Цели урока:
1. Повторить теоретический материал.
2. Ввести понятие дифференциального уравнения через физические задачи.
3. Рассмотреть применение производной и интеграла к решению практических задач.
4. Провести самостоятельную работу по теме: “Вычисление площади криволинейной трапеции ”.
Ход урока
1. Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Тест.
1. Закончить предложение:
“Если F - первообразная для f на [a;b], то…”
2. Укажите неверное равенство:
3. Вычислите интеграл:
2. “Смысл” площади криволинейной трапеции - неоднозначен. В зависимости от рассматриваемого явления площадь криволинейной трапеции может выражать различные физические, химические, биологические явления. Математический анализ является средством изучения функции, то тогда и средством изучения окружающих нас явлений. Наглядными примерами применения свойства непрерывности функции могут служить различные законы движения тела S=f(t), выражающие зависимость пути S, пройденного телом, от времени t. Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения S=f(t) устанавливает между ними непрерывную связь: малому приращению времени соответствует малое приращение пути. В дифференциальном исчислении, основоположниками которого были И.Ньютон и Лейбница, существует две задачи:
Задача №1
Пусть скорость заданная функцией времени, точки движущейся по оси ОХ имеет вид V=f(t).Найти закон движения х(t)=х.
Решение: Закон движения зададим формулой х =G(t) . Известно, что х` =f(t), где f(t)- непрерывная функция, тогда G`(t)=f(t) – уравнение в котором производная неизвестна (такие уравнения называются дифференциальными).
(где C
находится из дополнительного условия задачи,
например при t=0).
Задача №2
Нахождение закона движения по его ускорению:
Второй закон И. Ньютона ma=F,также можно рассматривать, как дифференциальное уравнение, если ускорение записать, как вторую производную координаты по времени:
a=x``
F=mx``. (уравнение механического движения)
3. Решение задач.
1. Найдите работу, которую необходимо затратить на растяжение пружины на 2сантиметра, если сила в 2 ньютона растягивает её на 4 сантиметра.
2. Тело массой m движется прямолинейно под действием силы F(t) .Найдите закон его движения, если m=2кг, F(t)=12t-8, и в момент времени t=3с скорость тела равна 10м/с, а координата 21м.
3. Найти работу , которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, если резервуар имеет форму цилиндра радиусом 1м и глубину 4м.
Задачи решаются учащимися у доски на оценку.
Вывод: Рассмотрев общее решение физических задач и частные задачи, можно сделать вывод, что для нахождения неизвестной функции по условию задачи составляют дифференциальное уравнение, интегрируют и находят неизвестную функцию. При составлении учитывают геометрический и физический смысл производной.
Домашняя работа: по учебнику “Алгебра и начала анализа, 11” С.М.Никольского и др. №6.90, №6.91.
4. Самостоятельная работа проводится по таблице.
