Цели урока:
- Введение понятия степень двучлена, формулы
Бином Ньютона и формулы комбинаторики о числе
сочетаний
. - Вычисление биномиальных коэффициентов, построение треугольника Паскаля.
- Представление степени двучлена в виде многочлена по формуле Бином Ньютона.
- Обобщение знаний и умений по темам "Формулы сокращённого умножения", " Действия с многочленами".
- Формирование умений решать задачи повышенной сложности;
- Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение.
- Развитие интереса к предмету.
- Создание условий для формирования информационной культуры учащихся.
Методы: проблемно-диалогический, объяснительно - иллюстративный, частично-поисковый.
Оборудование: школьная доска, тетради для лекций у учащихся, компьютер, интерактивная доска.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.
2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.
Вопросы к учащимся:
прочитайте выражения: (х +2у)2, (а- b)3, (c - d)2, (а+1)3, (с+3а)4, (х -2)5.
(рис. № 1)
(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)
Что общего в заданных выражениях?
(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)
Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?
Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.
(х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2
(а - 2)3 = а3 - 3а2 2 +3а 22 - 23= а3 - 6а2+12а -8.
(c - 0,1d)2 = с2 - 0,2cd + 0,01d2.
(а+2у)3 = а3 + 3а2 2у +3а (2у)2 +(2у)3= а3 + 6а2у +12ау2 +8у3.
(с+а)4 = (с+а)2 (с+а)2 = (с2 +2са + а2) (с2 +2са +а2) =
= с4 + 2ас3 +а2с2 + 2ас3 +4а2с2 +2а3с +а2с2 +2а3с +а4 =
= с4+ 4с3а +6с2а2 + 4са3 +а4.
(х -2)5 = (х -2)3 (х -2)2 = (х3 - 6х2 +12х - 8) (х2 - 4х+ 4) =
= х5 - 4х4 +4х3 - 6х4 +24х3 - 24х2 +12х3 - 48х2 + 48х - 8х2 +32х -32 =
= х5 -10х4 + 40х3 - 80х2 +80х -32. (рис. № 2)
Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?
(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)
В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?
Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.
И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.
3. Введение нового материала.
Открываем тетради с лекциями и записываем новую тему "Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона".
Но прежде чем рассмотреть саму формулу, введём определения сочетания и числа сочетаний, используемые в формуле бином Ньютона.
Определение: Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по m (0 ? m ? n) элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.
Определение: Число всех возможных сочетаний из
n элементов по m элементов обозначается С
, читается С из n по m,
вычисляется по формуле:
С
= 
, где n! = 1 2 3
::. (n-2)(n-1)n (читается n-факториал).
Отметим некоторые свойства числа сочетаний:
С= С
;
С
= С
= 1;
С
= С
+ С
, где n, r >1 (рис. № 3)
Рассмотрим пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.
Решение: Данные цифры - это множество,
состоящее из 5 элементов. Составить двузначные
числа - это значит найти все подмножества из
двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их
число посчитаем по формуле С
= 
= 
=10. (рис. № 4)
Таким образом, 10 двузначных чисел можно построить из элементов заданного множества. Вы можете это проверить простым перебором, при небольших значениях n и m, это несложно.
Мы вплотную подошли к количеству подобных слагаемых в разложении степени двучлена на многочлен.
Вернёмся к примеру №5: (с+а)4 = с4+ 4с3а +6с2а2 + 4са3 +а4, что означают коэффициенты перед слагаемыми?
Столько раз эти слагаемые встретились при
приведении подобных слагаемых в многочлене.
Количество этих слагаемых есть не что иное, как
число сочетаний С, где n
- степень двучлена , m - степень второго
выражения.
Степень одного из множителей в одночленах с3а
или са3 равна 1, количество таких слагаемых,
по определению сочетания, равно С
= 
=
=4,
что подтверждается вашими вычислениями.
Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с2а2
: С
= =
=6, что также верно. Заметим,
что первое и последнее слагаемое стоит с
коэффициентом 1, так как степень одного из
выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам
сочетаний С= С= 1.
Можно проверить на известных формулах квадратов и кубов, что коэффициенты перед слагаемыми подчиняются той же закономерности.
Теперь обратим внимание на степени первого и второго выражений в одночленах, запишем ещё раз примеры №№1-6, опуская само решение:
(х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2
(а - 2)3 = а3 - 6а2+12а -8.
(c - 0,1d)2 = с2 - 0,2cd + 0,01d2.
(а+2у)3 = а3 + 6а2у +12ау2 +8у3.
5. (с+а)4 = с4+ 4с3а +6с2а2 + 4са3 +а4.
6. (х -2)5 = х5 - 5 2 х4 + 10 22 х3 - 10 23 х2 + 5 24 х -32 =
= х5 -10х4 + 40х3 - 80х2 +80х -32. (рис. № 5)
Что вы заметили?
