Программа элективного курса по математике для 10-го класса "Разнообразные способы решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств"

Белянина Светлана Игоревна

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.

На уроках в общеобразовательных десятых классах учащиеся только знакомятся с основными простейшими методами решения уравнений и неравенств. Для решения сложных задач, накопления нестандартных методов и приемов решения не хватает времени. А того объема упражнений, которые обычно предлагаются в учебниках по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, и вовсе недостаточно для формирования умения решать уравнения и неравенства (а именно на уравнениях неравенствах построена программа по алгебре 10 класса). С этой точки зрения тема элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в школьном курсе разнообразных способов решения уравнений и неравенств, а также компенсирует достаточно ограниченные возможности базового курса.

Предметом настоящего элективного курса является практика решения более сложных уравнений и неравенств. На спецкурсе добавляются новые, интересные способы и приемы решения (использование свойств функции, метод оценок, метод ОДЗ и др., см. таблицу приложение 1) Изучение этих новых методов на занятиях должны помочь ученику впоследствии увидеть «идеи» при поиске способа решения конкурсных задач.

Также на занятиях у учащихся есть возможность получить навыки самостоятельной работы в плане отбора, поиска и решения нестандартных заданий. Таким образом, делая выборку нестандартных уравнений и неравенств, ребята получают навыки работы с математической литературой.

Главные цели представленного элективного курса - подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, расширение и углубление знаний учащихся по предмету, повышение уровня математической подготовки выпускников средней школы.

Основные учебные цели представленного элективного курса:

Изучить различные методы и приемы решения данного класса уравнений и неравенств.
Рассмотреть разнообразные способы решения одного и того же уравнения (неравенства).
Применять уже обозначенные методы и приемы на практике.
Выработать навыки решения более сложных заданий, наиболее встречаемых в вузовской практике.
Продолжить исследовательскую работу, заключающуюся в поиске «интересных» уравнений и неравенств.

Развивающие и познавательные цели элективного курса:

дальнейшее формирование интереса к предмету;
повышение математической культуры учащихся;
дальнейшее развитие навыков самостоятельной работы
развитие творческих способностей школьников (ведь если ученик с успехом разбирает и решает трудные задачи, то с определенной уверенностью можно предположить, что у него имеются определенные математические способности).

Ожидаемый результат.

К концу работы по программе элективного курса учащиеся должны четко знать основные способы решения уравнений и неравенств, уметь быстро определить метод решения данного уравнения и неравенства; а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант. Также итогом совместной работы учителя и учеников должна явиться «копилка» интересных уравнений и неравенств. И результатом этой работы может служить самостоятельная подготовка отдельных сообщений по предложенным темам на заключительном семинаре.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

Разнообразные способы решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств.
I полугодие 10 класса, 17 часов.

Раздел	Темы, содержание	Количество часов
1	Решение алгебраических уравнений и неравенств с помощью замены неизвестных. Решение уравнений высших степеней.	1
2	Решение иррациональных уравнений.	5
2.1	Метод ОДЗ. Метод оценки. Использование свойств функции.	1
2.2	Возведение в степень обеих частей иррационального уравнения. Переход к решению систем уравнений.	1
2.3	Разложение на множители при решении иррациональных уравнений. Замены.	1
2.4	Освобождение от иррациональности при решении уравнений. Деление или умножение уравнения на выражение с неизвестной.	1
2.5	Практикум №1 «Решение иррациональных уравнений»	1
3	Показательные и логарифмические уравнения.	6
3.1	Использование свойств функции. Графический способ. Решение уравнений как квадратное относительно выбранной величины.	1
3.2	Использование взаимно-обратных величин в заменах. Метод оценок.	1
3.3	Логарифмирование обеих частей уравнения. Использование прогрессий.	1
3.4	Решение однородных уравнений. Замены.	1
3.5	Потеря и приобретение корней при решении логарифмических уравнений.	1
3.6	Практикум №2 «Решение показательных и логарифмических уравнений».	1
4	Решение неравенств.	4
4.1	Решение иррациональных неравенств.	1
4.2	Замены при решении иррациональных, показательных и логарифмических неравенств.	1
4.3	Решение неравенств и их комбинаций методом интервалов.	1
4.4	Решение показательных и логарифмических неравенств, содержащих неизвестную в основании.	1
4.5	Семинар «Нестандартные уравнения и неравенства».	1

Карточки с задания к Практикумам смотри в Приложении 2.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

1. Решение алгебраических уравнений и неравенств с помощью замены переменных. Решение алгебраических уравнений и неравенств высших степеней. Возвратные уравнения (1ч). Повторение способа замены неизвестных как одного из самых основных при решении уравнений и неравенств. Краткое повторение теории по теме « Многочлены». Схема Горнера. Решение возвратных уравнений.

