Урок-зачет по теме "Производная и ее применение" (11-й класс)

Цель: систематизировать знания по теме, проверить свою компетентность в данной области знаний.

Задачи:

1) показать умение

• ориентироваться во всей теме “Производная и ее применение”;
• решать возникающие проблемы;
• сотрудничать в группе.

2) проверить следующие компетентности:

• предметную (когнитивную);
• компетентность в решении проблем;
• коммуникативную.

Урок содержит 5 блоков заданий:

Блок 1. Проверка знания терминологии, проводится в виде математического диктанта (13 заданий).

Блок 2. Техника дифференцирования (10 задач).

Блок 3. Решение задач по теме (уровень сложности А) (13 задач).

Блок 4. По графику производной смоделировать график функции, указать ее свойства на основании графика производной.

Блок 5. Разбор некоторых задач домашней контрольной работы.

Оценивание работы групп производится экспертной группой учителей по каждому блоку задач.

Работа идет в течение двух уроков.

См. Приложение 1

Блок 1

Проверка знания терминов (проводится в форме диктанта).

1. Как называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю? (Производная)
2. Операция нахождения производной называется (дифференцированием).
3. Если большему значению аргумента, взятому из области определения функции, соответствует и большее значение функции, то функция называется (возрастающей).
4. Если для х₂>х₁ выполняется условие f(х₂)<f(х₁), то f(х) называется (убывающей).
5. Если для х, взятого из ближайшей окрестности точки х₀, выполняется неравенство f(х)<f(х₀), то х₀ называется точкой (max – максимума).
6. Если для х, взятого в ближайшей окрестности точки х₀, выполняется неравенство f(х)>f(х₀), то х₀ называется точкой (min – минимума).
7. Как называются обе эти точки? (Точками эхt – экстремума).
8. Как называется множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют зависимости y = f(x)? (Графиком функции)
9. Как называются те значения аргумента, при которых f(x) = 0? (Нули функции)
10. Как называется прямая, к которой стремится кривая графика функции, но не пересекает ее? (Асимптотой)
11. Если график функции симметричен относительно оси Оу, то функция является (четной).
12. Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция является (нечетной).
13. Как называется предельное положение секущей графика функции? (Касательной)

Блок 2

Найти производные функций:

1. f(x) = x4 – 2x3 + 3x	f '(x) = 4x3 – 6x2 + 3
2. f(x) = +	f '(x) = +
3. f(x) =	f '(x) = 2cos (2x + 5)
4. f(x) =	f '(x) = – sin (x – 1)
5. f(x) = tg (5x + 3)	f '(x) =
6. f(x) = ctg (1 – 2x)	f '(x) =
7. f(x) = ln (7x + 5)	f '(x) =
8. f(x) =	f '(x) =
9. f(x) =	f '(x) = 2x•
10. f(x) =	f '(x) = •ln 3•cos x

Блок 3

Решить задачи (задания уровня сложности А, см. задачник ЕГЭ 2008 г., авт. Кочагин В.В. (стр. 57–58)).

А₃. Найдите производную функции y = .

Решение:

y' = = = = =  .

Ответ: (2).

А₄. Решите уравнение f '(x) = 0, если f(x) =(x -1)(x² + 1)(x + 1).

Решение:

f '(x) = ((x -1)(x² + 1)(x + 1))' = ((x ²-1)(x² + 1))' = (x^{4 –} 1)' =4x³,

4x³ = 0 x = 0.

Ответ: (4).

А₅. Решите неравенство f '(x) > 0, если f(x) = – x² – 4x – 2006.

Решение:

f '(x) = – 2x – 4 -2x – 4 > 0 -2x > 4 x < -2.

Ответ: (1).

А₆. Уравнение касательной к графику функции y =, проведенной в точке (1;1), имеет вид:

1) y = x;

2) y = -2x – 2;

3) y = x + 2;

4) y = -x + 2.

Решение:

y' = – , y'(x₀) = – = – 1.

Уравнение касательной имеет вид: y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀), т.е. y = 1 – 1(x – 1), y = – x + 2.

Ответ: (4).

А₈. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = 6x – в его точке с абсциссой – 1.

Решение:

y' = 6 + , tg = f '(x₀) = 6 + = 6 + 2 =8.

Ответ: (4).

А₉. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = sin 2x в точке с абсциссой 0.

Решение:

k = f '(x₀) f '(x) = 2 cos 2x, f '(0) = 2 cos 2•0 = 2cos 0 = 2.

Ответ: (1).

А₁₀. На рисунке изображен график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной в точке х₀.

Решение: f '(x0) = tg = = +2. Ответ: (2).

А₁₂. На рисунке изображен график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀ = 2. Найдите значение производной в точке х₀.

Решение: f '(x0) = f '(2) = tg 0° = 0. Ответ: (3).

А₁₃. Найдите точку максимума функции y = x³ – 3x + 2.

Решение:

y' = 3x² – 3, 3x² – 3 = 0 при x = 1.

