“Математическое сочинение” - это не литературная обработка изученного математического материала, а составление именно математического сочинения. Учитель математики редко использует эту форму работы, хотя математические сочинения это одна из форм творческой работы учащихся при обучении математике. На наш взгляд, причина отказа от этой формы работы в неразработанности методики ее проведения. В литературе фактически не имеется описания такой работы. Однако основы успешного выполнения такого задания закладываются при подготовке к изучению темы. Здесь нет необходимости описывать технологию проработки самой темы. Остановимся на написании домашних сочинений.
На написание домашних сочинений должно быть предоставлено достаточно времени – это зависит от темы и объема работы. К сожалению, нередко выполнение такой работы сводится к тому, что ученик списывает из рекомендованной литературы тот текст, который касается темы его сочинения, а учитель, проверяя такое сочинение, обнаруживает, что есть очень похожие сочинения. Поэтому лучше предложить несколько тем сочинений, во-первых, у ученика должно быть право выбора; во-вторых, не будет массового списывания. Каждую тему необходимо прокомментировать. Для первого опыта написания сочинений по математике предложить планы. В дальнейшем ученики сами научатся их составлять. С учениками полезно обсудить, что собой представляет математическое сочинение, что может быть в его содержании, как над ним работать, привести примеры. Для домашних сочинений обязательно порекомендовать список литературы. Можно этот список вывесить на стенде. Когда школьник научится писать математические сочинения, он сам научится подбирать литературу. В 5-6 классах надо обучать этому ученика, тогда в старших классах он сам самостоятельно выполнит такую работу. В период написания сочинения необходимо провести консультацию с учеником, если такая консультация потребуется. Сведения, которые ученик использует при написании сочинения, включаются в долговременную память.
Какие виды деятельности должен выполнить ученик при написании математического сочинения?
- Подбор литературы по выбранной теме.
- Самостоятельное изучение литературы.
- Отбор материала по выбранной теме.
- Связное изложение материала.
- Проведение самостоятельных исследований. (В 5-6 классах небольшие исследования, выводы, обобщения. В старших классах более глубокие обобщения, систематизация знаний и т.д.)
- Самостоятельное составление задач и их решение. Возможен подбор задач по заданной теме, но самостоятельное их решение.
В какой форме может быть задано математическое сочинение? Это может быть сказка, письмо другу, сочинение по готовому чертежу, например “Опиши чертеж”, это может быть детектив или басня, стихи. Тогда работы будут отличаться разнообразием форм, выдумкой, фантазией, юмором, богатым воображением. Конечно, при выполнении задания предполагается, что ученик будет работать самостоятельно, подбирать сам задачи по выбранной теме и решать их. Глубина изложения, строгость обоснования у всех будет разной, но в любом случае, ученик, выполняя задание, проявит самостоятельность, находчивость, оригинальность, а иногда и изобретательность. Как было отмечено ранее, не обязательно при написании сочинений, сказок должна быть проза. Если ребенок может написать сказку, например, в стихах, пусть он это сделает. Это будет необычно и интересно. Какие рекомендации нужно дать, чтобы ученик написал сказку? Рекомендации могут быть такими:
“Вам предложен учебный текст. Внимательно его прочитайте. Придумайте сказку по заданному тексту, но так, чтобы ее основная мысль, основной сюжет отражали существо учебного текста, с любыми героями и любым сюжетом. Чтобы придумать хорошую сказку нужно еще раз быстро и внимательно прочитать текст. При подведении итогов будут учитываться оригинальность, юмор, необычность сюжета”.
Наиболее интересны и ценны те сочинения, при составлении которых ученик выполнил некоторые исследования, подметил свойства тех или иных фигур, самостоятельно доказал математические утверждения, пусть они будут не так сложны, но сделан шаг для интеллектуального роста. Заслуживают внимания темы, рассчитанные на то, что ученик самостоятельно откроет и докажет давно известные факты (известные другим, но не конкретному ученику).
Приведем тексты сочинений “Письмо другу” .
- Предмет: Математика.
- Класс: 6.
- Тема: Сложение и вычитание чисел с разными знаками.
- Домашнее задание в форме изложения.
