Пояснительная записка
О преемственности при изучении темы «Функции и графики»
Реализация преемственности в обучении заключается в установлении необходимых связей и правильных соотношений между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения.
Прочный фундамент для изучения математики закладывается в курсе алгебры и геометрии основной школы. От того, какие знания получат учащиеся в основной школе, какие умения и навыки у них будут вырабатываться, зависит успех изучения курса математики в старших классах, а следовательно, и сознательное применение полученных знаний в решении конкретных задач. Этот вопрос является сложной педагогической задачей, его решение, как показывает опыт, необходимо рассматривать и через совершенствование всего процесса обучения, и через стабилизацию содержания курса математики, и через ориентацию преподавания по линии прикладной направленности курса математики, и, в частности, через совершенствование преемственных связей поэтапного изучения математики.
Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры основной школы. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Многие из физических, химических, биологических процессов, без которых немыслима жизнь, являются функциями времени. Экономические процессы также представляют собой функциональные зависимости. Функции играют важную роль в программировании и криптографии, в проектировании различных механизмов, в страховании, в расчётах на прочность и т.д.
В курсе алгебры и начале математического анализа в 10-11 классах предусматривается дальнейшее изучение элементарных функций и их свойств. Формирование функциональных представлений является основным стержнем программы и учебных пособий для этих классов.
Введение понятий непрерывности, предела, производной и интеграла в старших классах даёт возможность более глубоко изучать свойства линейной, квадратной, степенной, тригонометрических, показательной и логарифмической функций, показать их практическое применение, а так же позволяет более тесно связать курс геометрии с началами анализа, математику с физикой, техникой, химией.
От тога как усвоены учащимися умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.
При выделении обязательных задач по теме «Функции», так же как и по любой другой теме курса математики основной школы, следует ориентироваться на то, что обучение в 7 – 9 классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника. На базе полученной им математической подготовки строиться его дальнейшее обучение. В первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования различных умений на следующих ступенях обучения.
Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.
Анализ теоретического и задачного материала по теме «Функция» позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно при изучении всех видов конкретных функций, - умение работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.
К умениям работать с формулами относятся следующие.
Для функций, изучаемых в основной школе, вида y = kx + b, y = 
, y = ax2 + bx + c (при заданных a, b, c), y = x3, y = 
учащиеся должны уметь:
- указать область определения функции;
- вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
- вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
- определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции.
Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, вычисления пределов функций, интегралов. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции, требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнения прямой, окружности, плоскости.
Важнейшее значение функциональной подготовки учащихся основной школы имеет формирование графических умений. График - это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. В средней школе функция неотделима от её графического представления. График функции выступает основным опорным образом при формировании ряда понятий – возрастания и убывания функции, чёткости и нечёткости, обратимости функции, понятие экстремума. Без чётких представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл.
Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функции. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций: y = kx + b, y = 
, y = ax2 + bx + c ( при конкретных значениях параметров), y = x3.
Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функции. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:
- по заданному значению одной из переменных x или y определить значение другой;
- определить промежутки возрастания и убывания функций;
- определять промежутки знакопостоянства;
- для квадратичной функции указывать значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значения, а так же определять это значение.
Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: y = x, y = - x, y = x2, и уметь без специального построения по точкам показывать их расположение в координатной плоскости.
Рассмотрим примеры заданий по чтению графиков функций содержащихся в материалах ЕГЭ.
Задание 1.
На рисунке 1 изображен график функции, определенной на отрезке [— 4;8]. Укажите, сколько на этом отрезке имеется промежутков, на которых функция убывает.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
Решение.
Функция у =f (x) возрастает на промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Соответственно, nна этом промежутке при движении слева направо вдоль оси абсцисс часть графика «идет вверх».
Аналогично определяется убывание функции на промежутке: при увеличении аргумента значения функции уменьшаются (график «идет вниз»). На приведенном рисунке имеется два промежутка убывания функции: [—1; 2] и [4; 6].
Ответ: 2.
(Рисунок1)
Задание 2.
Функция у =f(х) определена на промежутке (—5; 8). На рис. 2 изображен график
ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые наклонены под углом в 135° к положительному направлению оси абссцис.
(Рисунок 2)
Задание 3
На рисунке изображены графики функций Y=f(x) иY=g(x) , заданных на промежутке (-4;6) .Найдите все значения х, для которых выполняется неравенствоf(x) < g(x).
(Рисунок 3)
Пример 4 (для 9 класса).
Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вернулся на турбазу. На рисунке 4 изображен график движения туриста (по горизонтальной оси откладывается время в часах; по вертикальной — расстояние от турбазы в километрах). Используя график, ответьте на вопросы:
1) Сколько времени турист потратил на привалы?
2) С какой скоростью (в км/ч) он шел от первого до второго привала?
3) Какова средняя скорость туриста за все время движения (время на привалы не учитывать)?
Решение.
1) На первый привал турист потратил 1 час, на второй — 2 часа, то есть — всего 3 часа.
2) За 2 часа, что турист находился в пути от первого привала до второго (6 — 4 = 2), он прошел 10 км (16 — 6 == 10). Значит, его скорость на этом участке была равна 10:2=5 (км/ч).
3) За время похода турист прошел 32 км (16 км до второго привала и столько же обратно), потратив на это 13 часов. Так как 3 часа он потратил на привалы, то в пути турист находился 10 часов.
Поэтому его средняя скорость за всё время движения равна 32 : 10 = 3,2 (км/ч).
Ответ: 1) 3 ч.; 2) 5 км/ч; 3) 3,2 км/ч.