При переходе через стационарную точку х = 1 производная сменила знак с “+” на “–”, значит х = –1 точка max. Ответ: (1).

А₁₄. Найдите минимум функции y = x³ – 3x + 2.

Решение:

х = 1 – точка минимума (см. предыдущее задание), следовательно у (1) = 1³ – 3•1 + 2 = 0.

Ответ: (2).

А₁₈. В какой из указанных точек производная функции, график которой изображен на рисунке, отрицательна?

Решение: Так как на промежутке [х1; х3] функция убывает, то f'(x2) < 0. Ответ: (3).

Блок 4

По графику производной смоделировать график функции и ответить на вопросы или выполнить задания:

1. по графику производной укажите промежутки монотонности функции.
2. укажите точки экстремумов.
3. укажите вид эxt.
4. найдите число точек графика функции, касательная в которых наклонена под углом 45° к оси Ох.

Решение:

1. при х ( – 6; – 5) и при х ( – 1; 3) функция убывает, т.к. f '(x) <0. При х ( – 5; – 1) и при х ( 3; 6) функция возрастает, т.к. f '(x) > 0.
2. x₀ = – 5; – 1; 3 – точки эxt, т. к. f '(x) = 0.
3. x = – 5 и x = 3 – точки min, x = – 1 – точка max, т. к. производная при переходе через x = – 5 и x = 3 меняет знак с “–” на “+”, а при переходе через точку x = – 1 – с “+” на “–”.
4. т. к. f '(x) = tg = tg 45° = 1, то таких точек 3 , т. к. прямая у = 1 пересекает график производной в трех точках.

Блок 5

Задачи, которые были даны в качестве домашнего задания к данному уроку.

1. Найти производные функций

а) y = 3 sin 2x•tg;

б)y = (4 – ).

Решение:

а) y' = 3•(2cos2x•tg + ) = 3•(2cos2x•tg +).

б) y' = 3(4 – )•• = .

2. Решить неравенство f '(x)<g'(x), если f(x) = , a g(x) = 5x + .

Решение:

D(f) = (0)(0; + ).

D(g) = (0)(0; + ).

f '(x) = = = , g'(x) = 5 –.

Решаем неравенство < 5 –

–5+ <0 0 <0 < 0.

f(1) = = – 3<0.

Ответ: x (0) (0; 2,5).

3. При каких значениях х равна 0 производная функции y = 3(sinx + cosx)?

Решение:

1) y' = 3• (cosx – sinx);

2) 3• (cosx – sinx) = 0 / : 3 cosx 0 1 – tgx = 0 tgx = ,

x = arctg + n, n Z

x = + n, n Z.

Ответ: x = + n, n Z.

4. Под каким углом пересекаются графики функций y = 8 – x и y = 4?

Решение:

1) 8–x = 4 64 –16x+ =16(x+4) 64 –16x+ 16x –64 = 0 32x = 0, откуда х = 0 или х = 32 – этот корень не удовлетворяет уравнению, т.к. при х = 32 левая часть уравнения равна – 24, а правая часть уравнения равна 4 = 4• = 4• 6 = 24. Итак, х=0.

2) Составим уравнение касательной к графику функции y= 4 в точке х₀ = 0.

а) y0 = 4• = 8; б) y'(x) = 4• = ; в) y'(0) = = = 1. Итак, y = 8 + 1(x – 0), т. е. y = x + 8 – уравнение касательной к графику функции y = 4. BAC = ACB = 45°, следовательно В = 90°. Ответ: под углом 90°.

5. Тело движется по закону S(t) = 8 – 2t + 24 – 0,3 В какой момент времени тело имеет наибольшую скорость? Найти эту скорость.

Решение:

1) S'(t) = 0 – 2 + 48t – 1,5, итак, v(t) = -1,5 – исследуемая функция.

2) v'(t) = .

3) = 0, = 8, t = 2 – стационарная точка.

4) v'(1) = – 6• 1 + 48 > 0, v'(3) = – 6• 27 + 48 < 0.

При переходе через стационарную точку производная сменила знак с “+” на “–”, значит это точка максимума, а следовательно, именно в ней функция v(x) принимает наибольшее значение. Найдем это значение: v(2) = – 2 + 48• 2 – 1,5• = – 2 + 96 – 24 = 70.

Ответ: v_max = 70 м/с.

6. Угол _рад поворота тела вокруг оси изменяется от времени t по закону (t) = 3t ² – 2t – 4. Вычислить угловую скорость в любой момент времени t и определить, при каком значении t она будет равной 40рад/с.

Решение:

Пусть (t) – угловая скорость. (t) = '(t) = 6t -2.

6t – 2 = 40, 6t = 42, t = 7.

Ответ: угловая скорость равна 40 рад/с при t = 7c.

7. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0, задается формулой Q(t)=(2t³ + 3t + 1)k. Найти силу тока в конце 5^ой секунды.

Решение:

I = Q'(t) = (2t³ + 3t + 1)' = 6t³ + 3.

I(5) = 6• 5² + 3 = 6• 25 + 3 = 153 (A).

Ответ: I(5 c) = 153 A.

