Цели урока:
- Показать значимость фундаментальных знаний;
- Познакомить с точкой зрения ведущих математиков о роли изучения данной науки;
- Расширение математической культуры, популяризация математических знаний.
План урока:
- Информация о российских математиках, получивших азиатскую “Нобелевскую премию”;
- Что думают сами математики о необходимости ее изучения;
- О законах мироздания.
Содержание урока:
1. Начать с информации.
Российские математики получили азиатскую “Нобелевскую премию”.
10 сентября 2008 года СЯНГАН (Гонконг).
Российские математики Владимир Арнольд и Людвиг Фаддеев были удостоены престижной премии Шао Ифу. Азиатская Нобелевская премия была учреждена сянганским медиамагнатом Шао Ифу в 2002 году. Три приза по миллиону долларов достаются ученым, внесшим существенный вклад в три области: астрономию, математику и медицину или науки о жизни. Владимир Арнольд и Людвиг Фаддеев трудятся в московском и петербургском отделениях Математического института имени В.А. Стеклова Российской академии наук.
ФАДДЕЕВ Людвиг Дмитриевич – автор более 200 научных трудов, школа Фаддеева является лидирующей в мире по целому ряду направлений математической физики. Его работы вошли в учебники по многим областям математики и физики, постоянно цитируются и используются в научной литературе. Он почетный профессор ряда зарубежных университетов, лауреат Государственной премии СССР, премии имени Д. Хейнемана по математической физике Американского физического общества, награжден золотой медалью имени П. Дирака Международного института теоретической физики в Триесте.
АРНОЛЬД Владимир Игоревич – один из известных математиков мира. Хотя наибольшую известность он получил в качестве соавтора теоремы Колмо-горова-Арнольда-Мозера о стабильности интегрируемых гамильтоновых систем, за свою почти полувековую карьеру он внес важный вклад в развитие целого ряда областей математики, включая теорию динамических систем, теорию катастроф, топологию, алгебраическую геометрию, классическую механику и теорию сингулярностей. Многие из написанных им учебников оказали впоследствии серьезное влияние на развитие новых областей математики. Он является лауреатом множества премий, включая Ленинскую премию за 1965 год (совместно с Андреем Колмогоровым), премию Крейфурда (совместно с Луисом Ниренбергом), премию Харви, премию Вольфа и Государственную премию Российской Федерации за 2008).
2. Для чего мы изучаем математику? (Что об этом думают сами математики?)
Беседа построена по материалам лекции на эту тему академика Владимира Игоревича Арнольда, с которой он выступил перед работниками образования в 1992 году. (Журнал "Квант" №1/2 за 1993 год).
Для чего надо изучать математику? В 1927 году на этот вопрос ответил английский философ Роджер Бекон: "Тот, кто не знает математику, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества". Собственно на этом можно было бы и закончить лекцию, но люди думают, что, может быть что-то изменилось за семь веков…
Послушаем более современное свидетельство – один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждает, что при построении физической теории "следует не доверять всем физическим концепциям". А чему же доверять? "Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой". Действительно, все чисто физические концепции начала века физикой отброшены, а математические модели, взятые на вооружение, постепенно обретают физическое содержание.
И в этом проявилось устойчивость математики.
Итак, математическое моделирование – продуктивный метод познания в естествознании.
Правда, математическая модель не всегда даёт немедленную практическую отдачу. Бывает, что она окажется полезной только через две тысячи лет.
Примером тому – каноническое сечения, они были открыты в Древней Греции и описаны Аполлонием Пергским (ок.260 – ок.170 гг. до н.э.) в 8-томном трактате. А понадобилась эта теория Иоганну Кеплеру в XVI в., когда он выводил законы движения планет Его учитель Тихо Браге в обсерватории "Ураниборг" в течение 20 лет скрупулезно изучал движение планет Солнечной системы. После смерти учителя Кеплер взялся за математическую обработку результатов этих наблюдений и обнаружил, что, например, траектория движения Марса – эллипс. Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянна. Сечение конуса плоскостью, достаточно сильно наклонённой к его оси, является эллипсом, - замечательная геометрическая теорема.
Если для эллипса с длиной большой оси в 1 метр малая ось короче большой всего на полсантиметра, то на глаз отличие такого эллипса от окружности вообще незаметно, фокусы же смещены от центра на 5 см, что очень заметно.
Сначала Кеплер думал, что орбита Марса – окружность. Однако Солнце оказалось не в центре, а сдвинутым примерно на 1/10 часть радиуса. Но Кеплер не остановился на этом (уже замечательном) результате – потому что он знал теорию конических сечений. Кеплер знал, что эллипс с малым эксцентриситетом очень похож на окружность, и проверил, как ведёт себя то небольшое отклонение орбиты от окружности, которое ещё оставалось. Интересно, что сделать это можно было только благодаря исключительной точности наблюдении Тихо Браге, сделанных невооружённым глазом. В те времена астрономы не очень доверяли телескопам, и ещё в конце XVII века приходилось доказывать, что телескопические наблюдения могут достигать столь же большой точности, как наблюдения невооружённым глазом.
