Урок математики по теме "Четырехугольники"

Цель: Обобщение знаний по теме четырехугольники. Подготовка учащихся к контрольной работе.

Оборудование: кадаскоп, карточки для проверочной работы, индивидуальные карточки для домашнего задания.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщается тема, цель и виды работ на уроке.

2. Проверочная работа

(Знание теоретического материала.) Отвечают на вопросы письменно в течении 10 минут. Вопросы записаны на карточках и выданы каждому обучающемуся.

Вариант 1

1. Верно ли, что в любом параллелограмме есть два угла, сумма которых больше 180 градусов? Ответ обосновать.
2. Можно ли определить квадрат как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями? Ответ обосновать.
3. Определить вид четырехугольника, если в нем есть две пары равных углов, но нет двух пар равных сторон.
4. Квадрат разрезали по двум осям симметрии так, что каждая из полученных частей имеет одну ось симметрии. Как проходят оси симметрии по которым разрезали квадрат?
5. Дано свойство: параллелограмм имеет центр симметрии. Определите обладает ли этим свойством любой параллелограмм, лишь некоторые параллелограммы или не один параллелограмм не обладает этим свойством. Ответ обосновать.

Вариант 2

1. Верно ли, что в любом параллелограмме есть два угла, сумма которых меньше 180 градусов? Ответ обосновать.
2. Можно ли определить квадрат как ромб с равными диагоналями? Ответ обосновать.
3. Определить вид четырехугольника, если в нем есть только два соседних прямых угла.
4. Квадрат разрезали по двум осям симметрии так, что каждая из полученных частей имеет четыре оси симметрии. Как проходят оси симметрии по которым разрезали квадрат?
5. Дано свойство: параллелограмм имеет оси симметрии. Определите обладает ли этим свойством любой параллелограмм, лишь некоторые параллелограммы или не один параллелограмм не обладает этим свойством. Ответ обосновать.

3. Решение задач устно

Устно решить задачи, условия изобразить на доске с помощь графопроектора.

	Дано: АВСD – параллелограмм. РАВСD = 88 см, АD > АВ в 3 раза. Найти: АВ, ВС, CD, AD.
	Дано: АВСD – прямоугольник. АС W ВD = О Докажите: D АОD и D АОВ равнобедренные.
	Дано: MNPK – ромб. Угол М 120 градусов, МР = 8 см. Найти: РMNPK

Письменно решить задачи, текст которых записан на доске (если класс сильный, то последнюю задачу решают самостоятельно).

а) Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Дано: АВСD – параллелограмм. АМ DМ = М, М АD ВАМ = МАD, АDМ = МDС. РАВСD = 36 см. Найти: АВ, ВС.

Решение

Угол ВАМ равен углу МАD (по условию), угол ВМА равен углу МАD (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АD и ВC и секущей АМ) Угол ВАМ равен углу ВМА, АВМ – равнобедренный, АВ = ВМ. Угол АDМ равен углу МDС (по условию), угол АDМ равен углу DМС (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей DМ), угол МDС равен углу DМС, DМС – равнобедренный, МС = DС. Так как АВСD – параллелограмм, то АВ = DС, ВМ = МС, ВС = 2АВ. Р_АВСD = 2(АВ + ВС), 36 = 2(АВ + 2АВ), 18 = 3АВ, АВ = 6 см, ВС = 12 см.

Ответ: 6 см, 12 см.

б) Один из углов равнобедренной трапеции равен 60 градусов, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если ее большее основание равно 14 см.

Дано: MNPK – трапеция, MN = PK, M = 60о MNP = PMK, MK = 14 см. Найти: РMNPK

Решение

Угол М равен 60 градусов, угол MNP равен углу PMK и равен 30 градусов по условию задачи. Угол PMK равен углу MPN как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых МК и NР и секущей MP. От сюда следует, что угол NMP равен углу MPN и равен 30 градусам. Треугольник NMP равнобедренный а значит MN = NP. Треугольник MPK: угол PMK равен 30 градусов, угол MKP равен 60 градусов (так как MN = PK). От сюда следует, что угол MPK равен 90 градусов, т.е. треугольник MPK прямоугольный. PK = 1/2MK = 4 см (катет лежащий против угла 30 градусов).

P_MNPK = MK + 3KP = 14 + 3 • 7 = 35 см.

Ответ: 35 см.

в) В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, вписан прямоугольник KMNP, как показано на рисунке. Периметр этого прямоугольника равен 30 см, а смежные стороны KM и KP пропорциональны числам 2 и 3, т.е. KM : КР = 2 : 3. Найти гипотенузу треугольника.

Дано: АВС, С = 90°, АС = ВС KMNP – вписан в АВС РKMNP = 30 см, KM : КР = 2 : 3. Найти: АВ

Решение

Так как KM : КР = 2 : 3, то КМ = 2x, КР = 3x.

Р_KMNP = 2(KM + KP), 30 = 2(2х + 3х), 15 = 5х, х = 3.

КМ = 6 см,
КР = 9 см.

Рассмотрим треугольник АМК. Угол К равен 90 градусов (KMNP – прямоугольник).

Угол А равен 45 градусов (так как АС = ВС, угол С 90 градусов в треугольнике АВС).

Отсюда следует, что угол АМК = 45° . Треугольник АКМ равнобедренный. АК = МК = 6 см. Аналогично рассматривается треугольник ВNP. РВ = PN = 6 см. АВ = АК + КР + РВ.

АВ = 6 + 9 + 6 = 21 см.

Ответ: 21 см.

а) В трапеции АВСD точка Е середина большего основания AD, ED = ВС, угол В равен 120 градусов. Найти углы АЕС и ВСЕ.

б) В прямоугольнике АВСD точка О является центром симметрии, а точки Р и К середины сторон АВ и ВС соответственно. Определите вид выпуклого четырехугольника ОРВК, докажите что РК = ОD.