Домашнее задание: “Напишите письмо другу. Расскажите в письме как изучали тему, какими правилами пользовались, какие приемы вы использовали, чтобы запомнить правила. Приведите примеры. Поделитесь своими впечатлениями по пройденной теме. Расскажите, в какой последовательности можно изучать тему”.
ПИСЬМО МОЕМУ ДРУГУ
Письмо 1
Привет дружочек. Я давно тебе не писала. Как дела? У меня пока все хорошо. Как у тебя с учебой? Меня интересует особенно математика. Что вы уже прошли, и что ты нового узнала? Пока дождусь твоего письма, напишу о себе. Мы недавно изучили тему “Сложение и вычитание рациональных чисел”. Мне сначала тема показалась сложной. Я пропустила несколько уроков по болезни. Изучали сначала правила, вроде легкое правило, я его быстро запомнила, но применять было очень трудно. Попробую рассказать тебе то, чему я научилась.
Сначала мы учились располагать числа на координатной прямой. Было легко. Нужно было запомнить, что положительные числа стоят на координатной прямой справа от нуля, а отрицательные числа стоят слева от нуля. Потом мы выяснили, что чем дальше от нуля расположено отрицательное число, тем оно меньше, хотя модуль этого числа будет расти. Выяснили, что чем дальше от нуля вправо расположено положительное число, тем оно больше и модуль его будет больше по сравнению с предыдущим. Научились сравнивать числа. Мы договорились, как и древние математики, что минус будет обозначать убыток, а плюс будет обозначать прибыль. Конечно же прибыль лучше убытка. А потом получили правило: Любое положительное число больше любого отрицательного числа, нуль больше отрицательного числа (лучше не иметь долгов), но меньше любого положительного числа.
Потом я заболела и пропустила несколько уроков, а когда пришла, начались проблемы со знаками. Я путала, когда надо было ставить плюс при сложении чисел с разными знаками, когда надо ставить минус. Пока не поработала с координатной прямой. Смотри как просто:
А если записать примеры, то получается такая запись:
1) +1 - 4 = - 3;
2) + 2 + 3 = +5;
3) – 3 – 3 = - 6.
Теперь, когда я начинаю складывать числа с разными знаками, я вспоминаю прямую, и не ошибаюсь со знаком.
А как вы изучали эту тему? Какими способами учились складывать числа с разными знаками? Давай обменяемся мнениями. По-моему нам будет легче обеим. Великому математику от Знайки. (Фетисова Ксения)
Письмо 2
ПРИВЕТ! Прочитал твое письмо, понял, что вы изучаете темы позднее нас. Я тебе расскажу, что я узнал по теме “Сложение и вычитание чисел с разными знаками”, может тебе при изучении ее будет легче.
Я расскажу тебе, как складывать.
1) Сначала посмотри на знаки чисел.
2) Если знаки одинаковые, то спокойно складывай модули чисел и ставь в ответе общий знак. Например: -3 + (-4) = - 7; +3 + (+4) = + 7 или просто 7.
3) Если знаки разные, то здесь сложнее. Главное не растеряться. Смотри на модули чисел. Сравни их. Знак числа с большим модулем запиши в ответ. Потом из большего модуля отними меньший модуль. Ответ готов. Например: +30 + (-40) = - ( 40 – 30) = -10.
Поговорим теперь о вычитании. Если числа с разными знаками и есть скобки, то от скобок избавляйся. Посмотри, какой знак стоит перед скобкой. Пусть это будет минус. Тогда при раскрытии скобок у чисел в скобках знак изменится. Например: -4 – (-5) = - 4 + 5 получил числа с разными знаками. Ставь знак большего модуля и вычитай из большего модуля меньший. Если получил знаки одинаковые, то модули складываем и ставим общий знак в ответе. Например: - 3 – (+5) = - 3 – 5 = - 8.
Напиши мне, помог ли я тебе в понимании темы? Твой друг Круглов Дима
Письмо 3
ПРИВЕТ! Я бы хотела написать тебе о сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел. Если отнимать на координатной прямой, то надо из координат его правого конца вычесть координату его левого конца.