Новая физика часто начинается с уточнения последней значащей цифры предыдущей теории – если бы Кеплер удовлетворился своей эксцентрической круговой орбитой, если бы наблюдения Тихо Браге были бы менее точны, развитие небесной механики (а возможно, и всей теоретической физики) могло бы задержаться – может быть даже на века.
Кеплер пришёл к мысли об эллиптических орбитах планет.
Если бы теория конических сечений не была заранее разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, не возникла бы современная наука и технология, а наша цивилизация осталась бы на средневековом уровне – или, по меньшей мере, пути истории были бы совсем иными.
Кеплер открыл закон движения планет, но тот факт, что они движутся по эллипсам, доказал Исаак Ньютон в своей книге " Математические начала натуральной философии"(1687г.), которая послужила основой всей современной теоретической физики. Он получил эллиптичность планетных траекторий как следствие закона всемирного тяготения.
Впоследствии кривые второго порядка стали всё чаще появляться в естественно- научных исследованиях. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, модель сечения конуса описывает движение планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Ньютон видел в этом доказательство существования Бога: " Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа… Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержатель".
Современные исследователи космоса, проектируя запуск искусственных спутников, тоже используют свойства конических сечений. Таким образом, база современной физики и научно-технической революции закладывалась и классическим произведением Аполония. Тогда как он, исследуя конические сечения, думал лишь о красоте данной математической модели.
Данный пример показывает, что "нет ничего практичнее хорошей теории".
Важные математические исследования редко бывают прямым результатом общественного воздействия, в них нет ничего утилитарного. Харди ( G. H . Hardy) как-то заметил, что "настоящая" математика " настоящих "математиков , математика Ферма и Эйлера, математика Гаусса, Абеля и Римана почти полностью "бесполезна" с точки зрения практического использования, хотя удивительно много из этой "бесполезной" математики прошлого стало практически " полезным" в наш век вычислений, космических полётов, автоматизации и вообще научной технологии.
3. Бог что-то скрывает от нас… (по материалам статьи Альберта Стасенко, в журнале Квант №9 1993 год).
"Боги людям открыли не всё. В поиск пустившись, люди сами познали немало." (Ксенофан).
"Я погружаюсь в глубину и становлюсь перед тайной мира, тайной всего, что существует. И каждый раз с проникающей меня остротой я ощущаю, что существование мира не может быть самодостаточным, не может не иметь за собой в ещё большей глубине Тайны, таинственного смысла." (Николай Бердяев).
Казалось бы, что может быть проще квадрата с диагональю или окружности с диаметром. Однако же, обо всём этом написано столько, что можно составить отдельную энциклопедию, например, об иррациональных числах. Ну, что стоило Создателю устроить природу так, чтобы отношение длины окружности к её диаметру было равно точно трём, или даже 3 с сотней знаков после запятой – но чтобы точно!? Учёные доказали, что число, равное отношению длины окружности к её диаметру, содержит бесконечное число знаков после запятой; придумали стихи, чтобы запомнить хотя бы десяток этих знаков (кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число ужъ знаетъ 3,1415926536…); указали процедуры, при помощи которых можно найти любое заданное число знаков, научили этим процедурам вычислительные машины, а некоторые подвижники ещё до появления машин потратили всю свою жизнь, чтобы найти несколько сотен знаков, - столь жгуче было их желание узнать, что же там дальше. Но сколько ни вычисляй - всё равно конца у этого числа не будет.
Для чего же так устроен мир? Какая тайна спрятана в круглом сечении соснового бревна или коринфской колонны? И разве неудивительно, что при всей мощи современной науки мы так и не можем точно сказать, во сколько раз окружность больше своего диаметра?
А геометрия Евклида? Казалось бы, вот где классически непорочный, почти мраморный образец строгости! Так нет же – и тут оказалась своеобразная неопределенность. И дело даже не в том, что люди, строившие эту геометрию, сформировали пятый постулат как-то раздражающе неуклюже, что и привело к появлению неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана…). Тут дело в том, что по образцу евклидовой геометрии стали пытаться строить и другие дедуктивные науки, стараясь придать им ту же "строгость".
Казалось, что можно сформулировать такой набор аксиом, что все остальные высказывания можно или подтвердить или опровергнуть. Тогда такая хорошая система аксиом называлась бы полной и непротиворечивой. В 1931 году была доказана теорема Гёделя, смысл которой можно передать так: не существует одновременно полной и непротиворечивой системы аксиом.
Какой же выход? Может быть, каждому способному школьнику попытаться узнать что-либо как можно более точно – и тогда будет достигнут некий Порог, перед которым возникает ощущение таинственного чуда. И вдуматься – зачем поставлен этот Порог и что скрыто за ним: возможность дальнейшего шага или…?