Урок проводится в 11-м классе при подготовке к итоговой аттестации.
Цели урока
а) образовательные:
- закрепить решение простейших показательных уравнений;
- показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
- обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
в) воспитательные:
- организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
- стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
- учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.
Время: (2 урока).
Ход урока
I .Организационный момент. (3 мин)
Учитель формулирует тему и цели урока. Ученики всего класса записывают число и тему урока в тетрадях. Учитель проверяет состав групп, на которые класс был разбит на предыдущем уроке.
II.Устный счет. (5-7минут)
1.Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:
А) у=3; Б) у=
х.
; В) у=х
; Г) у=(
)
; Ответ: А); Г).
2.Какие из заданных функций являются возрастающими, и какие, убывающими?
А) у=6; Б) у=(0,1)
; В) у=(
); Г) у=
.
Ответ: А); В); Г).
3. Решите уравнения.
А) 3=27; Б) 4
=64; В) 5
=25; Г) 10
=10000. Ответ: А) 3; Б) 3; В) 2; Г) 4.
4. Решите уравнения. А) 5*2
=0,1
; Б) 0,3
*3
=
; В)(
)
* 3
=
;
Г) 6*(
)
=
.
Ответ: А)2; Б)
; В)
-
; Г)-2.
5. Решите неравенства:
А) 3>9; Б) 3
; В)
; Г) 3
<-27.
Ответ: А) (2; +;
Б) (-
-1]; В)[-2; +
); Г) нет решений.
III.Актуализация знаний (15 мин). Учитель обращает внимание учащихся на то, что показательные уравнения входят в задания ЕГЭ. Представители каждой группы с помощью презентации домашнего задания показывают теоретические и практические знания решения простейших показательных уравнений.
Задание 1 группы:
Определение показательного уравнения. Показательное уравнение-это уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени.
Основные методы решения показательных уравнений.
1. Простейшие показательные уравнения вида а=b (a>0, a
)При b
0 уравнение а
=b не имеет решений. При b>0
данное уравнение решается логарифмированием
обеих частей по основанию a; log
а
=
log
b; х= log
b. Ответ: х= log
b.
Пример 1. Решите уравнение: 4= - 4
Данное уравнение решений не имеет, т.к. -4<0, а показательная функция принимает только положительные значения.
Пример 2. 8;
log
8
= log
3; х log
8=
log
3; х= log
3; Ответ: х= log
3.
Задание 2 группы: 1.Решение показательных
уравнений методом уравнивания показателей, т.е.
преобразование данного уравнения к виду а, а затем к виду
f(x)=g(x). Пример 1. Решите уравнение
Решение. Приведем все
степени к одному основанию 0,2. Получим уравнение
(0,2)
; (0,2)
; х=2х-3; х=3; Ответ:
х=3.
2.Решение показательных уравнений методом
вынесения общего множителя за скобки. Пример 1.
Решите уравнение 7; Решение.
7
; 7
;
77=539; 7
=539:77; 7
=7; х=1; Ответ: х=1
Задание 3группы. Решение показательных уравнений способом подстановки. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.
Пример 1. Решите уравнение 9; Решение. (3
;
Пусть 3
, t>0;
Тогда t
; t
; t
; 3
; х=log
;
или 3
; х=0; Ответ:
х=log
; х=0
IV. Изучение нового материала.(20-25 минут)
Учитель демонстрирует учащимся другие методы решения показательных уравнений.
1.Метод почленного деления. Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.
Пример 1.Решите уравнение 3
Решение:3 (:
)
3; Пусть (
, где y >0; Тогда 3y
D=49-24=25; y; y=2; y=
;
Далее имеем: ;
х=log
;
; x=log
=log
.
Ответ: х=log; х=
-log
2.Способ группировки. Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней.
Пример 1. Решить уравнение. 3
Решение. Сгруппируем слагаемые следующим
образом:
4,5
31,5 (:9
; 31,5=21
;
; (
; 2х=-1;
х=-0,5; Ответ: х=-0,5
3. Использование графического метода решения уравнений.
Решить уравнение. 3;
Построим
таблицы значений.
Y=
х. | y |
0 | 1 |
1 | 9 |
-1 | 1/3 |
Y=10-x
х. | y |
0 | 10 |
10 | 0 |
Построим графики и найдем абсциссу точки пересечения. Она и будет корнем уравнения. Строить графики можно с помощью программы “Живая математика”. Ответ: х=1
4.Решение показательных уравнений методом подбора.
При решении показательных уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а затем доказывают, что этот корень единственный, с использованием свойства монотонности показательной функции.
Решить уравнение: 6
Решение: подбором находим, что х=2-корень
исходного уравнения. Покажем, что других корней
нет. Разделив исходное уравнение на 10, получаем равносильное
уравнение:
;
;
А) Покажем, что среди чисел х.<2 корней нет. Если
х<2, то (>
>
при х.<2 корней
нет.