Объединим ваши замечания в следующие правила:
Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;
Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;
Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;
Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.
Коэффициенты при слагаемых многочлена равны
числу сочетаний С, где n - степень двучлена , m -
переменная величина, пробегающая значения от 0 до
n и соответствующая степени второго выражения.
(рис. № 6)
(оставить место в тетради на случай, если появятся ещё какие-либо замечания)
А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.
Определение:
Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство
(a+b)n = С
an+
С
an-1 b + С
an-2 b2
+:.+ С
an-r
br +:.+ С
bn.
Равенство называется формулой бинома Ньютона,
числа С-
биномиальными коэффициентами. (рис. № 7)
Запишем пример № 6, используя бином Ньютона:
(х -2)5 = С
х5
+ С
х4(-2)1
+ С
х3 (-2)2
+ С
х2 (-2)3
+С
х1 (-2)4
+С
(-2)5=
Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:
С= С
=1; С= С=
=5; С= С=
=
=10.)
=х5 -5 х4 2+ 10х3 22 - 10х2 23 +5х 24-25= х5 -10х4 + 40х3 - 80х2 +80х -32.
(рис. № 8)
Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.
И можем добавить ещё одно правило к правилам слайда № 6.
Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?
Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.
Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.
Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.
Подведём итоги, что мы знаем о способе разложения степени двучлена в многочлен по формуле бином Ньютона.
(рис. № 9)
Формула бином Ньютона имеет вид:
(a+b)n = Сan+
Сan-1 b + Сan-2 b2
+:.+ Сan-r
br +:.+ Сbn.
Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;
Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;
Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;
Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.
Коэффициенты при слагаемых многочлена равны
числу сочетаний С, где n
- степень двучлена , m - переменная величина,
пробегающая значения от 0 до n и соответствующая
степени второго выражения.
Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.
Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.
Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты - это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?
Свойство С=
С + С, где n, r ?1 (1)
осталось не востребованным, именно его
используют при построении треугольника Паскаля.
Определение: Треугольник Паскаля - это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона.
Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей (свойство (1)).
(рис. № 10)
Треугольник можно продолжать до бесконечности, но на практике чаще составляют таблицу для первых 10 степеней.
Треугольник Паскаля для n от 1 до 10. (рис. № 11)
| n | k1 | k2 | k3 | k4 | k5 | k6 | k7 | k8 | k9 | k10 | k11 |
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 70 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 126 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 210 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
4. Практическая работа.
1). Составьте формулы бинома Ньютона, используя первую, вторую и третью строки.
Для n=1 а+b = a+b - получается вполне естественное тождество.
Для n=2 (а + b)2 = a2 + 2ab+b2;
Для n=3 (а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
Какой вывод вы сможете сделать?
Известные формулы квадрата и куба суммы или разности двух выражений являются частным случаем формулы бином Ньютона для n =2;3.
2). Дополнительный уровень. (рис. 12)
Сверните сумму в степень двучлена, если это возможно:
16a4 + 32a3 +216a2+72a +81.
Решение: 16a4= (2а)4, 81 = 34. Предположим, что данная сумма является (2а+3)4.
Тогда второе слагаемое должно быть равно 4(2а)33=96а3 > 32a3 , т.е. данная сумма не может быть степенью двучлена. Проверим далее, хотя для ответа в этом уже нет необходимости. Третье слагаемое 6(2а)232=216а2 - совпадает, четвёртое слагаемое 42а33= 216а > 72а. Итого, допущено две ошибки.
Ответ: данная сумма не может быть степенью двучлена.
5. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой (рефлексия).
1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:
а) (х+у)6
б) (1- 2а)4
2. Найти значение выражения (С
+ С
) : С
(рис. № 14)
Решение:
1а) (х+у)6= х6 +6х5у +15х4 у2 +20х3у3 +15х2у4 +6ху5 +у6.
1б) (1- 2а)4 = 1 14 (2а)0 - 4 13 2а + 6 12 (2а)2 - 4 11 (2а)3 + 1 10(2а)4 =
= 1 - 8а + 24а2 - 32а3 + 16а4.
2. (С+ С) : С= 
= 
+
=
(напомним, что 
=n; 
= 
.) = 
= 1.
6. Подведение итогов самостоятельной работы.
7. Подведение итогов урока. Можно ещё раз повторить выводы слайды № 9;11.
8. Домашнее задание: (рис. № 15)
Выучить формулу бином Ньютона.
Выучить формулы числа сочетаний и их свойства.
Представить в виде многочлена:
(х - 1)7
(2х - ?)4
Свернуть сумму в степень двучлена, если это возможно
81х4 - 108х3у + 54х2у2 - 12ху3 + у4.
32а5+40a4b +20a3b2 +5a2b3 +5/8ab4 +1/32b5
Дополнительный уровень:
Решить уравнение 5 С
= С
,
используя формулу числа сочетаний.
Слайды даны в приложении 1.