Цели урока:
- обобщение теоретических знаний, необходимых для решения иррациональных уравнений;
- организация дифференцированной работы учащихся в соответствие с уже сформированными знаниями;
- развитие внимания, логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, активности учащихся на уроке;
- воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точности и ясности словесного выражения мысли; сосредоточенности и внимания.
Оборудование: мультимедийная установка (при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые формулы, алгоритмы решения иррациональных уравнений, при самопроверке на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания); раздаточный материал (цветные карточки), подготовленный учителем для организации устной разминки и самостоятельной работы.
План урока
1. Мотивация учебной деятельности учащихся. Сообщение учителем темы и целей урока, пояснение, что во время урока будет использоваться раздаточный материал, находящийся на партах.
2. Разминка. Повторение теоретического материала.
3. Работа в группах в соответствии с уровнем подготовленности учащихся:
– обсуждение пошагового алгоритма решения уравнений;
– обсуждение заданий повышенного уровня сложности.
4. Итоги урока. Комментарии по домашнему заданию.
Ход урока
I. Мотивация учебной деятельности учащихся
Учитель сообщает тему и цели урока, констатирует факт, что на данный момент часть учащихся класса не справляются с решением иррациональных уравнений на базовом уровне, вторая часть учащихся, верно решают уравнения данного типа на базовом уровне и не справляются с решением соответствующих уравнений повышенного уровня сложности. В связи с этим до начала урока были сформированы две группы и все учащиеся рассажены в классе в образовавшихся группах, согласно уровню их подготовки.
Для каждой группы учителем определяется основная цель.
Для 1-й группы: сформировать и развить умения и навыки, необходимые для решения иррациональных уравнений на базовом уровне;
Для 2-й группы: закрепить умения решать иррациональные уравнения на базовом уровне и развить умения решать соответствующие уравнения повышенного уровня сложности.
Учитель поясняет, что во время урока будут использоваться индивидуальные задания для учащихся, находящиеся на партах, распечатанные на цветных карточках. По завершению урока весь раздаточный материал учащиеся могут взять себе в накопительную папку и использовать его при самостоятельной подготовке к различным испытаниям по математике.
II. Повторение теоретического материала
– Дайте определение арифметического корня n-й степени из числа а.
– Для каких значений а это определение имеет смысл? Как это связано с показателем n?
– Перечислите (письменно, в тетради) основные свойства корня n-й степени.
Учитель просит учащихся обменяться тетрадкой с соседом, идет взаимопроверка и самооценка. Количество “+” и “–” учащиеся выносят на полях. В это время все свойства высвечиваются на экране (Приложение 1).
– Дайте определение иррационального уравнения. Приведите примеры иррациональных уравнений.
Примеры
– Какие уравнения называются равносильными?
Учитель. Рассмотрим уравнение вида
Как
получить из него уравнение, равносильное данному? Какие способы решения
уравнения такого типа вы знаете?
Учащиеся могут привести два способа решения данного уравнения:
– переход к равносильной системе
– возвести обе части данного уравнения в квадрат, решить уравнение f(х)
= g2(х) и проверить какой из полученных корней
удовлетворяет уравнению
Учитель. Рассмотрим уравнение вида
Как решать
уравнение такого типа?
Скорее всего, учащиеся вспомнят, что корень нечетной степени существует из любого действительного числа, значит данное уравнение равносильно уравнению f(х) = g3(х).
Учитель предлагает всем учащимся выполнить устно задания белой карточки из раздаточного материала (Приложение 2). Учащиеся комментируют решение.
III. Работа в группах
Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений 1 и 3.
1. Решить уравнение
Решение. 1. Переход к равносильной системе:
Ответ: –1.
2. Выполняя проверку найденных корней: 6 – 4х – х2 = (х + 4)2, х2 + 6х + 5 = 0; х = –5 или х = –1.
Проверка:
Ответ: –1.
2. Решить уравнение
Решение: возведем обе части уравнения в квадрат и решим полученное квадратное уравнение:
7 – 2 х – х2 = (х –1)2,
7 – 2х – х2 = х2 – 2х + 1,
6 – 2х2 = 0,
3 – х2 = 0,
Проверка
Ответ: 
.
Заметим, что проверка потребовала значительных усилий и больших затрат времени.
Вывод. В задании 2 решение с переходом к равносильной системе предпочтительней.
3. Решите уравнение
Решение. Пусть
m
0, тогда m2
– 3m – 10 = 0, отсюда m = –2 или m = 5. Корень –2 не
удовлетворяет условию m
0, тогда
х
= 22.
Ответ: 22.
Далее 1-я группа самостоятельно выполняет задания желтой карточки из раздаточного материала (Приложение 3).
В это время 2-я группа рассматривает с учителем задания повышенного уровня сложности.
Заметим, что в левой части уравнения стоит сума неотрицательных выражений,
значит 9 – х 0,
х 
9. Учитывая это
условие, получим:
2. Решим полученное уравнение 2х2 – 23х + 30 = 0,
получим х1 = 10, х2 = 1,5. Учитывая условие
х 9, получим х
= 1,5.
Ответ: 1,5.
5. Решить уравнение
Решение. 1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Пусть 
t 0, тогда 13 – 2t
= t2 – 35, t2 + 2t – 48 = 0, откуда
t = 6 или t = –8, что не удовлетворяет условию t
0. Тогда
–х2 + 11х + 12 = 36,
–х2 + 11х – 24 = 0,
х1 = 3, х2 = 8.
Проверка
Ответ: 8.
Далее учащиеся 2-й группы приступают к самостоятельному выполнению заданий зеленой карточки из раздаточного материала (Приложение 4).
Учитель проверяет правильность выполнения заданий у учащихся 1-й группы. Учащимся предлагается снова обменяться тетрадкой с соседом. (Идет взаимопроверка и самооценка. Количество “+” и “–” учащиеся выносят на полях.) В это время верные ответы высвечиваются на экране. При необходимости корректируются решения отдельных учащихся или комментируются. После чего учащимся второй группы предлагается закончить самостоятельную работу и сдать тетради учителю для проверки.
IV. Итоги урока, комментарии к заданию на дом
Учитель обращает внимание на теоретические факты и типы уравнений, которые вспомнили на уроке. Акцентирует внимание на том, что следующий урок повторения будет посвящен другим типам уравнений, не рассмотренным на данном уроке, в записи которых используется корень n-й степени.
За успешную работу на уроке отдельным учащимся объявляются оценки.
В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются карточками самостоятельной работы из раздаточного материала, при желании, каждый может получить дополнительное задание у учителя.
Литература
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10–11. – М.: Мнемозина, 2007.
- Гусева В.А., Мордкович А.Г. Справочные материалы по математике для подготовки к экзаменам. – М.: АСТРЕЛЬ, 2004.
- Дудницын Ю.П., Смирнова В.К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа. – М.: Просвещение, 1997.
- Олехник С.Н., Потапов М.К. Уравнения и неравенства нестандартные методы решения. 10–11 классы. – М.: Дрофа, 2001.