Б) Покажем, что среди чисел х.>2 корней исходного уравнения также нет. Если х >2, то
(<
<
при
х.>2 исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: х=2.
V. Закрепление изученного материала. (25 минут). Каждой группе учащихся в конвертах даются задания. Консультант раздает каждому ученику по одной задаче и через 10 минут решения собираются и сдаются учителю. Затем продолжается обсуждение и решение в группе остальных уравнений.
Задания группам:
Решить уравнения.
- Решить графическим способом
(решают самостоятельно).
Решение: 2
Строим в координатной плоскости графики функций. Находим абсциссу точки пересечения. Строить графики можно с помощью программы “Живая математика”. Ответ: х=1
2.Решить уравнение: (решают в группах).
9
Решение: поскольку 12=3*4, 16=4, 9=3
, то исходное уравнение можно записать в
виде
9Делим обе части исходного уравнения на 4
Получаем:9; 9-7
; Пусть
>0;
Тогда 9-7y-16y=0; 16y
+7y-9=0; y
=
; y
<0 – посторонний
корень.
Отсюда y=
;
; (
; х=2;
Ответ: х=2.
3.Решить уравнение(3
Решение: Произведение двух выражений равно
нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю,
а второй при этом не теряет смысл.
1)3; 3
; х.
; х=2 и х=-2.
При х=2 подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем уравнения.
2) при х=1. Это
число является корнем данного уравнения, так как
выражение
3 имеет смысл
при любом х. Ответ: х=-2 и х=1
4. Решить уравнение: (х+3) =(х+3)
Решение: выражение в левой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Для решения показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая:
Когда основание степени равно 1, 0 и когда оно отлично от указанных значений.
1).Если х+3=1, т.е. х=-2, то получаем 1 -верное равенство; значит,
х=-2 –корень уравнения.
2). Если х+3=0, т.е. х=-3, то в левой части уравнения
получаем 0, а в
правой части 0
-
выражение, не имеющее смысла. Поэтому х=-3 не
является корнем уравнения.
3). Наконец, приравняв показатели, имеем х.
Откуда х=-1, х=3. При этих значениях х. получим соответственно -верные равенства, т.е. х=-1 и х=3 –корни уравнения.
Ответ: -2; -1; 3.
VI. Проверка и обсуждение заданий: (10-12 минут). Готовые решения одного из трех оставшихся заданий записываются на доске каждой группой. Выдвинутый группой ученик объясняет решение, основываясь на теории, выдвигает алгоритм действий. Объяснения длятся около 4 минут. Другие группы могут задать вопросы по решению уравнения.
V II. Итог урока: (3 минуты)
1)Учитель задает вопросы классу: Какими методами можно решать показательные уравнения?
2)Оценка знаний учащихся: Учитель оценивает деятельность каждой группы. Для выставления отметок за урок раздаются оценочные листы. Предпоследняя колонка заполняется учеником (см. условные обозначения). Консультант заполняет вторую и третью колонки. Учитель ставит итоговые отметки, оценив деятельность всей группы.
Ф.И. | Устный счет (ставит консультант) | Актуализация знаний (ставит консультант) | Работа в группе (ставит учитель) | Оценка за урок ( ставит ученик) | Оценка за урок (ставит учитель) |
Условные знаки для оценивания учеником самого себя: “+”– отлично изучил тему; “+; -” – есть проблемы, но я их решил самостоятельно; “^” – были проблемы, но я их решил с помощью группы; “-”– проблемы не решены.
V III. Домашнее задание: стр299, №163(б); №164(а); №165(а); №166(а; г); Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией А.Н. Колмогорова. 13-е издание. Москва “Просвещение”, 2003.
Список литературы
1.В.С.Крамор “ Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа”. Москва. ОНИКС. Мир и образование.2008г.416стр.
2.Новейший полный справочник школьника 5-11 классы. Математика. Авторы – составители А.М.Титаренко; А.М. Роганин. Под редакцией Т.И. Максимовой. ООО “ Издательство “Эксмо”,2008.
3.Большая энциклопедия школьника. Математика. Якушева Г.М. и другие. М,: СЛОВО, Эксмо,2006. -640с.
4.Математика. Репетитор. ЕГЭ-2009. Авторы: В.В.Кочагин; М.Н.Кочагина. М.: Эксмо,2009. 272с.
5.Балаян Э.Н. Устные упражнения по математике для 5-11 классов: учебное пособие. Ростов н/Д: Феникс,2008
6. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под редакцией А.Н. Колмогорова. 13-е издание. Москва “Просвещение”,2003.
7.Т.Н. Маслова; А.М. Суходский. Справочник школьника по математике 5-11классы. Москва. ОНИКС. Мир и образование.2008.