 ]; 4) [ 5; 7]

А3. Найдите среднее арифметическое корней уравнения .

1) – 3; 2) – 2; 3) 1; 4) 2.

Вариант 4

А1. Укажите промежуток, которому не принадлежат нули функции .

1) (– 2; 10]; 2) [1; 10); 3) [0; 1]; 4) (1; 3)

А2. Найдите произведение корней уравнения .

1) 9; 2) – 9; 3) – 10; 4) 10

А3. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции .

1) [4; 9]; 2) (4; 9]; 3) [4; 9); 4) (9; 12)

Ответы части А.

А

1

2

3

I в

3

2

1

2в

3

4

1

3в

4

4

2

4в

4

2

1

VI. Самооценка.

VII. Задачи для самостоятельного решения. Работа в парах.

Цель: провести текущий контроль за усвоением решения иррациональных у равнений.

Вариант 1.

В1 Решите уравнение ;

В2. Решите уравнение

В3 Решите уравнение .

Вариант 2.

В1 Решите уравнение ;

В2 Решите уравнение ;

В3 Решите уравнение .

Вариант 3.

В1. Решите уравнение ;

В2. Решите уравнение ;

В3. Решите уравнение .

Вариант 4.

В1. Решите уравнение ;

В2. Решите уравнение ;

В3. Решите уравнение .

Вариант 5.

В1. Решите уравнение ;

В2. Решите уравнение ;

В3. Решите уравнение .

Вариант 6.

В1. Решите уравнение ;

В2. Решите уравнение ;

В3. Решите уравнение .

Ответы части В.

вариант задание
1 2 3
1 – 3 5 – 2
2 – 3 – 3 9
3 0 1 5
4 11 2 1
5 7 – 1 – 1,25
6 1

VIII. Домашняя работа.

Цель: закрепить навыки решения иррациональных уравнений, подготовиться к следующему уроку, выполнив самостоятельную работу по карточке.

Карточки для домашнего задания.

Вариант 1

А1. Укажите промежуток, которому не принадлежит ни одного нуля функции

1) [1; 5]; 2) (1; 5); 3) [5; 6) (0; 1]

А2. Какому из промежутков принадлежит корень уравнения  

1) (– 2; 0); 2) ( 0; 2); 3) (2; 4); 4) ( 4; 8).

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит только один нуль функции

1) (0,5; 0,6); 2) [0,5; 1); 3) (0,8; 1); 4) (– 2; 0] .

В1. Решите уравнение .
В2. Решите уравнение .

Вариант 2

А1. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

1) (– ∞; 1]; 2) ( 1; 5]; 3) (5; 10 ]; 4) [ 10; + ∞)

А2. Укажите промежуток, которому не принадлежит ни одного нуля функции

1) [– 3; 5]; 2) [0; 2]; 3) (2; 4]; 4) [– 2; 0).

А3. Укажите промежуток, которому принадлежит только один нуль функции

1) (0; 9); 2) (2; 3]; 3) [0; 10); 4) [ 1; 8) .

В1. Решите уравнение ;

В2. Решите уравнение

Вариант 3

А1. Назовите количество корней уравнения (25 - )

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

А2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

1) [2; 3); 2) [– 3; – 2 ]; 3) [– 2; 3 ]; 4) (2; 3].

А3. Укажите промежуток, которому не принадлежит ни одного нуля функции

1) (0; 1); 2) [0,5; 1); 3) [– 1; 1); 4) (0,5; 2) .

В1. Решите уравнение . В ответе укажите целое число, ближайшее к корню уравнения.

В2. Решите уравнение

Вариант 4

А1. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

1) (2; 3) 2) (– 8; – 7 ); 3) (0; 2); 4) (3; 9)

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит только один нуль функции

1) (– 3; 4]; 2) (– 3; 1); 3) (– 3; 5 ]; 4) [ 0; 2]

А3. Назовите количество корней уравнения (25 - )

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

В1. Решите уравнение  

В2. Решите уравнение . В ответе укажите число корней.

Вариант 5

А1. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения

1) [– 12; 0]; 2) [2; 4); 3) [4; 5); 4) [ 5; +∞).

А2. Решите уравнение

1) 16; 2) – 1; 3) 4; 4) 2.

А3. Назовите количество корней уравнения  

1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 0.

В1.Решите уравнение ;

В2. Сколько корней имеет уравнение ?

Вариант 6

А1. Какому из промежутков принадлежит корень уравнения

1) [1; 4 ]; 2) ( 7; 9); 3) (6; 8); 4) ( 3; 5).

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит только один нуль функции

1) [3; 4]; 2) (5; 6); 3) [4; 10 ); 4) [ 0; 3)

А3. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции

1) (1; 9]; 2) [9; 10); 3) [1; 9]; 4) (1; 10).

В1.Найдите произведение корней уравнения ;

В2. Найдите сумму корней уравнения  

IX. Итог урока.

  • Какие уравнения мы решали?
  • Какие методы решения иррациональных уравнений вы узнали?
  • Оценка работы класса.