Как известно, с этого учебного года изменится формат ЕГЭ в 11 классе по математике, но останутся, как и в прежнем формате, планиметрические задачи по геометрии.
Согласно статистике, задачи по геометрии зачастую оказываются самыми трудными задачами, с которыми очень плохо справляются ученики. Это объясняется и нынешней школьной программой по геометрии с малым количеством часов, отведенных геометрии, и, как следствие этого, недостаточным вниманием к планиметрическим задачам со стороны учителей. Согласно планированию, планиметрию в школе заканчивают изучать в 9 классе, поэтому к 10-11 классу ученики ее забывают. Это видно из того, что на ЕГЭ ученики даже не начинают решать планиметрическую задачу, а стереометрическая задача зачастую тоже сводится к решению нескольких планиметрических задач, и, как следствие, теряют баллы, поэтому мы в гимназии пришли к выводу об обязательной необходимости включения планиметрических задач на уроках стереометрии.
Каждый урок мы начинаем с повторения: повторяем теорию, решаем задачи по основным разделам планиметрии. Сначала мы повторяем основные теоретические сведения по данной теме, затем подробно учителем с привлечением учащихся рассматривается решение первой задачи раздела, оформляется решение с полным обоснованием. На дом учащиеся получают одну задачу с краткой инструкцией к решению и несколько задач совсем без инструкций (на протяжении нескольких уроков). Задачи проверяются, а затем обязательно планиметрическая задача включается в текст текущей контрольной или самостоятельной работы по стереометрии. Таким образом, повторение планиметрического материала постоянно осуществляется на уроках стереометрии при решении планиметрических задач, что повышает качество знаний учащимися геометрического материала, помимо формальных знаний многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, приходит опыт и интуиция. Научиться решать геометрические задачи – это нелегко, но умение приходит вместе с практикой.
Несколько лет мы собирали и объединяли задачи по темам. Таким образом, у нас собран материал по следующим темам:
- Равнобедренный треугольник.
- Прямоугольный треугольник.
- Трапеция.
- Подобие треугольников.
- Правильные многоугольники.
- Окружность вписанная и описанная.
- Параллелограмм.
Задачи на тему “Равнобедренный треугольник”.
Задача 1.1. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160, боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АВО.
 Рисунок 1 |
Дано:  АВС –
равнобедренный,ВС – основание. S Найти: S |
АН=ОРешение:
1) S
АВС=0,5•АВ•АС•
, 0,5•20•20•=160, =0,8.
2) 
=
=
=0,6.
3) ВК=АВ•=20•0,8=16.
4) АК2=АВ2-ВК2, АК=
=
=12.
5) 
=
, 
=
, свойство
биссектрисы треугольника применено к АВС для угла А, ОВ=16-6=10.
6) В АВО АК 
ВО, SАВО=0,5•ВО•АК=0,5•10•12=60.
Ответ: 60.
Задача 1.2. Основание ВС равнобедренного треугольника АВС равно 24, а его площадь равна 192. Биссектриса угла В пересекает медиану АМ в точке К. Найдите площадь треугольника АВК.
 Рисунок 2 |
Дано: АВС –
равнобедренный, ВС – основание, ВС=24, S Найти: S |
Указание:
1) Используя равенство 
=
найдите АК.
2) Найдите SАВК по
формуле SАВК=0,5•АК•ВМ,
где АК – основание, ВМ – высота.
Ответ: 60.
Задача 1.3. Высота ВН, проведенная к
основанию равнобедренного треугольника АВС,
пересекает биссектрису угла А в точке М и равна 8.
Найдите площадь треугольника АВМ, если площадь
треугольника АВС равна 48.
Ответ: 6.
Задача 1.4. Основание ВС
равнобедренного треугольника АВС равно 12.
Биссектриса угла В делит медиану АМ в отношении
5:3,считая то вершины А. Найдите площадь
треугольника АВС.
Ответ: 48.
Задача 1.5. Высота ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекает высоту АН в точке М и равна 16.Найдите АМ:МН.
Задача 1.6. Высота АМ равнобедренного
треугольника АВС с основанием АС пересекает
высоту ВН в точке Р. Найдите соотношение ВР:РН,
если ВМ=12, МС=8.
Ответ: 3:1.