Элементы аналитической геометрии в пространстве

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Отработка отдельных компонентов метода координат и получение алгоритма в целом;
  • Формирование умений выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей;
  • Развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умения вести культурную дискуссию.

Ход урока

(Слайд 1)

Вы уже хорошо знакомы с векторами и их свойствами, с векторным методом при решении задач (особенно при доказательстве различных неравенств).

Сегодня мы продолжаем работать по теме “Метод координат” в пространстве, который является одним из универсальных приемов решения геометрических задач.

Цель нашей работы: научиться применять отдельные компоненты и метод координат в целом для решения задач. Здесь большое значение имеет опыт: чем с большим числом приемов решений и доказательств вы ознакомились – тем “мощнее” ваш арсенал.

План урока в высказываниях проецируется на экран.

(Слайд 2)

I. “Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра” (Сенека).

II. Практическое приложение векторного метода.

“Проще, легче, веселее!” (Станиславский).

III. Методы математики – методы научного мышления.

- “Подвергай все сомнению” (Сократ).

- Высь, ширь, глубь,
Лишь три координаты.
Мимо них где путь?
Засов закрыт…

(В. Брюсов).

IV. Твори, выдумывай, пробуй! (Домашнее задание).

Этапы нашей работы – повторение, проверка домашней работы и применение метода координат для решения задач.

I. Повторение.

(Слайд 3)

Проверка владения понятийным аппаратом, основными действиями с векторами.

Наш урок мы откроем словами великого римского философа, поэта, государственного деятеля Сенека: “Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра”. Это значит, что сейчас вы проверите своё владение понятийным аппаратом и основными действиями с векторами.

1. Устные упражнения (организуют, проверяют то, что в оперативной памяти).

1) Дано: A(2;-3;1), B(4;-5;0), C(5;0;-4), D(7;-2;-3). Равны ли векторы и ? (Слайд 4)

2) Как найти координаты вектора, зная координаты его конца и начала? (Слайд 4)

3) Сформулируйте определение равных векторов.

4) Коллинеарные ли векторы и , если A (1;-3;4), B(5;1;-2), C(2;0;1), D(4;-2;2)? (Слайд 4)

5) Сформулируйте определение коллинеарных векторов.

6) Ребро куба ABCDA1 B1C 1D1 рано 1. Найдите угол между векторами:

а) и ; (Слайд 5)
б) и ; (Слайд 6)
в) и ; (Слайд 7)
г) и . (Слайд 8)

7) Сформулируйте определение угла между векторами.

8) Как вычислить координаты середины отрезка, зная координаты его концов.

9) Результатом каких действий с векторами будет вектор? Может ли при действии с векторами получится число? ( ·   – число (скаляр). Скаляр – лат. Scale – лестница, шкала).

10) Кто ввёл понятие скалярное произведение в геометрию? (У. Гамильтон , английский математик, в 1845 году)

2. Заполнение пропусков в таблице с теоретическими сведениями.

На каждой парте лежат задания, работа выполняется в парах.

В следующем задании вы должны заполнить пропуски в таблице с теоретическими сведениями. (Слайд 9)

I. и   – коллинеарные, значит =

II. если и – неколлинеарные, то = ...

III. если , и – некомпланарные, то = ...

IV. · =

V.

если , то ...;
если · > 0, то ...;
если угол (, ) – тупой, то ...;
 = ...

Осуществляется взаимопроверка по готовым ответам. (Слайд 10)

II. Практическое приложение векторного метода.

(Слайд 11)

“Проще, легче, веселее!” (Станиславский).

Перед вами на столе ваше домашнее задание к сегодняшнему уроку: каждая группа решала и оформляла решение своей задачи. Задачи были разные: есть легкие, а есть посложнее, есть из планиметрии, и есть, конечно, из стереометрии, но общее у них было применение векторов к их решению. Очень хочется услышать доказательства двух теорем 10 класса: теоремы о трёх перпендикулярах и признака перпендикулярности прямой и плоскости. (Слайд 12) И если теорема о трёх перпендикулярах имеет несложное доказательство (п.20 стр.42), то на доказательство признака (п.17 стр.36) было потрачено очень много времени и сил. А с помощью векторов эти доказательства выглядят короткими и красивыми, что особенно ценится в математике.

“Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если данная прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Дано:

Рисунок 1

Доказать: с

Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости воспользуемся определением прямой, перпендикулярной плоскости: если удастся доказать, что с m , где прямая m – это любая прямая, которая лежит в плоскости , это будет означать то же самое, что с .

Рисунок 2

Рассмотрим векторы , , , , лежащие соответственно на прямых a, b, c, m.

Рисунок 3

Из условия  с a,   с b следует, что справедливы равенства · = 0, · = 0 Надо доказать, что · .

Поскольку векторы и не коллинеарные и вектор лежит в плоскости , существуют такие числа p и q , что =p +q

Теорема доказана.

Теорема о трех перпендикулярах:

1) Если прямая, лежащая в плоскости , перпендикулярна проекции наклонной на плоскость , то она перпендикулярна и самой наклонной.

2) Если прямая, лежащая в плоскости , перпендикулярна наклонной к плоскости , то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Рассмотрим плоскость ; AE – наклонная к плоскости , ME – проекция АМ на ; прямая а принадлежит плоскости .

Рисунок 4

1) (a ME) —> (a AM);

2) (a AM) —> (a ME).

Перпендикулярность прямых связана с равенством нулю скалярного произведения векторов, которые лежат на интересующих нас прямых.

Рассмотрим векторы , , , , которые лежат соответственно на прямых AM, AE, ME, a.

По условию первой из рассматриваемых теорем ·  = 0, · = 0 (прямая AE перпендикулярна любой прямой в плоскости ).

Требуется доказать, что · = 0. Для этого можно выразить через векторы и , произведение которых на вектор нам известно:

= + ;

· = · ( + ) = · + · = 0.

Доказательство первой из рассматриваемых теорем завершено.

По условию второй из рассматриваемых теорем · = 0, · = 0.

Требуется доказать, что · = 0. Для этого можно выразить через векторы и , произведение которых на вектор нам известно:

= + ,

· = · ( + ) = · + · = 0

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах завершено.”

На доске вывешены решения всех задач домашней работы. Доказательства теорем объясняются всему классу.

III. Методы математики – методы научного мышления.

(Слайд 13)

“Подвергай все сомнению” (Сократ).

Идет фронтальная работа по вопросам перевода информации на векторный и геометрический язык.

А сейчас, пожалуйста, переведите на векторный язык следующие геометрические утверждения. (Слайд 14)

  1. Прямые AB и MK параллельны.
  2. A, B, C и D лежат в плоскости .

И сделайте все возможные выводы из равенств.

Для следующего этапа работы очень кстати будут строки Валерия Брюсова:

(Слайд 15)

Высь, ширь, глубь,
Лишь три координаты.
Мимо них где путь?
Засов закрыт…

Три координаты, система координат… Как выбирается система координат? Что позволяет сделать при решении задачи удачный выбор системы координат? Можно ли дать рекомендации по её выбору?

Нужно ли выбирать систему координат, если задача звучит так:

№ 450. Даны точки A (0; 1; 2), B(; 1; 2), C(; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD – квадрат.

№ 454. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки A(1; -1; 3), B (3; -1; 1), C(-1; 1; 3).

№ 455б. Дан куб ABCDA 1B1 C1D 1. Вычислите косинус угла между векторами: б) . (К доске вызывается ученик решать эту задачу).

№466a. В кубе ABCDA1B 1C1 D1 точка M лежит на ребре AA1, причем AM:MA 1=3:1, а точка N – середина ребра BC. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DD1. (К доске вызывается ученик решать эту задачу).

№ 467a. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1B1 C1D 1 AB= BC=0,5AA1. Найдите угол между прямыми: а) BC и CD1. (Эту задачу решает весь класс двумя способами).

Платон (Слайд 16) сказал: Геометрия приближает разум к истине. Давайте выделим этапы решения геометрических задач методом координат. (Слайд 17)

  1. Выбираем в пространстве систему координат из соображения удобства выражения координат и наглядности изображения.
  2. Находим координаты необходимых для нас точек.
  3. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
  4. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

IV. Твори, выдумывай, пробуй!

(Слайд 18)

Сущность геометрии в её методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями.

А. Д. Александров.

Представьте, что вы случайно попали на стройку. Предложите практически удобный способ измерения диагонали кирпича. Необходимо обойтись одним измерением, без всяких вычислений (есть только линейка). (Сслайд 19)

V. Рефлексивно – оценочный этап.

Отметки за теорию будут известны на следующем уроке, отметки отвечающим около доски выставляются в журнал.

Какой момент урока был наиболее интересен? Где пришлось более всего концентрироваться, вдумываться?

И в конце урока хотелось бы дать несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты:

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, координатный метод может помочь, если в задаче требуется определить геометрическое место точек (т.е. спрашивается, какую фигуру образуют точки, удовлетворяющие некоторому условию);

В-третьих, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, или вы не можете составить уравнения, попробуйте применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

Спасибо за урок. Урок окончен.

Литература:

  1. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.
  2. Газета “Математика” 9/2003
  3. Газета “Математика” 21/2002