Формирование математической компетентности

Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком.

Под математической грамотностью понимается способность учащихся:

• распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;
• формулировать эти проблемы на языке математики;
• решать эти проблемы, используя математические знания и методы;
• анализировать использованные методы решения;
• интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;
• формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы.

Выделены три иерархических уровня математической компетентности, которые являются опорой при отборе содержания проверки. Первый уровень включает воспроизведение математических фактов, методов и выполнение вычислений; второй уровень - установление связей и интеграцию материала из разных математических тем, необходимых для решения поставленной задачи; третий уровень (самый высокий) - математические размышления, требующие обобщения и интуиции [4]. В проведенном исследовании несложно выделить знания и умения, которые на международном уровне считаются необходимыми для математически грамотного современного человека. К ним относятся: пространственные представления; пространственное воображение; свойства пространственных фигур; умение читать и интерпретировать количественную информацию, представленную в различной форме (таблиц, диаграмм, графиков реальных зависимостей), характерную для средств массовой информации; знаковые и числовые последовательности; определение периметра и площадей нестандартных фигур; действия с процентами; использование масштаба; использование статистических показателей для характеристики различных реальных явлений и процессов; умение выполнять действия с различными единицами измерения (длины, массы, времени, скорости) и др.

Отсюда одной из основных целей математики должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций, владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для этого необходимо обеспечить усвоение системы научных понятий. Значит, возникает необходимость в отходе от традиционной организации учебного процесса, к организации такой учебной среды дающей возможность зафиксировать изменения в ученике, которые произошли в результате образовательной деятельности.

Особенности организации деятельности учащихся:

• Отказ от репродуктивного повторения;
• Приоритет обучающих заданий, активизирующих мыслительную деятельность школьников.
• Активное использование приёмов выбора, сравнения, классификации, преобразования, конструирования.
• Установление взаимосвязи между вводимыми понятиями на основе собственного опыта учащихся, создание ситуации необходимости его появления.
• Использование ИКТ.

Принцип развивающего обучения: «Что требуется для успешного выполнения данного задания, то этим заданием и развивается». Для этого я включаю в работу на уроках задания частично поисковые, творческие, процесс выполнения которых может быть связан с догадкой, опираясь на опыт ребенка, на ранее усвоенные знания.

Обучающие задания:

• Анализ математических объектов с различных точек зрения;
• Организация целенаправленного наблюдения;
• Установление соответствия между предметной – вербальной – графической – символической моделями;
• Предложение заведомо неверного способа выполнения задания – «ловушки»;
• Сравнение данного задания с другим, которое представляет собой ориентировочную основу;
• Обсуждение различных способов действий.

Для себя я вывела формулу развивающего обучения: развитие внимания + развитие памяти + развитие мышления +мотивация = интеллектуальная личность

В системе «внимание – память - мышление» именно мышление является ведущим звеном. Следует отметить, что человеческое мышление при всей своей сложности базируется на относительно ограниченном наборе мыслительных операций, так или иначе связанных с понятиями.

В учебной практике нужный нам факт сможет подвергаться всего шести мыслительным операциям: абстракции, обобщению, сравнению, аналогии, классификации и систематизации.

Итак, сформулируем в обобщенном виде основные принципы постановки учебной задачи формирования математической компетентности:

1. Вводимое математическое понятие должно быть предельно общим с тем, чтобы последующие этапы работы с понятием выступали для детей как конкретизация, уточнение исходного понятия [1].

2. Прежде чем вводить новое знание, необходимо создать ситуацию необходимости его появления.

3. Не вводить знание в готовом виде. Даже если нет никакой возможности подвести детей к открытию нового, всегда есть возможность создать ситуацию самостоятельного поиска, предварительных догадок и гипотез.

4. Если удалось поставить учебную задачу правильно, то ученики смогут, получив ответ на первую задачу, почти самостоятельно поставить следующую.

Следовательно, необходимо придумать такие приемы работы, которые научат ребенка абстрагироваться от второстепенных фактов и выделять главное, обобщать ряд фактов и делать общий вывод, сравнивать факты, находя в них черты сходства и различия и т.д.

«Логика связей» - учит учащихся пониманию абстрагированных связей между отдельными понятиями, а также распространению этого понимания на другие конкретные примеры.

ПРИМЕР: Первые три пары слов, снабженных цифрами, задают определённые типы связей между понятиями. Определите аналогичные типы связей в остальных парах слов и укажите для каждой пары номер соответствующего примера, в котором задан тот же тип связи, что и для данной пары слов:

Шифр: 1. Рождение - жизнь. 2. Малина - ягода. 3. Овца - стадо.

Задание:

1. Параллелограмм - диагональ.

2. Дорога - километр.

3. Ромб - углы.

4. Прямоугольник - угол 90°.

5. Объём - куб.

6. Трапеция - основания.

7. Высота - перпендикуляр.

8. Угол - градус.

9. Ромб - параллелограмм.

10. Угол - биссектриса.

11. Квадрат - прямоугольник.

12. Площадь - квадрат;

13. Четырёхугольник - многоугольник;

14. Треугольник - сторона.

Видно, что заданы в неявном виде следующие типы связей между понятиями:

1. Причина - следствие.

2. Род - вид.

3. Часть - целое. Можно использовать различные типы связей: синонимы (враг - неприятель), антонимы (сет - темнота), степень (море - океан) и т.д.

«Сравнение понятий» - укажите общие и существенные признаки для сравнения понятий.

ПРИМЕР № 1.

Сравни выражения в каждой паре, что вы заметили? В каждом выражении выполняется деление на 9.

Ещё: если в первом выражении делимое - трехзначное число, то во втором выражении сумма состоит из трех слагаемых, а если в первом выражении делимое четырехзначное число, то сумма во втором выражении состоит из четырех слагаемых.

Кто ещё, что увидел? Во втором выражении складываются цифры, которыми записано делимое первого выражения, каждой цифрой делимого записано однозначное число.

Найдите значение суммы, что заметили? Если делимое в первом выражении делится на 9, то и сумма во втором выражении тоже делится на 9.

ПРИМЕР №2. Угадай по какому признаку разбиты столбцы

Учащиеся учатся искать общие и существенные признаки между понятиями, на основе своих собственных исследований формулировать выводы, что позволяет развивать воображение и творческие способности детей.

«Классификация. Исключение лишнего» - направлены на развитие индивидуальных способностей уч-ся, формирование умений выделять существенные признаки, с помощью которых ученик устанавливает связи между понятиями

ПРИМЕРЫ:

1) Суть задания состоит в исключении одной из предложенных фигур.

• Прямая, ромб, прямоугольник, квадрат, треугольник.
• Треугольник, отрезок, длина, квадрат, круг.
• Длина, метр, масса, объём, скорость.

2) Выполни деление. По какому признаку разбили выражения на две группы.

3) Отбери в каждой строке только два слова, наиболее тесно связанных с тестовым словом:

• Расстояние (скорость, течение, вода, время, полёт)
• Работа (продавец, производительность, деньги, товар, время)
• Стоимость (количество, товар, магазин, цена, время)

«Аналогии» - отношение задаётся исходной парой понятий, в ответ среди предложенных понятий, найти такое, которое образует такое же отношение к третьему понятию, указанному в правой части задания.

ПРИМЕРЫ:

«Перекодирование информации» - задания направлены на формирование понимания учащимися того, что одна и та же информация может быть представлена в различных формах, в тексте задания информация предъявляется одной из пяти форм (образной, вербальной, графической, знаковой, символической). Суть же задания для проверки уровня генетического понимания состоит в том, что ученик по одной из форм представления информации об определённом явлении должен восстановить остальные формы или сделать вывод, что однозначное перекодирование невозможно.

ПРИМЕРЫ:

1). Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Образная модель:

Символический образ:

Вербальная модель: Длина изгороди - периметр участка. Периметр - сумма длин всех сторон многоугольника. Заборы имеют одинаковую длину, поэтому участки земли имеют одинаковый периметр.

Математические модели: Р _{прямоугольника} = (а + в ) ћ 2; Р _{квадрата} = 4а; S _{прямоугольника} = аћ в; S _{квадрата} = а².

Другие виды заданий:

1. «Нестандартные задачи, ситуационные задачи» - Такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики.

Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи должен, на наш взгляд, вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.

2. «Вставьте пропущенное число, слово» - в тексте содержащем фрагмент полного, развернутого изложения учебного материала, каждое пятое слово заменяется прочерком. Ученик читая текст, должен вставить пропущенное слово или его синоним. Данное задание может служить надежным индикатором понимания учебного материала.

3. «Ловушки» - Предложение заведомо неверного способа выполнения задания.

ПРИМЕР: Восстановить верные записи:

• а2 – в2 =(а – в)(а - в);
• (а+2)(2 – а) = а2 – 4;
• 2(7 – в) + в(в-7) = (7 – в)((2 + в);
• а + в –с(а + в)= (а +в)(с-1 );
• (а – в) 2 = а2 - в2 +2ав;
• 3 (а – в) 2 – 4(в– а) 2 = (а – в) 2 (-7).

4. «Расположите в нужном прядке» - Последовательный текст, содержащий изложение учебного материала разбивается на предложения, каждое из которых снабжается порядковым номером, которое затем размещается в задании для ученика в произвольном порядке. Ученик должен восстановить порядок, соответствующий логике развития материала, указать правильную последовательность номеров предложений.

5.. «Перебор, подбор, оценка» - Уже в младших классах школы при обучении математике (да и другим предметам) надо учить школьников наблюдениям, прививать им навыки исследовательской творческой работы, которые могут пригодиться в дальнейшем, какой бы вид деятельности они не избрали после окончания школы. При этом следует добиваться от них понимания того, что полученный вывод является строго (научно) обоснованным, так как примененный метод полной индукции (так называемый метод перебора) является научным и широко применяется в математике при доказательстве теорем и решении задач.

ПРИМЕР: ЯБЛОНИ

Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке. Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья.

Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений n, где n – количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа n.

- хвойное дерево

- яблоня

Вопрос 1: ЯБЛОНИ

Заполните таблицу:

Вопрос 2: ЯБЛОНИ. Предположим, что фермер решил постепенно увеличивать число рядов яблонь на своем участке. Что при этом будет увеличиваться быстрее: количество высаживаемых яблонь или количество хвойных деревьев? Запишите объяснение своего ответа.

6. «Сжатие, уплотнение материала» - Для обеспечения достаточного уровня знаний авторы учебных программ и учебников стремятся вводить в них все новые и новые данные. Однако, чем больше объем подлежащих усвоению знаний, тем труднее обеспечить прочность их усвоения. Следовательно, необходимо как-то ограничить тот круг знаний, которые подлежат усвоению и искать пути организации знаний в такую систему высокого уровня обобщения, в которой по относительно немногим прочно закрепленным ее звеньям на основе рассуждений ученик мог бы найти дополнительные звенья, необходимые для оперирования приобретенными знаниями.

Ориентация на выделение и обобщение существенного в материале, классификацию в зависимости от его значимости содействует формированию одного из важнейших качеств продуктивного мышления — глубины ума.

В связи с большим объемом подлежащих усвоению знаний необходимо по возможности «сжать», «уплотнить» их, что может быть осуществлено на основе более раннего введения обобщенных знаний — теорий, законов, общих методов решения широкого класса задач. Такие знания позволяют учащимся не запоминать множество отдельных частных закономерностей, способов решения, а самим на основе логических рассуждений «выводить» их из общих положений.

ПРИМЕР: Успешное применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений зависит от удачного выбора той или иной формулы из достаточно обширного списка формул тригонометрии. Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трём шутливым законам [2]:

1. «Увидел сумму - делай произведение» (речь идёт о формулах для преобразования сумм sin sin ; cos cos ; tgtg в произведения).
2. «Увидел произведение - делай сумму» (речь идёт о формулах для преобразования произведения sincos; sinsin; cos cos в сумму).
3. «Увидел квадрат - понижай степень»

7. Тесты: с выбором ответа; установление истинности или ложности; с пропуском.

8.Карточки для индивидуальной работы с различными видами дифференцированных заданий:

• задания с алгоритмическим предписанием, эти карточки использую при обучении стандартизованным способам деятельности;
• задания с сопутствующими указаниями, в этих заданиях даются указания и советы частного характера, определяющие выбор способа действия, активизирующих внимание на центральном звене задания;
• задания с применением классификации;
• задания с выполнением некоторой их части;
• задания с вспомогательными вопросами.

9. Индивидуальные листы обучения [3], суть метода заключается в том, что учащиеся до изучения темы получают ИЛО, в которых напечатаны вопросы по теме и оставлены места для ответов. Ученик самостоятельно дома работает с учебником над новой темой и заполняет ИЛО, в классе учитель отвечает на вопросы учеников, углубляет и расширяет их знания по теме, учитель проверяет ИЛО и оказывает помощь конкретному ученику (Приложение 1).

10. ИКТ, компьютерные презентации к урокам, электронные учебники. (Приложение 2), (Приложение 3)

Популярным методом демонстрации процесса мышления является графическая организация материала. Модели, рисунки, схемы и т.п. отражают взаимоотношения между идеями, показывают учащимся ход мыслей. Процесс мышления, скрытый от глаз, становится наглядным, обретает видимое воплощение. Здесь помогают

Ориентация на активное освоение человеком способов познавательной деятельности, ориентация обучения на личность учащегося, обеспечение возможностей для его самораскрытия, партнёрство с учениками, совместное решение проблемно - познавательных задач - основной путь успешного познания математики.

Литература:

1. М.Е. Бершадский «Понимание как педагогическая категория». М.: Центр «педагогический поиск», 2004. - 176с
2. А. Г. Мордкович «Беседы с учителями математики». М.: ООО « Издательство Оникс»: ООО « Издательство «Мир и образование», 2008 - 336с.
3. Э.А.Левин, О.И.Прокофьева «Методика индивидуально-группового обучения».М.: «Сентябрь», 2007
4. Источник: Основные результаты международного исследования образовательных достижений учащихся ПИЗА- 003. Центр оценки качества образования ИСМО РАО, 2004 г., С.21