Цели урока:
Образовательные – вывести формулы тригонометрии, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их применения.
Развивающие – вырабатывать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях, развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества, развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности, развивать культуру речи и любознательность.
Воспитательные – побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу.
Ожидаемый результат: Каждый учащийся должен знать вывод формул двойного аргумента и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов обучения.
Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.
План урока:
- Организационно-мотивационный этап.
- Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).
- Изучение нового материала.
- Домашнее задание.
- Итог урока.
- Закрепление изученного материала (контрольный срез).
Ход урока
1. Организационно-мотивационный этап.
Сегодня на уроке мы выведем формулы тригонометрии – формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения. Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо Больцано “Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек”.
2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта учащихся (устная работа).
Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и тангенс суммы аргументов. Вызываются 3 учащихся, которые на 3 досках записывают отдельно эти формулы:
sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;
cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;
tg(x+y) = 
.
Далее учащиеся устно работают с места.
№1 Упростить:
а) 
б) 
в) 
г) 
№2 Вычислить:
а) 
б)
в) 
г) 
д) 
3. Изучение нового материала.
Сейчас мы выведем с вами тригонометрические формулы двойного аргумента и рассмотрим многообразие их применения.
Если положить в формулах, записанных вами в начале урока на доске x= y, то получаем:
1)
sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny
sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx
2)
cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny
cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos2x – sin2x
3)
tg(x+y) =
tg2x = 
Каждую из 3-х формул выводит 1 ученик.
Рассмотреть варианты применения данных формул.
- sin10x = 2sin5x*cos5x
- sin
- cos(8x – 14y) = cos2(4x – 7y) – sin2(4x – 7y)
- tg
- 2sin7xcos7x = sin14x
- cos23,5t - sin23,5t = cos7t
А теперь докажем два тождества, используя доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2x – sin2x
1. Доказать тождество:
cos2x = 1 – 2sin2x
cos2x = cos2x – sin2x = (1 - sin2x) - sin2x
= 1 - 2 sin2x
cos2x = 1 - 2 sin2x
2. Доказать тождество:
cos2x = 2cos2x – 1
cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – (1 - cos2x)
= 2cos2x – 1
cos2x = 2cos2x – 1
3. Выразить sin2x из равенства:
cos2x = 1 - 2sin2x
2 sin2x = 1 – cos2x
sin2x = 
4. Выразить cos2x из равенства:
cos2x = 2cos2x – 1
cos2x+1 = 2cos2x
2cos2x = cos2x+1
cos2x = 
Итак, выполняя №1 и №2, мы получили еще два варианта формулы двойного аргумента, а выполняя №3 и №4, вывели формулы понижения степени.
4. Домашнее задание.
- §21
- №21.1 – 21.6 (а)
- №21.9 (а)
5. Итог урока.
- Что нового узнали на уроке?
- Довольны ли вы своей работой на уроке?
6. Закрепление изученного материала. Контрольный срез.
Учащиеся выполняют работу на карточках с дифференцированными заданиями по теме урока (самопроверка).
1 вариант.
№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:
а) 
Ответ:
1) 4/3;
2) 4/3cosx;
3) 2/3;
4) 4/3ctgx.
б) 
Ответ:
1) cos20;
2) 2cos20;
3) ctg20;
4) другой ответ.
№2 Упростите и выберите правильный ответ:
а)
Ответ:
1) 3tgx;
2) 3sinx;
3) 1.5sinx;
4) 3tg2x.
б) cos2t – cos2t =
Ответ:
1) sin2t;
2) -sin2 t;
3) 2cos2 t+sin2 t;
4) другой ответ.
2 вариант.
№1 Упростите, продолжив решение, и выберите правильный ответ:
а) 
Ответ:
1) -3tg2x;
2) 3sin2 x;
3) 6 tgx;
4) 3tg2 x.
б) 
Ответ:
1) 3/2;
2) 2/3;
3) 2/3sin2x;
4) другой ответ.
№2 Упростите и выберите правильный ответ:
а)
Ответ:
1) tg2x;
2) 2sinx;
3) 1/2sinx;
4) 1/2 + tgx.
б) cos2t + sin2t =
Ответ:
1) cos2t;
2) 2sint;
3) cost-sint;
4) другой ответ.
Проверяются верные ответы.
1 вариант:
№1 а) 1; б) 2.
№2 а) 2;б) 1.
2 вариант:
№1 а) 4; б) 2.
№2 а) 3; б) 1.
Учащиеся поднимают руку, кто при выполнении работы сделал 2 ошибки, затем – кто одну ошибку и, наконец, кто не сделал ни одной ошибки, выполнил всё полностью и верно.
Молодцы ребята, отлично поработали.
Ученики сдают карточки на проверку учителю.
На следующих двух уроках мы с вами продолжим изучение применения формул двойного аргумента в тригонометрических преобразованиях.
Спасибо всем за урок!