Иррациональное уравнение с параметром

1. Определить при каких значениях параметра а уравнение имеет два решения?

Решение:

Система (1) имеет два решения, если уравнение 4х² – 3х + 1 – а = 0 имеет  два корня, значения которых не превышают . Для этого достаточно, да и необходимо, чтобы больший из этих корней не превышал .
1) Квадратное уравнение 4х² – 3х + 1 – а = 0 имеет два корня, если D > 0

D = 9 – 16(1 – а) = 16а – 7,

Учитывая, что D > 0 т.е. а > , имеем

Ответ: при а Є уравнение имеет два решения

2. При каких значениях параметра a уравнение  имеет единственное решение?

Решение:

Система (2) имеет единственное решение, если

• уравнение  x² – 3x + 4 – a = 0 имеет два корня, один из которых не превышает двух, а другой  больше двух;
• уравнение x² – 3x + 4 – a = 0 имеет один корень, т.е. D = 0, и этот корень не превышает двух.

Рассмотрим

1)

.
2) Проверим, при а =  будет ли иметь уравнение  x² – 3x + 4 – a = 0 один корень.
При  .
Ответ: при а Є (2;+ )  уравнение имеет единственный корень. 

3. При каких а уравнение  имеет единственное решение?

Решение:

  <=>  

Система (3) имеет единственное решение, если

• уравнение x² + (– 2a + 1)x + a² – 2 = 0 имеет два корня, один из которых не удовлетворяет условию х < а
• уравнение x² + (– 2a + 1)x + a² – 2 = 0 имеет один корень, который не превышает а

x² + (–2a + 1)x + a² – 2 = 0

Найдем D = (– 2a + 1)² – 4(a² – 2) = 4a² – 4a + 1 – 4a² + 8 = – 4a + 9

1)

.

2) D = 0,     .

Ответ: при а Є (– ; 2) уравнение имеет единственное решение.

4. При каких а уравнение  имеет два решения?

Решение:

Система (4) имеет два решения, если  уравнение х2 + 2(а – 1)х + а2 + 1 = 0 имеет два корня, значения которых удовлетворяют условию

х² + 2(а – 1)х + а² + 1 = 0

    

Ответ: при а Є уравнение имеет 2 решения.