Цель урока:
- Повторить основные понятия по теме: «Графы. Свойства графов»;
- Развитие логического мышления через решение нестандартных задач, систематизацию и обобщение, развитие математической речи;
- Воспитание внимательности, интереса к предмету, расширение кругозора.
Тип урока:
- повторительно-обобщающий.
Способ организации деятельности:
- частично поисковый.
Оборудование:
- тексты с заданиями на каждого;
- кодоскоп;
- цветные мелки;
- альбомные листы для рисования карты;
- плакат с домашними заданиями.
Оформление доски:
- число,
- тема,
- эпиграф.
Ни один человек не научился думать,
читая в готовом виде записанные
мысли другого человека. Научиться
думать можно, лишь размышляя
самостоятельно.
Михаил Эминеску
(молдавский поэт-романтик)
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Задача 1. «Павлик - наш одноклассник и заядлый велосипедист- изобразил на классной доске часть плана местности и поселка, где он жил прошлым летом. По рассказу Павлика, недалеко от посёлка, расположившегося по берегам реки Оя, есть маленькое глухое озерцо, питающееся подземными источниками. От него берёт начало Оя, которая при входе в посёлок разделяется на две отдельные речушки, соединенные естественным каналом так, что образуется зеленый островок (А) с пляжем и спортплощадкой. Далеко за поселком обе речушки, сливаясь, образуют широкую реку. Павлик утверждает, что, возвращаясь на велосипеде со спортивной площадки, находящейся на острове (Д), он проезжает по одному разу по всем восьми мосткам, показанным на плане, ни разу не прерывая движение. Наши знатоки теории таких головоломок отметили буквами А,В, С и Д участки поселка, разъединенные речкой (участки- это узлы графа, мосты- отрезки графа), и установили, что маршрут, что маршрут, начинающийся в А (нечетном узле), возможен, но закончиться он должен непременно в В - втором нечетном узле, остальные два узла С и Д - четные».
Решение.
1) Плакат плана местности на доске. (См. приложение).
2) Маршрут мальчика обозначен красной линией. Нарисуем граф маршрута мальчика. Павлик говорит правильно. Он начал свой маршрут в А и закончил в Д. Так как вершины А и Д нечетные. Следовательно, если в графе две начетные вершины, то он начал свой путь в А, так как ехал со спортплощадки домой.
2. Устная работа (одновременно с проверкой домашнего задания).
1) Что такое «граф»?
Ответ: фигура, которая состоит из точек и линий, соединяющих эти точки, называется графом.
2) Можно ли заданную фигуру начертить одним росчерком?
А)
Ответ: все вершины четные, следовательно, можно начиная с любой вершины.
Какое свойство использовали?
Ответ: если все вершины графа четные, то можно одним росчерком начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.
Б)
Ответ: вершины В и Д четные, следовательно, можно начать в вершине В и закончить в Д или наоборот.
Какое свойство использовали?
Ответ: граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.
В)
Ответ: здесь все вершины нечетные, следовательно, одним росчерком начертить нельзя.
Какое свойство использовали?
Ответ: граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Г) Оса залетела в банку из-под сахара, которая имела форму куба. Сможет ли оса проползти по ребрам куба последовательно? Подпрыгивать иперелетать с места на место не разрешается.
Ответ: ребра куба образуют граф, все ребра которого имеют кратность 3, и, следовательно, требуемый обход невозможен.
Д)
Почтальон Печкин разнес почту во все дома деревни, после чего пришел к дяде Фёдору выпить молока. На рисунке показаны все тропинки, которые проходил Печкин, причем, как оказалось, ни по одной из них не проходил дважды. Каков может быть маршрут почтальона Печкина? В каком доме живет дядя Фёдор?
Ответ: п-1-3-п-7-1-2-3-4-5-6-7-5. Дядя Фёдор живет в домике №5.
3. Решение задач.
Задача №1. «Олег, Игорь и Аня учатся в шестом классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник.
Известно, что:
а) Лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;
б) Аня никогда не проигрывала в шахматы мальчикам.
Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший художник?»
Решение.
I способ.
II способ.
| х | ш | м | |
О |
+ |
н |
н |
И |
н |
н |
+ |
А |
н |
+ |
н |
Ответ: Олег-художник, Игорь- математик, Аня- шахматист.
Задача №2. «В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой схеме - каждый из участников играет с каждым из остальных только один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор- с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина- с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
Решение.
Ответ: сыграно 7 игр; осталось сыграть 8 игр.
Как называется граф, ветви которого не замкнуты?
Ответ: граф, ветви которого не замкнуты, называется «дерево» вариантов.
Задача №3. «Сколько можно составить различных трехзначных чисел, удовлетворяющих условию:
а) первая цифра 7;
б) вторая цифра делится на 3;
в) число кратно 2».
Решение.
Ответ: всего 15 вариантов.
Задача №4. «Если задуманное число умножить на 5 и к полученному результату прибавить 1, потом полученную сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4, то получим число, которое в 16 раз больше числа 135. Найдите задуманное число».
Решение.
Составим граф.
Ответ: х=10.
4. Самостоятельная работа.
Задача №5. «На острове Буяне четыре государства, каждое из которых граничит с тремя другими. Нарисуйте карту острова. Рассмотрите все варианты».
5. Решение.
6. Итог урока:
типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешиваются в аэропортах, схемы метро, а на географических картах - изображение железных дорог. Графами являются блок- схемы программ ЭВМ, сетевые графики строительства. Теория графов является частью, как типологии, так и комбинаторики. То, что это топологическая теория, следует из независимости свойств графов от расположения вершин и вида соединяющих их линий. А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привела к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики.
Домашнее задание:
На острове 4 государства, каждый из которых граничит с тремя другими. Сколько государств имеет выход к морю? Рассмотрите все возможные случаи. Для каждого из них нарисуйте карту.