Если будешь складывать числа с одинаковыми знаками, то знак в ответе сохранится. Если складываешь числа с разными знаками, то в ответе ставь знак большего модуля. Складывать и вычитать числа с разными знаками люди научились давно. Тогда считали, если число отрицательное, то это “долги”, а если число положительное, то “имущество”. Тогда сумма “имущества” и “долгов” равна разности. Например: - 45 + 15 . (-45) – это “долги”, а (+15) – это “имущество”. Перетягивают “долги”, значит ставим минус, а дальше считаем сколько еще осталось “долга”. Или, например: -20 + 60 (-20) – это “долг”, а (+60) – это “имущество”. “Имущества больше чем “долгов”, значит пишем в ответе плюс, считаем, сколько остается “имущества” за вычетом “долгов”.
Тема мне показалась сначала трудной, но вроде в ней я разобралась. Проверю на контрольной работе. Пиши, с какими трудностями пришлось тебе столкнуться в этой теме?. (Лена Хазова)
Письмо 4
ПРИВЕТ! Мы недавно изучили тему “Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел”. Я научился складывать числа с одинаковыми знаками и с разными знаками. Для себя я придумал правило в виде схемы:
Что еще нового мы узнали? Узнали, что : –( - 5) = 5; - ( + 5) = - 5; + ( - 5) = - 5
А если придумать пример такой: -(-(-(-5))), то это будет равно 5. Правило здесь простое. Смотрю, какие знаки у числа. Если все одинаковые, тогда посчитай количество этих знаков. Вот в нашем примере знак минус повторяется 4 раза, это число четное, значит ответ будет со знаком плюс. Давай покажу другой пример: -(-(-5)) = - 5. Проверяй. Считаю, сколько раз повторился знак минус. Он повторился 3 раза, число это нечетное, значит, ставим в ответе знак минус. Что делать в том случае, когда знаки чередуются? Давай рассмотрим это на примере. –(-(+(-(+5))))=- 5. Знак минус повторился 3 раза, знак плюс повторился 2 раза. На плюс не смотрим. Смотрим на минус. А как с ним работать я тебе написал раньше. Ну, вот наверное и все, что я хотел тебе рассказать, а как вы изучали эту тему? Поделись. (Саша Докучаев)
Письмо 5
Здравствуй! Я по тебе соскучилась. Мы давно не общались. Хочу рассказать тебе, что и как мы проходим на математике. Сейчас мы закончили тему “Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел”. Наша учительница математики не дает нам сразу читать в учебнике правила. Она дает нам много примеров, например:
-7 + 4 = -3
- 4 + 10 = 6
15 – 5 = - 20, но больше конечно. Затем она говорит, чтобы мы внимательно посмотрели на примеры. Мы изучаем примеры, пытаемся догадаться по какому правило получили ответ. В группах мы обсуждаем свои догадки. Потом она спрашивает наше мнение. Мы начинаем говорить, что заметили. У всех групп получается по-разному. Мы доказываем свое мнение. А когда мы все обсудим, у нас получается правило. Потом мы открываем учебник и сравниваем наше правило с правилом в учебнике. Домой нам задают прочитать параграф и найти те мысли, которые не прозвучали на уроке. На следующий урок мы приходим с выученным правилом. На уроке применяем его при решении примеров. Тех, кто не знает правило ставят перед доской, а мы хором проговариваем правило. Ты знаешь, запоминается. Я уже стояла так у доски. Запомнила сразу. Потом мы пишем самостоятельную работу, а проверяем ее в парах, меняясь вариантами.
- Как я изучала тему?
- Разобрала примеры (беру из учебника).
- Выделила закономерность.
- Составила правило.
- Сверила с учебником.
- Выучила правило. При сложении чисел с одинаковыми знаками ставлю знак большего модуля и модули складываю. При сложении чисел с разными знаками в ответе ставлю знак большего модуля и из большего модуля вычитаю меньший.
- Проверяю на примерах, как поняла правило. Беру их из учебника. Прошу маму, чтобы проверила.
- Вычитание чисел проходила по такой же схеме.