2. Решение иррациональных уравнений (5ч).

2.1 Метод ОДЗ. Метод оценки. Использование свойств функции (1ч).

Исследование области определения функций, входящих в иррациональное уравнение (метод ОДЗ). Исследование множества значений функций, входящих в уравнение (метод оценки). Комбинированное применение метода ОДЗ и метода оценки.

Использование свойств монотонности функции. Основные правила для реализации этого метода.

2.2 Возведение в степень обеих частей иррационального уравнения. Замены. Переход к решению систем уравнений (1ч).

Уравнения, решаемые возведением обеих частей в шестую степень. Возведение обеих частей в куб по формуле . Случаи появления посторонних корней при использовании формулы .

Переобозначение иррациональных выражений и сведение к системам алгебраических уравнений.

Замена неизвестных. Комбинированное применение метода замены и использования монотонности функции.

2.3 Разложение на множители при решении иррациональных уравнений. Замены(1ч).

Метод разложения на множители в комбинации с уже изученными способами решения. Переход к модулям при разложении на множители иррациональных выражений.

Замены, приводимые к решению однородных уравнений. Интересные замены.

2.4 Освобождение от иррациональности при решении уравнений.

Деление или умножение иррационального уравнения на выражения с неизвестной(1ч).

Уравнения, решаемые с помощью освобождения от иррациональности в знаменателях дробей. Домножение обеих частей на сопряженное для одной из частей выражение.

Примеры уравнений, где метод деления на выражение с неизвестной применяется в сочетании с методом оценок. Решение однородных иррациональных уравнений. Рассмотрение случаев перехода к равносильным и неравносильным уравнениям при отработке этих методов.

2.5 Практикум 1 «Решение иррациональных уравнений» (1ч).

Уравнения, при решении которых необходимо комплексное применение знаний по всем изученным методам решения.

3. Решение показательных и логарифмических уравнений (5ч).

3.1 Использование свойств функции. Графический способ решения.

Решение показательных и логарифмических уравнений как квадратное относительно выбранной величины(1ч).

Комбинированное применение свойств монотонности с графической интерпретацией.

Графический способ решения в сочетании с методом оценок.

Решение уравнений как квадратное относительно одной переменной, где другая является параметром.

3.2 Использование взаимно-обратных величин. Замены. Метод оценок (1ч).

Показательные уравнения, содержащие взаимно-обратные выражения.

Замены при решении таких уравнений.

Метод оценок при решении показательных уравнений.

Графическое решение более сложных показательных уравнений.

3.3 Логарифмирование обеих частей уравнения. Использование прогрессий (1ч).

Оптимальный выбор основания при решении уравнений методом логарифмирования частей уравнения.

Использование основных формул арифметической, геометрической и бесконечно убывающей геометрической прогрессии для решения показательных и логарифмических уравнений.

Метод оценок при решении логарифмических уравнений.

Решение показательных и логарифмических уравнений, содержащих неизвестную в основании.

3.4 Решение однородных уравнений. Замены(1ч).

Интересные замены вида при решении показательных уравнений.

Замены в логарифмических уравнениях, приводимые к решению однородных уравнений.

Случаи нестандартных замен в показательных уравнениях.

3.5 Потеря и приобретение корней при решении логарифмических уравнений. Переход к новым основаниям(1ч).

Рассмотрение формул , где , и

Получение и решение уравнений равносильных для исходных с применением этих формул.

Рассмотрение формулы

Потеря и приобретение корней при решении логарифмических уравнений с использованием этой формулы.

Логарифмические уравнения, решаемые с применением формулы:

Нестандартные логарифмические уравнения.

3.6 Практикум 2 «Решение показательных и логарифмических уравнений» (1ч).

Решение уравнений с использованием всех изученных методов.

4. Решение иррациональных, показательных и логарифмических неравенств (4ч).

4.1 Иррациональные неравенства (1ч).

Классическая схема решения иррациональных неравенств вида

и . Решение более сложных иррациональных неравенств, содержащих несколько корней. Решение неравенств вида

и , где - алгебраическое или дробно- рациональное неравенство.

4.2 Замены при решении логарифмических, показательных и иррациональных неравенств(1ч).

4.3 Решение иррациональных, показательных и логарифмических неравенств методом интервалов (1ч).

Решение неравенств вида с помощью составления систем или методом интервалов.

4.4 Решение показательных и логарифмических неравенств, содержащих неизвестную в основании.

4.5 Семинар « Нестандартные уравнения и неравенства».

Программа элективного курса по математике для 10-го класса "Разнообразные способы решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств"

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА.