Цели и задачи:
- развить в учащихся познавательную инициативу и стремление к саморазвитию
- пропаганда профильного математического обучения
- повышение интереса к науке математика
Часть I. (первый урок).
"Математические этюды Николая Андреева" - знакомство с мультфильмами по математике, рассказывающими о современных нерешенных задачах математики и по-новому раскрывающими известные сюжеты. (Темы этюдов: "Арифметика Магницкого", "Параболическая антенна", "Удивительные объемы многогранников", "Циклоида", "Круглый треугольник Рело", "Теорема Демейна (одним разрезом)").
Форма работы: лекция - диалог
Технические средства: компьютер, медиапроектор, экран
1. Вступление.
Сегодня в большинстве школ на старшей ступени обучения существуют профильные классы.
Ребята занимаются на профиле разными вещами, но одна из целей профильного математического обучения - повышение интереса к математике и неформальное ее изучение через знакомство с интересной, нестандартной и занимательной информацией.
Математические этюды Николая Андреева - это как раз и есть интересное, нестандартное и занимательное в математике.
Автор этих мультфильмов - Николай Николаевич Андреев - секретарь Комиссии по школьному математическому образованию Математического института Академии наук. Он читает огромное количество лекций о своих мультфильмах для различных аудиторий по всей России и делает это в первую очередь для того, чтобы поднять интерес к науке и, в частности, к математике. Чтобы показать, как много есть современных проблем, которые еще не решены или решены совсем недавно нашими современниками, нередко очень молодыми людьми. И каждый из сегодняшних старшеклассников вполне может стать таким человеком.
Все мультфильмы бессловесные, поэтому к ним прилагается комментарий (см. Приложение 1), озвучиваемый учителем во время воспроизведения мультфильма. В данном случае рассматриваются 7 мультфильмов, а всего их более 17. Электронный адрес, на котором можно найти все математические этюды Андреева www.etudes.ru
2. Демонстрация нескольких наиболее интересных для данной аудитории мультфильмов с кратким комментарием учителя, сопровождающим воспроизведение мультфильма.
1) Magnitski (1мин. 55сек.)
Тема данного занятия - "Современные задачи в математике", но начать хочется с мультфильма, сделанного к 250-летию МГУ им. М.В.Ломоносова и рассказывающего о великой роли математики и того значения, которое она имела для многих великих людей, о роли Петра I в деле издания и написания учебников по математике.
(Далее показ мультфильма, который называется "Magnitski" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
А теперь, проникшись духом математики прошлых веков, перейдем к математике современной.
2) m2 mazda small (6мин. 17сек.)
Второй мультфильм будет рассказывать о некотором геометрическом понятии, которое не изучается на уроках геометрии в школе. Ввел это понятие французский ученый XIX века Франц Рело, и называется оно его именем - треугольник Рело. В мультике рассказывается о семействе замкнутых кривых постоянной ширины, о том, что такое треугольник Рело и где в жизни он применяется.
(Далее показ мультфильма, который называется "m2 mazda small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
3) moloko small (3мин. 44сек.)
Раз уж разговор пошел о геометрии, то познакомимся еще с двумя мультфильмами, посвященными геометрии. Они будут касаться объемов. Для учащихся 11 класса это особенно близко, потому что они уже знакомы с объемами различных геометрических тел. Но эти 2 этюда сделаны в такой доступной форме, что они будут доступны и для учащихся 10 класса. Итак, удивительные объемы!
(Далее показ мультфильма, который называется "moloko small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
4) octahedrons small (4мин. 41сек)
И следующий мультфильм близко перекликается с предыдущим. Он тоже посвящен объемам выпуклых и невыпуклых многогранников.
(Далее показ мультфильма, который называется "octahedrons small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
5) m5 radio small (1мин. 39сек) ?
А теперь отвлечемся от геометрии и перейдем к физике, смешанной с алгеброй. Почему большинство современных спутниковых антенн выглядят одинаково? Наш следующий этюд называется "Параболическая антенна", и в нем рассказывается о том, как происходит передача сигнала в современных спутниковых антеннах, почему она называется параболическая, а также о том, каковы оптические свойства параболы и что такое поверхность вращения второго порядка.
(Далее показ мультфильма, который называется "m5 radio small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
Теперь вернемся к геометрии. И два последних мультика рассказывают о занимательных и удивительных вещах.
6) m3 origami small (3мин. 05сек.)
Итак, мультфильм, который называется "Одним разрезом", познакомит с теоремой, утверждающей, что если на листе бумаги начертить любой многоугольник, то всегда можно так сложить этот лист, что многоугольник будет вырезан одним прямолинейным разрезом, а в листе останется дырка в виде этого многоугольника. В мультфильме приведены два примера с выпуклым и невыпуклым многоугольником.
(Далее показ мультфильма, который называется "m3 origami small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
7) m10 cycloid small (2мин .46сек. - после этого времени остановить)
И, наконец, мы переходим к последнему мультфильму, который познакомит нас с неизвестной кривой - циклоидой. Как она получается и где применяется, мы сейчас и увидим.
(Далее показ мультфильма, который называется "m10 cycloid small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами)).
3. Заключение
На этом мы закончим знакомство с удивительными математическими этюдами Николая Андреева. Это была только их часть, а все остальные представлены в полном объеме на сайте, адрес которого приведен выше.
Часть II. (Второй урок)
"Весы и удивительные площади"
(Математика + физика + история + москвоведение + география. Использование математических этюдов на профиле)
Форма работы: групповая
Вид занятия: исследование с проведением эксперимента, подтверждающим гипотезу
Технические средства: - компьютер; медиапроектор и экран; различные геометрические тела; весы и набор разновесов; модели некоторых фигур, выполненные из картона.
1. Вступление
На этом занятии пойдет рассказ об интересных площадях и о том, как их можно измерить и, главное, как сравнить. Идея этой задачи принадлежит, в том числе, Экелекяну В.Л. - учителю математики школы №11 ЮЗАО г.Москвы, а ее решение будет достаточно нетривиальным.
И это замечательно, потому что одна из целей профильного обучения - это не только информация о различных направлениях математики, не изучающихся в школе, но и прививание интереса к ней через знакомство с удивительными и неожиданными фактами.
А самое главное, показать, как математика учит логике мышления. И даже если старшеклассник не свяжет свой дальнейший выбор с этим предметом, он научит его четко и логично мыслить, принимать нестандартные решения в различных ситуациях, находить наиболее рациональные способы решения всевозможных жизненных задач.
На данном занятии происходит поиск интересного пути решения некоторой задачи, а сама задача неожиданно оказывается совершенно неотделимой от, казалось бы, не связанных с математикой наук: это и история, и москвоведение, и география.
2. Удивительные площади.
Итак, на уроках геометрии в старших классах изучают многогранники и площади их поверхностей. А поверхности эти состоят из многоугольников, как правило, уже известных старшеклассникам.
Например, боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов, а как вычислять площадь параллелограммов известно из курса планиметрии.
В боковой поверхности пирамиды лежат треугольники, а в основании - многоугольник.
Как найти площадь, например, пятиугольника, шестиугольника и т.д. - задача посложнее. Если многоугольник правильный, это сделать легче, если неправильный - труднее, но все равно эту задачу можно решить некоторым математическим путем.
Но неслучайно в теме занятия звучат слова удивительные площади. И оно действительно будет посвящено площадям каких-то совсем незнакомых фигур.
Итак, допустим, нам надо найти площадь какой-то территории, ограниченной произвольной кривой. Как это сделать, нам поможет понять один из математических мультфильмов Николая Андреева.
Далее показ мультфильма о вычислении площади криволинейной фигуры, который называется "m6 binarea small" (Комментарий см. в Приложении 1 или на сайте с этюдами).
Предложенный в этом мультфильме путь, конечно, не очень простой, но если необходимо определить площадь такой фигуры, то, действуя по приведенному алгоритму, данную задачу можно решить.
Поставим другую задачу. А если надо выяснить, во сколько раз площадь одной фигуры, ограниченной произвольной кривой линией, больше площади другой? Как можно действовать? Конечно, можно вычислить эти площади, разделить одну на другую и ответить на вопрос задачи.
А нельзя ли эту задачу решить иначе, без вычисления площадей? И здесь поможет, во-первых, нестандартный подход, а, во-вторых, физика. Вспомним формулу для вычисления массы:
(формула записывается на доске)
Теперь представим, что нужные фигуры мы вырезали и наклеили на обычный картон.
Найдем массу этих фигур и попробуем разделить массу одной фигуры на массу другой. Посмотрим, что получится.
(запись на доске)
Поскольку это один и тот же картон, то плотность будет одинаковая, значит, ее можно сократить.
Получается, что отношение масс равно отношению объемов.
А от объема уже можно перейти к площади.
Но сейчас зрительно согласимся с тем, что объем данных картонных кусочков равен произведению площади нужной фигуры на толщину картона, т.е. на высоту. Но, поскольку, толщина одна и та же, ее можно сократить и полученное отношение площадей будет равно отношению масс этих кусочков!