А как ты изучала эту тему? Поделись своими впечатлениями. (Мельникова Даша)
Письмо 6
ПРИВЕТ АНДРЕЙ! Как у тебя дела. У меня нормально, в том смысле, что по теме “Сложение и вычитание чисел с разными знаками” я за самостоятельную работу получил оценку пять. Мне помогло то, что я выучил правило и запомнил, как все надо делать. Сейчас я и тебя научу. При складывании двух чисел с разными знаками, поставь знак большего модуля и вычти из большего модуля меньший. При складывании чисел с одинаковыми знаками ставь их общий знак, а модули сложи. При вычитании двух отрицательных чисел вычти из модуля модуль. А в ответе запиши без минуса. Если при вычитании положительных чисел из меньшего числа вычитается большее, то в ответе обязательно получишь минус. Например: 11 – 32 = - 21. Обычно я помню правило, которое связано с “прибылью” и “долгом”. Оно помогает правильно решать. Прибыль – это плюс. Убыток – это минус. При решении смотрю, что больше убыток или прибыль, отсюда и знак в ответе. (Ладыгин Ефим).
Как видно из предложенных для просмотра писем, нет одинаковых по форме изложения. Каждый подметил какую-то изюминку в изучаемой теме. Это и последовательное изложение темы, и графическое представление, и “открытые” самостоятельно правила, и способы запоминания правил и т.д.
- Предмет: Геометрия.
- Класс: 7.
- Тема: Точка. Прямая. Луч.
После изучения темы ученикам было предложено написать сочинение по теме.
Наиболее интересно представила тему ученица 7 “А” класса Саша Кузьмина:
“Лучик и точка”
1. У матери-точки
Был лучик-сыночек.
И говорила мама:
- Будь сильным и упрямым!
Сквозь кручи и сквозь тучи,
Пройди сыночек-лучик.
До бесконечности расти
И не сворачивай с пути,
Иди все время прямо !-
Учила точка-мама.
2. Скакала точка по лучу:
“Я тебя укорочу!
Решительно и резко,
Кромсая на отрезки.”
Как ни старалась точка,
Но луч не стал короче.
“Прямая и луч”
Расхвасталась прямая:
“Я самая большая!
Ни с кем я не сравнима,
Ничем не измерима,
Ведь у меня, как у кольца,
Начала нет и нет конца”.
А рядышком другая,
Там хвасталась прямая.
Они столкнулись невзначай
И превратились в два луча.
Далее приведем фрагмент текста сочинения на тему “Параллелограмм из треугольников”.
- Предмет: Геометрия.
- Класс: 8.
- Тема: Параллелограмм.
Параллелограмм относится к четырехугольникам. Составить параллелограмм можно из треугольников. Весь вопрос в том, сколько этих треугольников потребуется. Проведем небольшое исследование. Проведем диагональ параллелограмма. Рассмотрим, сколько треугольников получилось в результате выполнения этой операции. Треугольников получилось два. Рассмотрим, каким требованиям должен подчиняться треугольник, чтобы из него можно было получить параллелограмм. Во-первых, треугольников должно быть два. Другие случаи рассмотрим позже. Составить параллелограмм из треугольников – это значит приложить треугольники друг к другу так, чтобы:
- они имели общую сторону;
- находились в разных полуплоскостях относительно прямой, ее содержащей;
- образовывали параллелограмм.
Так как мы уже определили, что треугольников должно быть два, то выясним, какими они могут быть. Для этого вспомним, какие виды треугольников мы знаем?
Схема помогает увидеть, что для ответа на поставленный вопрос нужно рассмотреть семь случаев.
1. Возьмем два равных разносторонних треугольника. По видам углов эти треугольники будут соответственно остроугольными, прямоугольными, тупоугольными. В качестве диагонали берем поочередно разные стороны. Получаем по три разных параллелограмма на каждый случай. Среди них будет один прямоугольник.(исследования сопровождаются чертежами).
2. Возьмем два равных равнобедренных треугольника. По видам углов это будут остроугольные, тупоугольные, прямоугольные. Параллелограммов получим по три на каждый случай. Среди каждой тройки для остроугольных и тупоугольных треугольников, получаем по два равных параллелограмма. Для случая прямоугольных треугольников получим тройку параллелограммов, среди которых будет два одинаковых, а один из полученных параллелограммов – квадрат. Квадрат получается, если приложить треугольники гипотенузами. Квадрат – это ромб, у которого углы по 90°. (Ромб – это параллелограмм с равными сторонами)
3. Возьмем два равносторонних треугольника. Получаем параллелограмм. Прикладывая треугольники разными сторонами, получаем равные параллелограммы. У полученных параллелограммов равные стороны. Значит, мы получили ромб.
Вывод 1: Параллелограмм можно составить из двух равных треугольников.
Следующий этап работы заключается в исследовании, какими будут периметры и площади полученных параллелограммов. Исследования тоже описываются, приводятся расчеты. Не будем заострять на этом внимание.
После проделанной работы сделаем выводы:
Вывод 2: Площади параллелограммов, полученных в случае первом – равны. Площади параллелограммов, полученных во втором случае так же равны. Площади равны, так как равны треугольники, из которых они составлены. (Свойство площадей). Площадь параллелограмма можно найти, применив формулу:S=a • h (а – основание, h – высота.)
Вывод 3: Наибольший периметр имеет тот параллелограмм, у которого диагональю является меньшая из сторон треугольника. Соответственно, меньший периметр будет иметь параллелограмм, у которого диагональю будет являться большая сторона.
При написании таких сочинений ученик
- Выполняет построение с помощью различного набора инструментов.
- Проводит измерения.
- Вырезает фигуры, составляет новые, производит перегибание модели.
- Производит анализ полученной ситуации.
- Производит сравнение объектов.
- Устанавливает аналогии с другими фигурами.
- Формулирует гипотезы о наличии свойств фигуры.
- Подтверждает выдвинутую гипотезу или опровергает ее.
Сочинения можно писать, используя одну тему для всего класса. “Опиши чертеж”.
Для работы с такими сочинениями ученику можно разрешить использовать цветные карандаши для дополнительных построений, а также вводить свои обозначения.
Приводим фрагмент сочинения по чертежу, выполненный в классе.
Призма
На чертежах представлены призмы. Призма (от греческого prisma, буквально – “отпиленный кусок”) - многогранник, две грани которого равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани параллелограммы. В данном случае предложены для рассмотрения треугольная призма (1 и 5), боковые ребра которой перпендикулярны основаниям. Вторая и шестая шестиугольные призмы (в основаниях лежит шестиугольник). Четвертая и третья – это четырехугольные призмы. Основаниями призмы могут быть разные многоугольники. В зависимости от основания и название будет меняться: четырехугольная призма, пятиугольная призма и т.д. Возможно это прямые призмы. Какие еще бывают призмы? Наклонные призмы. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма будет называться правильной. На чертежах нет пометок о равенстве сторон оснований, следовательно, мы не можем сказать, что на чертежах правильные призмы. Правильная n-угольная призма совместится сама с собой при повороте около своей оси. Ось – это прямая, проходящая через центры оснований. В природе часто можно встретить кристаллы, имеющие форму правильных призм. Раньше мы изучали параллелепипед. Параллелепипед – это призма с параллелограммами в основаниях. Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые пересекаются в одной точке. Эта точка является центром симметрии параллелепипеда. Если основаниями прямого параллелепипеда являются прямоугольники, то он называется прямоугольным. На чертежах нет пометок об углах фигур, лежащих в основаниях, поэтому мы не можем утверждать, что среди призм есть прямоугольная призма. Прямоугольные параллелепипеды в повседневной жизни встречаются часто: комнаты, здания, коробки и т.д. Существует связь между тетраэдрами и параллелепипедами: если через каждые два скрещивающихся ребра тетраэдра провести пару параллельных плоскостей, то получившиеся 6 плоскостей будут ограничивать описанный около тетраэдра параллелепипед.
Возникает вопрос, как оценивать такие работы.
Учитель оценивает работу в зависимости от конкретных условий и от того, какую воспитательную цель он преследовал, чтобы стимулировать развитие ученика. Но на что нужно обратить внимание:
1) аккуратность,
2) полное изложение темы(не переписанной из учебника),
3) аккуратное выполнение чертежей, с использованием цвета,
4) выполнена на отдельном листе,
5) выполнение работы в срок.
Хорошо организованная работа по написанию сочинений вызывает интерес к предмету, повышает степень самостоятельности при изучении предмета независимо от способностей и задатков учеников.