Задачи динамического характера

Разделы: Математика

Используя одну задачу в качестве основной, можно составлять подзадачи различными способами, например:

  • Подобрать новые вопросы (требования) к условию задачи;
  • В соответствии с требованием исходной задачи подобрать ее новое условие;
  • Используя решение исходной задачи, составить более общую задачу;
  • Сформулировать вопросы, которые раскрывают частные крайние случаи исходной задачи;
  • Рассмотреть условие (или требование), которое является отрицанием условия (или требования) первоначальной задачи;
  • Составить задачу, которая решалась бы с помощью контрпримера;
  • Составить задачу, которая решалась бы способами.

С учетом выше указанных пожеланий любая задача может быть преобразована в задачу динамического характера. При этом вполне возможно придать ей различные степени сложности и трудности в зависимости от того, какой группе учащихся она предназначается.

Методическую обработку задач можно вести в несколько этапов.

Первый этап. Выбранная задача анализируется с точки зрения ее доступности для самостоятельного решения учащимися.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Решите уравнение.

х4 + 6х3 +11х2 + 6х = 24.

С помощью разложения на множители и введения вспомогательного неизвестного данное уравнение может быть сведено к квадратному, алгоритм которого известен. Облегчить учащимся поиск решения можно с помощью различных эвристических приемов. Один из них основан на принципе парадигмы, т. е. сравнения различных форм представления одного и того же объекта, в данном случае – многочлена. Для того чтобы направить процесс сравнения по верному пути, учитель должен специально организовать наблюдение, предложив серию взаимосвязанных задач (т.е.динамическую задачу), В этих задачах данный многочлен следует представить в виде произведения нескольких множителей, каждый из которых является либо одночленом, либо двучленом, либо трехчленом, либо четырехчленом. Любое из этих разложений может определять некоторый путь решения задачи.

Второй этап. На основе проведенного анализа первоначальное задание детализируется. Учащимся предлагается не сразу приступать к нему, а сначала рассмотреть серию подготовительных заданий, которые даны ниже. (Можно включить в эту серию и исходную задачу.)

Решить уравнения:

а) (х2 + 3х) • (x2 + Зх + 2) = 24,
б) (х2 + 2х) • (х2 + 4х + 3) = 24,
в) (х - 1) • (х+4)(х2+Зх+6) = 0,
г) х(х+1) • (х+2)(х+3) = 24,
д) (х - 1) • (х3 + 7х2 + 18х + 24) = 0.

Ученики приступают к решению, выбрав любое из уравнений по своему усмотрению. В процессе решения они должны увидеть, что к любому из уравнений а) – д) можно свести все остальные. Если с этим учащиеся не справляются, то целесообразно еще более детализировать задание путем наводящих вопросов, как это сделано ниже в третьем этапе.

Третий этап. Наводящие вопросы должны учитывать разную степень подготовленности учащихся. Поэтому желательно предусмотреть несколько вариантов вопросов. Один (вариант А) для менее подготовленных учащихся, которые нуждаются в подробных подсказках. Другой (вариант В) – для учащихся, предпочитающих получить помощь, оставляющую простор для собственного творчества. Третий (вариант С) – для учащихся, нуждающихся не в помощи, а в раскрытии перспектив применения тех методов, которые использовались в рассмотренном задании.

Приведем вопросы трех вариантов.

Вариант А.

  1. Решите уравнение а), предварительно приведя его к виду у*(у + 2) = 2, где у = х2 + 3х. Сколько действительных и сколько комплексных корней имеет это уравнение?
  2. Найдите целые корни уравнения г), имея в виду, что 24 = 1 * 2 * 3 * 4 = (-4) * (-3) * (-2) * (-1).
  3. Сведите уравнение б) к уравнению вида (у - 2)*у*(у2 - 1) = 1 * 3 * 8 и найдите его целые корни.
  4. Сведите к уравнению г) все остальные.
  5. Сведите уравнение д) к уравнению в).
  6. Решите уравнение (*), если известны два его корня х1 = 1 и х2 =-4.

Вариант В.

  1. Решите уравнение а) путем введения новой переменной у = х2 + 3х.
  2. Можно ли свести каждое из уравнений б) — д) к уравнению а)? к уравнению г)?
  3. Решите уравнение г), если известен один из его корней х1 = -1.
  4. Какие из уравнений а) — д), по вашему мнению, эквивалентны уравнению (*)?

Вариант C.

  1. Решите уравнение а), введя новую переменную.
  2. Решите уравнение г), предварительно подобрав два его корня.
  3. Обобщением которого из предложенных уравнений является уравнение вида (х + а)(х + b)(х+ c) (х + d) = А.
  4. Можно ли решение обобщенного уравнения связать с решением уравнения а)? Найдите условие, при котором можно было бы решить эту задачу.
  5. Как из решения обобщенного уравнения получить решение уравнения г)?
  6. Составьте и решите уравнение, аналогичное уравнению г).
  7. Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать результат или метод решения уравнения (*)?

