Цель урока:
- повторить, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между двумя векторами;
- закрепить навыки в использовании формул при решении задач координатно-векторным методом;
- проверить умения и навыки применять эти знания при решении задач.
Ход урока
Организационный момент.
Сообщить тему урока и его цель.
Актуализация опорных знаний.
Индивидуальная работа по карточкам у доски.
Карточка № 1.
Дано: А (-3; 4; 1), В (5; -2; -3).
Составьте задачу по этим данным и решите ее.
Карточка № 2.
Дано: А (-1; 2; 2), В(1; 0; 4), С(3; -2; 2).
Составьте задачу по этим данным и решите ее.
(К карточке № 1 можно подобрать следующие задания:
Найти:
а) длину отрезка АВ;
б) координаты вектора 
;
в) координаты середины отрезка АВ;
г) длину вектора 
, где М – середина отрезка АВ, О – начало координат;
д) угол между векторами 
и 
;
е) площадь треугольника АОВ;
ж) среднюю линию треугольника АОВ и т. д.)
Обучающийся сам поставит себе задачу, которую способен выполнить. Задача оценивается в зависимости от степени трудности выбранного задания.
Презентация с устными заданиями. (приложение 1)
Слайд 1. Распознай формулы:
а) 
;
б) x1x2+y1 y2+z1z2;
в) {
; 
};
;
(От невнимательности многие дети не видят ошибки в этой формуле.)
д) cos
=
;
е) cos
=
.
Слайд 2. Дано: 
= 2, |
| = 5.
Найдите скалярное произведение векторов 
и 
, если:
а) векторы 
и 
сонаправлены;
б) векторы 
и 
противоположно направлены;
в) векторы 
и 
перпендикулярны;
г) угол между векторами 
и 
равен 60º;
д) угол между векторами 
и 
равен 120º.
Слайд 3. Дано: А (-3; 1; 2), В (1; -1; 2).
Найти:
а) координаты середины отрезка АВ;
б) координаты и длину вектора АВ.
Слайд 4. Найдите скалярный квадрат вектора 7 
Слайд 5. Вычислите скалярное произведение векторов 
и 
, если 
{1; 2; 3},
{-1; -2; -3}.
Слайд 6. Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами:
а) 
и 
;
б) 
и 
;
в) 
и 
Проверка выполненных заданий по карточкам.
(Обратить внимание на решение задач разными способами.)
Напиши мне письмо.
На столах у обучающихся карточки с координатами двух или трех точек. Каждая карточка адресована определенному ученику. Задача ученика, получившего карточку, написать задание с предложенными данными для указанного товарища.
Решение задач.
Задача № 1. (ЕГЭ -2010, под ред. Ф.Ф. Лысенко, вариант 13, задача В6.)
Точки А(-1; 3), В(2; -1), С(2; 2) являются вершинами треугольника АВС с биссектрисой ВК. Найдите 16АК
.
Решение.
1. ВК – биссектриса, тогда 
= 
или
= 
2. ВС = 
² + 
= 3.
АВ = 
= 5.
= 
, т. о., АК = 
АС.
3. АС = 
= 
.
4. 16 АК² = 16
, 16 АК² = 16 
10 = 
= 62,5.
Ответ. 16 АК² = 62,5.
Задача № 2.
(Выполняется наиболее подготовленным учеником на переносной доске. Чертеж и условие задачи приготовлены заранее.)
В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 АВ=1, ВС=2, ВВ1=3. Вычислите косинус угла между прямыми АС и D1В.
Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед, АВ=1, ВС=2, ВВ1=3.
Найти: 
Решение.
Введем прямоугольную систему координат Ахуz.
АВ=1, ВС=2, ВВ1=3, тогда А(0; 0; 0), В(0; 1; 0), С(2; 1; 0), D1(2; 0; 3).
, 
.
= 
.
cos(
= 
= 
= 
.
Ответ. 
= 
Те, кто продолжат свое обучение в вузе, встретятся с таким разделом математики, как «Векторная алгебра». При изучении этой темы вам пригодятся знания, полученные в школе по теме «Метод координат».
Задача № 3.
Точка М является серединой стороны АВ в треугольнике с вершинами А(3; -2; -8), В(1; -4; -4), С(-1; -3; -3). Найти: 1) угол ВСМ; 2) площадь треугольника АВС.
Решение.
1. Найдем координаты точки М.
= 
; 
= 
; 
= 
; М(2; -3; -6).
2. Найдем 
ВСМ.
= 
{2; -1; -1}, 
{3; 0; -3}.
= 2
(-1) 
= 9.
| 
= 
= 
= 
= 
, 
ВСМ = 30º.
{4; 1; -5}.
АВС = 
= 
- 
+
=-6
-6
-6
.
АВС = 
= 
= 
6
.
Ответ. 
ВСМ = 30º, SАВС = 
.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
1. Дано: 
, 
;
а) |
| = 4, |
| = 3, (
)= 30º;
б) 
, 
= 3
+ 2
.
Найти: 
.
2. Дано: А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2; -2; 2), D(2; -3; 3).
Найдите угол между прямыми АВ и СD.
3. Дано: А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4), D(2; 4; 4).
Доказать: АВСD - ромб.
Вариант 2.
1. Дано: 
, 
;
а) 
, 
= 6
+ 8
;
б) |
| = 2, |
| = 5, (
)= 60º.
Найти: 
.
2. Дано: А(1; 1; 0), В(3; -1; 0), С(4; -1; 2), D(0; 1; 0).
Найдите угол между прямыми АВ и СD.
3. Дано: А(0; 1; 2), В(
; 1; 2), С(
; 2; 1), D(0; 2; 1).
Доказать: АВСD - квадрат.
Итог урока.
Какое задание из классной и самостоятельной работы вам показалось самым трудным, какое самым легким (при наличии времени попросить обучающихся обосновать свой выбор).
Д/з вы получили в виде письма. Готовьтесь к контрольной работе. Готовьте проекты по теме «Движение».
Карточки для д/з «Напиши мне письмо».
Карточка № 1.
Дано: А (-4; 3; 1), В (2; -1; 3).
Карточка № 2.
Дано: А (-1; -2; 2), В(-1; 0; 4), С(3; -2; -2).
Карточка № 3.
Дано: А (2; -5; 3), В(-4; 0; -1), С(-2; -3; 5).
Карточка № 4.
Дано: А (3; -4; -3), В (-5; 2; 1).