(запись на доске)
Вот и получено нетривиальное решение задачи. Оказывается, отношение площадей таких фигур, можно найти через отношение их масс.
Теперь, после того, как открыт такой интересный факт, естественно будет, если возникнет вопрос, а где это может в жизни встречаться и как применяться.
Ответ на этот вопрос учащиеся будут искать сами, решая несколько задач.
Класс заранее разделен на группы, каждая из которых имеет название. Например, математики, историки, москвоведы и т.д. До этого момента все слушали, думали, предлагали версии, но результат получали совместно. Теперь пришло время поработать каждой группе в отдельности, провести некоторый эксперимент, рассказать о нем и о том, как была решена поставленная перед группой задача. Каждой группе предлагается задание, имеющее отношение к той науке, именем которой названа группа. На выполнение данного задания отводится 10 минут. К каждому заданию прилагается историческая справка о затрагиваемом вопросе.
3. Задача каждой группы:
- распределить роли между членами группы (кто-то будет оглашать историческую справку, кто-то будет ставить эксперимент, кто-то будет рассказывать о результатах эксперимента);
- за отведенное на решение задачи время провести эксперимент и зафиксировать его результаты;
- при подведении итогов рассказать о результатах эксперимента и ответить на вопрос задачи.
1. Задание для математиков: "Подтверждение гипотезы о вычислении отношения площадей криволинейных фигур через отношение их масс"
(На экране слайд 1 (см. Приложение 2) с изображением квадрата и прямоугольника и поставленным вопросом).
Историческая справка: (вместо исторической справки-четверостишие А.С. Пушкина)
О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг.
Задача: Проведите эксперимент и подтвердите, что отношение площадей квадрата и прямоугольника, выполненных из одинакового картона, будет равно отношению масс этих фигур.
Решение: Взять квадрат и прямоугольник, выполненные из одинакового картона, измерить их стороны, вычислить площади по известным формулам и найти отношение этих площадей.
Взвесить квадрат и прямоугольник на весах и вычислить отношение масс.
Если результаты алгебраических подсчетов и физического эксперимента одинаковы, гипотеза подтверждена.
2. Задание для историков: "Территория Литовско-Русского государства в XIII - XV веках"
(На экране слайд 2 (см. Приложение 2) с изображением карты Великого княжества Литовского. Пока оглашается историческая справка, по мере новой информации демонстрировать на карте территории, присоединяемые к Литве).
Историческая справка "Великое княжество Литовское и русское в XIII - XV веках": В XIII веке соседями Западной Руси были литовские племена. Для того, чтобы противостоять захватчикам, они объединились и создали свое государство. И пользуясь тем, что Русь была ослаблена ордынским нашествием, стали подчинять себе близлежащие земли Западной Руси. Жители западнорусских городов, опасаясь, что монголы не оставят их землю в покое, добровольно признавали новую власть.
Новое государство с самого образования своего было русско-литовским. Своего расцвета оно достигло к середине XIV века. К этому времени в него входили почти все земли Западной Руси: Полоцкая, Витебская, Минская, Брестская. Присоединив западные территории, литовский правитель князь Гедемин обратил свои взоры на древнюю столицу Русского государства - Киев, и в конце 30-х годов XIV века Киевское княжество признало его власть. Теперь государство стало именоваться Великим княжеством Литовским.
После смерти Гедемина его сын, получивший восточную часть государства, продолжил политику отца по "собиранию" русских земель. И во время его княжения к Литовскому государству были присоединены Брянская, Северская, Черниговская и Подольская земли, а также Волынь.
Эту же политику поддерживал и следующий правитель Великого княжества Литовского, который в самом начале XV века присоединил к нему Смоленские земли.
В результате к 1462 году Великое княжество Литовское имело такой вид, как мы видим на карте.
Задача: определить, во сколько раз площадь территории, занимаемой Великим княжеством Литовским к 1462 году, была больше площади основной территории Литвы в XIII веке.
Решение: Команда вместе с заданием получает два кусочка картона с наклеенными на них картой Литвы в XIII веке и картой Великого княжества Литовского к середине XV века. Необходимо найти массу каждой карты и найти отношение этих масс, поделив большую массу на меньшую. Результат деления и будет ответом на вопрос задачи.
3. Задание для москвоведов: "Сравнение площади, занимаемой Москвой, в разные периоды времени "
(на экране слайд 3 (см. Приложение 2) с изображением карты Москвы: Генеральный план 1935 года, а затем слайд 4 с изображением современной карты)
Историческая справка "Вековые кольца Москвы": В XV веке Москва стала столицей Русского централизованного государства. Историческим ядром Москвы является Кремль.
