Находить ли ОДЗ?

В уравнениях и неравенствах вида , , , ,  пересечение областей определения функций  и  называют областью допустимых значений (ОДЗ) переменной, а также ОДЗ уравнения или неравенства соответственно.

При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос – находить ли ОДЗ, часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет». «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», - утверждают одни. «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств. В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», - утверждают другие.

Так находить ли ОДЗ?

Конечно, однозначного ответа на этот вопрос не существует. Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения. В каждом конкретном примере этот вопрос решается индивидуально.

В одних случаях нахождение ОДЗ упрощает решение уравнения или неравенства (примеры 1-5), а в ряде случаев даже является необходимым этапом решения (примеры 1, 2, 4).

В других случаях (примеры 6, 7) от предварительного нахождения ОДЗ стоит отказаться, так как оно делает решение более громоздким.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не упростит, а усложнит его и не позволит избавиться от радикалов. Нужно искать другой способ решения.

Найдем ОДЗ уравнения:

Таким образом, ОДЗ содержит только одно значение , а, следовательно, корнем исходного уравнения может служить только число 4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  – единственный корень уравнения.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Наличие в уравнении радикалов различных степеней – второй, третьей и шестой – делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдем ОДЗ уравнения:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что  является корнем исходного уравнения.

Ответ: 2.

Пример 3. Решить неравенство .

Решение.

Конечно, можно решать это неравенство, рассматривая случаи: , , но нахождение ОДЗ сразу же упрощает это решение.

ОДЗ:

Подставляя это единственное значение  в исходное неравенство, получим ложное числовое неравенство . Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: нет решения.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Запишем уравнение в виде .

Уравнение вида  равносильно смешанной системе  т.е.

Конечно, здесь нахождение ОДЗ излишне.

В нашем случае получим равносильную систему  т.е.

Уравнение  равносильно совокупности  Уравнение  рациональных корней не имеет, но оно может иметь иррациональные корни, нахождение которых вызовет у учащихся затруднения. Поэтому поищем другой способ решения.

Вернемся к первоначальному уравнению, запишем его в виде .

Найдем ОДЗ: .

При  правая часть уравнения , а левая часть . Следовательно, исходное уравнение в области допустимых значений переменной х равносильно системе уравнений  решением которой является только одно значение .

Таким образом, в данном примере именно нахождение ОДЗ позволило решить исходное уравнение.

Ответ: 0.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Так как , а , то при решении исходного уравнения нужно будет избавляться от модулей (раскрывать их).

Поэтому, сначала имеет смысл найти ОДЗ уравнения:

Итак, ОДЗ:

Упростим исходное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифмов.

,

,

.

Так как в области допустимых значений переменной х  и , то , а , тогда получим равносильное уравнение:

,

.

Учитывая, что в ОДЗ , перейдем к равносильному уравнению  и решим его, разделив обе части на 3.

Ответ: − 4,75.

Замечание.

Если не находить ОДЗ, то при решении уравнения  необходимо было бы рассмотреть четыре случая: , , , . На каждом из этих промежутков знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, нужно было бы раскрыть модули и решить полученное уравнение. Кроме того еще и выполнить проверку. Мы видим, что нахождение ОДЗ исходного уравнения значительно упрощает его решение.

При решении следующих примеров предварительно ОДЗ находить не будем, так как это сделает решение более громоздким.

Пример 6. Решить неравенство .

Решение.

Исходное неравенство запишем в виде . Учитывая, что функция  непрерывна и убывающая при , перейдем к равносильной системе неравенств:

Решением последнего неравенства, а, значит, и исходного является множество .

Ответ: .

Замечание. Если бы мы находили ОДЗ, то нужно было бы решать систему неравенств  Все эти неравенства вошли в рассматриваемую при решении систему неравенств, причем, в процессе преобразования этой системы, все неравенства, из которых и состоит ОДЗ, оказались лишними. Таким образом, в данном примере нахождение ОДЗ только сделало бы решение более громоздким.

Пример 7. Решить неравенство .

Решение.

Так как переменная х входит и в основание  логарифма, то при решении этого неравенства необходимо будет рассмотреть два случая:  и . Поэтому отдельно находить ОДЗ нецелесообразно.

Итак, представим исходное неравенство в виде  и оно будет равносильно совокупности двух систем:

Ответ: .