Цель:
1) показать древние решения задач;
2) научить решать нестандартные задачи;
3) увлечь учащихся решением сложных задач.
Ход урока
Задача Бхаскары
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась.
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько ты скажешь
Обезьян там было в роще?
Эту задачу сам Бхаскара решал примерно так: если обозначим число всех обезьян х, то задача сведется к решению уравнения:
После приведения к одному знаменателю и упрощения получим
Прибавляя к обеим частям квадрат 32, будем иметь
После извлечения квадратного корня получаем
“В данном случае, - говорит Бхаскара, - отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй части меньше их, а потому последние можно считать и положительными и отрицательными, и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16”.
Задача
Решить в общем виде квадратное уравнение
Решение Бхаскары
Умножив обе части уравнения ах?+
bх=с на 4а, получим
Далее, прибавим к обеим частям равенства по
b?:
Так как левая часть обращается в квадрат, то
2ах+
b=
Откуда
Что касается отрицательных значений корней, то Бхаскара замечает, что “люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел”.
Задача
Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя остались дома. Одна пчела полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке лотоса, куда он попал вечером, привлеченный приятным ароматом, и не может оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчел роя.
Решение Бхаскары
Полагая, что число роя 2х?, получим уравнение
или
Откуда х=6 и 2х?=72
Задача Бхаскары
Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел. Чтобы убить Карну; половину он употребил на собственную защиту, а учетверенное количество квадратного корн – против лошадей; 6 стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны, разбили его лук и знамя и только одна последняя пронзила ему голову. Сколько было стрел у Арджуны (сына Притхи)?
Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:
После упрощения получаем
откуда
и 
Следовательно, х=52+48 и х=52-48 .
Таким образом, имеется два корня:
x=100 и x=4 , причем непосредственном проверкой можно убедиться, что условию задачи удовлетворяет только первый корень.Задача Безу
Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил?
Решение.
Предположим, что лошадь куплена за х
пистолей, тогда при продаже некто потерял 
пистолей.
Следовательно, согласно условию задачи
Решая полученное квадратное уравнения, получим два результата: х=40 и х=60.
Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пистолей.
Решенная задача составлена французским математиком Этьеном Безу (1730 – 1783). Его перу принадлежат исследования по общей теории алгебраических уравнений (1779), а также известная теорема Безу о делимости алгебраического многочлена на разность х-а, где а – корень многочлена. Безу является также автором многих учебников, написанных для средней школы.
Задача Эйлера
(Из учебника “Введение в алгебру”).
Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: “Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров”. Вторая ответила: “А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера”. Сколько яиц было у каждой?
Наиболее остроумный способ решения этой задачи таков.
Предположим, что вторая крестьянка имела в т раз больше яиц, чем первая.
Поскольку обе крестьянки выручили одинаковые суммы, то первая должна продавать свои яйца дороже, чем вторая, в т раз. Если бы перед началом торговли они поменялись новым количеством яиц, то первая крестьянка, имея яиц в т раз больше и продавая их в т раз дороже, выручила бы в т раз больше, чем вторая.
Откуда
Следовательно,
m=3/2.Разбив 100 яиц в отношении 3:2, находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая – 60 яиц.
Эту задачу можно решить и алгебраическим путем, для чего стоит только обозначить через х число яиц у первой крестьянки. Тогда у второй крестьянки число яиц будет 100 – х.
Откуда первая крестьянка продала свои
яйца по цене 
(крейцеров),
вторая по 
крейцеров.
Так как выручка одинаковая, то 15/(100-
x)=20*(100-x)/3*xили 
Откуда
x = 40 , x = -200,Следовательно, у первой крестьянки было 40 яиц, у второй – 60.