Урок алгебры и математического анализа по теме "Комплексные числа"

Цели урока:

1. Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по теме урока.
2. Развивать умения применять теоретические знания при решении заданий ; умение анализировать, сравнивать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи; классифицировать ; логические мышление , фантазии , интерес к предмету .
3. Формирование навыков самостоятельной деятельности; воспитание чувства ответственности чувства долга за свою учебу.

Оборудование:

1. Запись на доске;
2. Учебники;
3. Таблицы;
4. Карточки для индивидуальной работы;
5. Цветной мел, бумага;
6. ЛОС;
7. Набор жетонов;
8. Цифровое табло;
9. Листы контроля;
10. Эпиграф урока;
11. Презентация.

Ход урока

I. Opганизационный момент.

(сообщение темы, цели урока, эпиграфа урока, плана работы, что необходимо знать и уметь на уроке)

1. Знать:

1. Понятие мнимой единицы.
2. Степени мнимой единицы.
3. Определение комплексного числа .
4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
5. Решение квадратных уравнений ; уравнений 3-й , 4-й степени.
6. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
7. Тригонометрическая форма комплексного числа.
8. Показательная форма комплексного числа.
9. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

2. Уметь: Применять теоретические знания на практике.

1. Выполнять действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме
2. Представлять комплексное число в алгебраической, тригонометрической форме;
3. Давать геометрическую интерпретацию комплексного числа;
4. Решать уравнения 2-й , 3-й , 4-й степени.

Эпиграф урока:

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.
А.Маркушевич .

II. План

1. Понятие мнимой единицы.
2. Степени мнимой единицы.
3. Определение комплексного числа.
4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме:
   а) Понятие мнимой единицы;
   б) Степени мнимой единицы;
   в) Определение комплексного числа;
   г) Деление (применение функций);
   д) Возведение в степень.
5. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
6. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
7. Тригонометрическая интерпретация комплексного числа.
8. Показательная форма комплексного числа (формула Эйлера).
9. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Карта марафона.

Приложение 1 заполняется на всех этапах урока.

I. Из истории веков (историческая справка).

По словарю Ожегова. Марафон – спортивный бег на длинную дистанцию

1.Из истории веков: (историческая справка)

1). Внимательно слушайте, выпишите в тетрадь фамилии ученых, о которых говорится. Комплексные числа, как, впрочем, и отрицательные, возникли из внутренней потребности самой математики, конкретнее – из практики и теории решения алгебраических уравнений. С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до 16 века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

Лишь в 18 веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

Выдающаяся роль в развитии теории комплексных чисел, разработке методов их применения в различных областях математики принадлежит ряду известных математиков, в прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине 18 века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде a + bi , что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения. Позднее, в начале 19 века, в работах К.Весселя и Ж.Аргана содержится полное геометрическое построение комплексных чисел. В частности, Весселем комплексные числа рассматривались как векторы. Благодаря Коши в математике активно стали использоваться такие понятия как модуль комплексного числа, сопряженные комплексные числа.

И только в начале 19 века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 году свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

II. Испытание (проверка усвоения теоретического материала).

Вопросы для коллективного обсуждения.

1). Какие причины вызвали необходимость расширения множества действительных чисел до множества комплексных чисел?

2). Определите комплексное число. Приведите классификацию комплексных чисел.

Классификация комплексных чисел'

3). Приведите определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

4). Какие комплексные числа называют сопряженными? Чему равно произведение сопряженных комплексных чисел?

5). Как выполняется деление комплексных чисел?

6). Докажите что:

1. iⁿ = 1 , если при делении n на 4 в остатке получаем 0;
2. iⁿ = i, если при делении n на 4 в остатке получаем 1 ;
3. iⁿ = –1, если при делении n на 4 в остатке получаем 2 ;
4. iⁿ = – i, если при делении n на 4 в остатке получаем 3.

7). В каком случае квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь комплексные корни?

8). Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел точками координатной плоскости.

9). Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел с помощью векторов.

10). Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.

11). Расскажите о тригонометрической форме комплексного числа. Как записать в тригонометрической форме комплексное число, заданное в алгебраической форме?

III. Творческая лаборатория ученика.

Проверка домашнего задания. (Самооценка).

1). Вычислить:

2). Решить уравнение:

а) x²-2x+2=0; б) x²+4x+29=0

3). Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

IV. Вычислительный эксперимент.

1. Математический диктант (проверяют консультанты):

2. Вычислить:

(4 ученика у доски, остальные на местах):

3. Решить уравнение:

I вариант	а) x2 – 2x – 8 = 0	б) x2 – 4x + 5 = 0	в) x3 = 0
II вариант	а) x2 + 6x + 69 = 0	б) x2 + 6x + 25 =0	в) x3 + 6 = 0

V. Практический пункт.

1. Практическая работа:

Поставьте в соответствие каждому комплексному числу точку координатной плоскости.

l) 2 + 3i	2) 2 – 3i	3) 2 + 3i
4) -2 – 3i	5) 3i	6) -3i

Сделайте выводы, используя рисунок:

2. Тригонометрическая форма комплексного числа

(1 ученик у доски, остальные на местах)

а) рассказ теоретического материала; (теоретики)

б). Практическая часть (практики)

Выразите комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую:

a) i ;

б) -1;

в) 1 + i ;

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Практическая работа: Изобразить на плоскости числа:

z1 = -3;

z2 = 5i;

z3 = 3 – 2i;

z4 = -3 – 2i;

z5 = -1 + 4i

4. Тригонометрическая форма комплексного числа:

1. Записать в тригонометрической форме комплексное число.

работа по вариантам:

(2 ученика у доски для проверки решения)

Записать полученный результат в показательной форме

 5. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

1. Дайте определение и вычислите.

а) 2(cos130⁰ + i sin130⁰) · 3(cos230⁰ + i sin230⁰) = 6(cos360⁰ + i sin360⁰) = 6

VI. Математическая таможня.

Итоги урока:

1. Какие бы вы задали вопросы по изученной теме своим учащимся, если бы были учителем.
2. Оценки за урок.
3. Ребус.

По вертикали:

2. Самая нелюбимая оценка ученика 3. Независимая переменная функции 4. “Вымирающая” разновидность учеников 5. Проверка учеников на выживание 6. Утверждение, которое не доказывается

(два) (аргумент) (отличник) (контрольная) (аксиома)

Если вы ответили верно, то по горизонтали должны получить слово, связанное с открытием (Эврика)

Домашнее задание:

1. Подготовить рефераты:

1. История происхождения и развития понятия комплексного числа.
2. Задание геометрических преобразований комплексными числами.
3. Комплексные числа конформные отображения.
4. Развитие понятия числа.

2. Виленкин: п. 1-4 §1 и §2; п. 1-3; повт. опр., теоремы, формулы; № 338(1;3)№ 344; №366(1)

(провести краткий инструктаж по выполнению домашнего задания)