8. Исследовать функцию а) y = ; б) y = и построить ее график.

Решение:

а) y =

1) D(y) = (0; + ).

2) y' = = .

y' = 0, если 1 – lnx = 0, lnx = 1, x = e.

x = e – стационарная точка функции.

y'(1) = = = 1 > 0.

При переходе через стационарную точку х = e производная сменила знак с “+” на “ – ”, значит х = e точка максимума.

y_max = = 0,37.

При 0<х<е функция возрастает, а при х>е функция убывает.

При х y = 0, y = 0 – горизонтальная асимптота графика, а x = 0 – вертикальная асимптота.

б) y =

D(y) = R.

y' = , y'(x) = 0, если 2х – 2 = 0 х = 1.

y(1) = 4

y'(2) = = = – 2<0, y'(0) = = = +2>0.

= 0, y = 0 – горизонтальная асимптота графика.

9. Найдите точки экстремума функции у = и угол между осью Ох и касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 0.

Решение:

y' = .

y' = 0,

= 0 (+2) = 0, 0,

следовательно

+2 = 0, = 2, = x = ln 2.

y'(2) = = = < 0. f ' (0) = = – 1+2 = 1, f ' (0) = k = tg = 1 = 45°.

y(0) = e⁰ – e⁰ = 1 – 1 = 0, y = 0+1(x – 0).

Ответ: y = x – уравнение касательной, = 45° – угол между осью Ох и касательной к графику функции, проходящей через точку О(0;0).

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = x⁵ – x³ + x + 2 на отрезке [– 1; 1].

Решение:

f( – 1) = (-1)⁵ – (-1)³ + (-1) + 2 = -1 + 1 – 1 + 2 = 1,

f(1) = 1⁵ – 1³ + 1 + 2 = 3.

f '(x) = 5x⁴ – 3x² + 1, D<0, следовательно уравнение 5x⁴ – 3x² + 1= 0 не имеет действительных корней, т.е. стационарных точек нет.

Ответ: f( – 1) = 1 – наименьшее значение f(x) на [– 1; 1],

f(1) = 3 – наибольшее значение.

11. Найти число, которое превышает свой квадрат на максимальное значение.

Решение:

f(x) =x – x², f '(x) = 1 – 2x, 1 – 2x = 0, x = стационарная точка.

y'(1) = 1 – 2 < 0. x =

Ответ: .

12. Среди равнобедренных треугольников с боковой стороной а найти треугольник наибольшей площади.

Решение:

Пусть КС = х, причем х>0, тогда h = , = ah = •2x• = x.

Итак, имеем исследуемую функцию S(x) = , тогда:

S²(x) = x²(a² – x²) = a²x² – x⁴.

(S²(x))' = 2a²x – 4x³ = 2x(a^{2 –} 2x²)

(S²(x))' = 0, 2x(a^{2 –} 2x²) = 0, x = 0 или a^{2 –} 2x² =0

x₁ = 0

x_2,3 =

x = 0 и x = не удовлетворяют условию задачи, т. к. не принадлежат множеству (0; + ).

Итак, x = стационарная точка функции.

(S2())'= 2•) = a(a2 – )>0.

При переходе через стационарную точку производная сменила знак с “+” на “–”, значит х = является точкой максимума, а т.к. это единственная стационарная точка, то именно в ней функция S²(x), а значит и функция f(x) принимает наибольшее значение.

АС = 2• = = а.

Ответ: наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.

13. Из куска проволоки длиной b согнуть прямоугольник наибольшей площади.

Решение:

Пусть AD = x, тогда CD = . S = a•h, т. е. S(x) = .

Найдем производную функции и определим стационарные точки, решив уравнение S'(x) = 0.

S'(x) =(1/2(xb – 2x²))' = (b – 4x).

(b – 4x) = 0 b – 4x = 0 x = .

S'() = (b – 4)> 0.

Итак, x = является точкой максимума функции, значит именно в ней (она единственная на (0;+ )) функция принимает наибольшее значение.

Ответ: из всех прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

14. Какие размеры R и H нужно взять для открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его изготовление ушло наименьшее количество листового железа.

Решение:

Пусть Rц = x, причем x>0, тогда (т. к. V = R2H) H = . S(x) = 2x • + x2, S = 2RH + R2, т. к. бак открытый. S(x) = ( x2). S'(x) = ( • ( )+2x).

Решаем уравнение S'(x) = 0,

( • ( )+2x) = 0,

= 0 – 2V + 2x³ = 0, x³ = x = .

S'() = • > 0.

При переходе через стационарную точку х = производная S'(x) сменила знак с “–” на “ + ”, значит эта точка является точкой минимума, а т. к. она единственная на множестве (0;+ ), то именно в ней функция S(x) принимает наименьшее значение.

H = V : • = V : = : = .

Ответ: если R = и H = то на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала.

По каждому блоку задач эксперты выставляют баллы.
Отметка учащимся выставляется по итогам каждого этапа и как среднее арифметическое выставляется общая оценка усвоения темы.