Задача 2. Решите уравнение.

(** )

Покажем методическую обработку задачи в сокращенном виде. Теперь мы уже не будем давать несколько вариантов вопросов, а приведем только те из них, которые подсказывают учащимся наиболее трудные моменты решения.

Первый этап: методический анализ задачи.

Данное уравнение с помощью преобразований сводится к линейному. Его можно также свести к системе двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых является уравнением третьей степени, а другое – первой степени. Решение этой системы уравнений доступно учащимся, так как оно приводит к системе двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых квадратное, а другое – линейное. Целесообразно побудить учащихся к поиску всех этих возможностей с помощью системы взаимосвязанных задач.

Второй этап. Предъявление динамической задачи.

Решите уравнения:

а) ,

б),

в) ,

г).

Третий этап. Составление вопросов, подсказывающих ход решения динамической задачи.

  1. Можно ли получить из уравнения а) уравнение б)? Если да, то какую новую переменную надо для этого ввести? Решите уравнение б), а затем уравнение а).
  2. Выразите переменную х через у из уравнения в). Можно ли воспользоваться этой подстановкой для решения уравнения а)? Существует ли значение у, при котором уравнения а) и в) равносильны?
  3. Сведите уравнение а) к системе уравнений г). Какие при этом должны быть использованы новые переменные?
  4. Какой из способов решения уравнения а) вам кажется более удачным? Постарайтесь решить уравнение другим способом.

Динамическая задача может формироваться в двух направлениях: от основного задания – к серии взаимосвязанных проблем и от цепочки взаимосвязанных проблем – к формулировке основного задания. Покажем сочетание этих направлений, рассмотрев две аналогичные задачи 3 и 4. Задача 3 реализует путь от основной задачи к серии взаимосвязанных проблем, а задача 4 – от составления цепочки взаимосвязанных проблем к исходному заданию.

Задача 3. Рассмотрите системы уравнений, данные ниже, и выполните задания 1–10.

а)

б)

в)

г)

д)

Задания:

  1. Решите систему а), считая первое уравнение системы квадратным относительно переменной х.
  2. Получите из системы а) все остальные. Какая из форм записи системы подсказывает способ ее решения?
  3. Решите систему г), рассматривая первое уравнение как совокупность двух уравнений.
  4. Решите систему в), учитывая, что сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.
  5. Решите систему д), применяя указания 3 и 4.
  6. Решите систему б) способом подстановки.
  7. Каждая из систем б) — д) подсказывает определенный способ решения системы а). Какой из них кажется наиболее рациональным?
  8. Решите систему а) каким-либо другим способом.
  9. Составьте и решите аналогичную задачу.
  10. Приведите примеры систем, которые можно решить одним из рассмотренных методов.

Покажем теперь иной путь составления динамической задачи, а именно: сначала выстраивается цепочка взаимосвязанных проблем, а после их решения формулируется задача, которая объединяет в себе все рассмотренные проблемы. Такой подход целесообразен в самом начале обучения решению определенного вида задач.

3адача 4.

1. При каких значениях а и b выполняется равенство ?

Квадрат любого числа неотрицателен, т. е. и , значит, данное уравнение равносильно системе

2. Решите уравнение:

.

На основании предыдущего результата заключаем, что данное уравнение равносильно системе

Это уравнение можно решить и другим способом, рассмотрев данный многочлен как квадратный трехчлен относительно х и найдя его дискриминант.

3. Решите уравнение:

.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений из которой получаем решения: .

4. Решите систему уравнений:

Поскольку сумма квадратов может равняться нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю, а произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, из данной системы получаем совокупность систем а) и б):

а)

б)

Система а) не имеет решений, система б) имеет одно решение (1; 1).

5. Решите систему уравнений:

Разложим на множители многочлен, стоящий в левой части второго уравнения:

.

Теперь осталось только заметить, что данная система сводится к предыдущей.

6. Решите систему уравнений:

Представим многочлен в первом уравнении как сумму квадратов, а второй — как произведение множителей:


Отсюда ясно, что задача сводится к предыдущей.

Систему уравнений, данную в п. 6, можно дополнительно усложнить, если, например, одно из уравнений системы заменить их суммой:

Поскольку все системы, рассмотренные в п. 4 – б, равносильны, то решением системы является пара чисел (1;1).

В итоге составлена и решена целая последовательность систем уравнений:

а)

б)

в)

г)

д)

Как видим, сама структура задач динамического характера способствует активизации мышления учащихся. Эти задачи, безусловно, можно рассматривать как одно из средств для формирования элементов исследовательской деятельности: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать и обобщать, выдвигать, доказывать или опровергать гипотезу; выделять из целого его части и из частей составлять целое.

Решение задач динамического характера можно организовать по трем вариантам (как это показано в задаче 1) в соответствии с тем, как много подсказано учащимся, чтобы навести их на открытие. Это обстоятельство позволяет сделать обучение более дифференцированным.