В XVI веке около Кремля росли посады, слободы, а затем вокруг них строились системы укреплений - стены и рвы. К северу и западу от Кремля сложилась густозаселенная часть города, которая нуждалась в защите. В 80-х годах XVI века она была обнесена кирпичной побеленной стеной. Новая укрепленная часть Москвы получила название Царев город или, позже, Белый город. А стена вокруг него являлась первым кольцом города.
Второе кольцо укреплений старой Москвы перешло Москву-реку. Это был насыпанный в самом конце XVI века земляной вал с дубовой стеной. Защищенная таким образом часть Москвы получила название Земляного города.
В конце XVIII века за ненадобностью была разобрана стена Белого города, а в XIX веке постепенно исчез и уже ненужный Земляной вал. На месте крепостных сооружений Белого города проложены кольцевые улицы и разбиты бульвары, и сегодня первое кольцо Москвы называется Бульварным кольцом. На месте Земляного вала было проложено большое кольцо переходящих одна в другую Садовых улиц (Садовое кольцо).
Число и протяженность колец, окаймлявших Москву, продолжало расти и дальше. В самом начале XX века радиальные железнодорожные магистрали были соединены друг с другом кольцом двухпутной Окружной железной дороги (часть ее проходит в том месте, где в наше время Нагорный проезд пересекается с Варшавским шоссе). В 1917 году Окружная железная дорога стала границей Москвы.
В начале 60-х годов XX века была построена Московская кольцевая автомобильная дорога (МКАД), но сама Москва в это время еще до нее не дошла.
Зато в 1985 году городская черта Москвы была вновь изменена, так как во владения столицы было включено несколько находящихся уже за МКАД участков территории.
Сегодня, мы знаем, таких участков стало еще больше. Это такие районы, как Бутово, Митино, Солнцево, Жулебино и т.д., и территория, занимаемая Москвой, все растет и растет.
Задача: Известно, что за 3 века до 1917 года площадь Москвы увеличилась примерно в ? раз. Определить, во сколько раз увеличилась территория Москвы за последние 70 лет: с 1935 года (граница - Окружная железная дорога) по настоящее время (включая границы районов, расположенных за МКАД).
Решение: Команда вместе с заданием получает 2 кусочка картона с наклеенными на них картой Москвы с границами по генеральному плану 1935 года и картой современной Москвы. Необходимо найти массу обеих карт, вычислить, во сколько раз одна больше другой и ответить на вопрос задачи.
4. Задание для географов: "Определение площади Черного моря"
(на экране слайд 5 (см. Приложение 2) - фрагмент карты с изображением Черного моря)
Географическая справка: Черное море относится к бассейну Атлантического океана. Керченским проливом оно соединено с Азовским морем, а проливом Босфор - с Мраморным морем. Черное море омывает Россию, Украину, Грузию, Турцию, Румынию и Болгарию. На побережье расположено большое количество курортов.
Самое глубокое место - 2км 210м, но уже на глубине ниже 200м Черное море заражено сероводородом, и жизни там уже нет.
В водах Черного моря водятся дельфины. Это единственное море в России, в котором водятся акулы.
Математическая справка: масштаб нашей карты 1:7500000. Значит, отрезку на карте в 1см будет соответствовать отрезок, в действительности равный 7500000см, т.е. 75км. Следовательно, если у квадратика сторона 4см, то у соответствующего квадрата на местности сторона будет равна 300км. Тогда площадь квадратика, равная 16см2, будет соответствовать площади 90000км2 на местности.
Задача: Дан квадратик, площадь которого равна 16см2. Зная, что площадь этого квадратика соответствует площади квадрата в 90 тыс. км2 на местности, определить реальную площадь, занимаемую Черным морем. (По данным энциклопедии эта площадь равна 413,5 тыс. км2)
Решение: Команда вместе с заданием получает фрагмент карты с изображением Черного моря, вырезанный из карты и наклеенный на картон, а также квадрат со стороной 1см, также вырезанный из любого другого места той же карты и наклеенный на картон. Необходимо взвесить квадратик, "взвесить Черное море", а затем выяснить, во сколько раз "вес Черного моря" больше веса квадратика. После чего умножить 90 тыс. на получившееся число и узнать реальную площадь, занимаемую Черным морем. Сравнить получившийся результат с данными энциклопедии.
После решения задач всеми группами начинается подведение итогов. От каждой группы один представитель зачитывает справку, а затем еще один член группы рассказывает о своей задаче и ее решении.
4. Итог занятия.
Вывод: