Интегрированнй урок (алгебра + физика) "Показательная функция"

Смелей! Дадим друг другу руки
И вместе двинемся вперёд-
И пусть под знаменем науки
Союз наш крепнет и растёт!
/А.Н.Плещеев/

Цели:

• Образовательные:
  • Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности по теме показательная функция.
  • Контроль и самоконтроль знаний и навыков.
  • Установление межпредметных связей; показать применение показательной функции в физике.
• Развивающие:
  • Активизация мыслительной действительности.
  • Развитие научного мировоззрения.
  • Развитие умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли.
• Воспитательные:
  • Воспитание интереса к предмету математика и физика.
  • Формирование навыков самостоятельной деятельности;
  • Воспитание умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения.

Оборудование:

• Презентация по теме “Показательная функция”
• Проектор и экран.
• Магнитная доска.
• Карточки с заданием.
• Микрокалькуляторы.

План урока

1. Организационный момент.
2. Презентация ученика по теме “Показательная функция”.
3. Историческая справка.
4. Применение показательной функции в физике.
5. Динамическая пауза.
6. Решение показательных уравнений и неравенств.
7. Самостоятельная работа. Тесты.
8. Домашнее задание.
9. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сегодня мы с вами должны привести в систему полученные знания о показательной функции, повторить её свойства и график, методы решения показательных уравнений и неравенств, основанные на свойствах показательной функции. Кроме того, рассмотрим вопрос о применении показательной функции в физике.

II. Презентация ученика по теме “Показательная функция” (Приложение 1)

(Для актуализации опорных знаний по теме учеником подготовлена презентация)

III. Историческая справка. Выступление ученицы с сообщением “ Из истории развития показательной функции”.

IV. Применение показательной функции в физике.

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов.

Учитель физики:

1) Например, в теории межпланетных путешествий решается задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v₀, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определяется формулой: М= m(e^v/v0-1) (формула К.Э.Циолковского). Например, для того чтобы ракета с массой 1.5 т имела скорость 8000м/с, надо взять примерно 80 т топлива.

2) Радиоактивный распад вещества задаётся формулой m=m₀(), где m и m₀ масса радиоактивного вещества в момент времени t и в начальный момент времени t=0; T - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое). Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается. Через некоторое время остаётся половина первоначального количества вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.

Задача 1.

Период полураспада плутония Т=140 суткам. Какой станет масса m плутония через 10 лет, если его начальная масса m₀₌8г?

Решение.

В данной задаче t=10365 (считаем, что в году 365 дней), =. По формуле радиоактивного распада, с помощью микрокалькулятора находим m=8()1,1345 ^. 10^-7 .

Ответ. Через 10 лет плутония останется 1 вари.13 ^. 10^-7 г.

Задача 2 / 2 ученика работают у доски/

При радиоактивном распаде количество некоторого вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через: а) 1,5 суток; б) 3,5 суток?

Решение.

а) m₀₌250г

T=1 сут.

t=1,5 сут.

m=m_{0 ()}^1,5

m=250 *0,5=250 =25088,4(г).

б) m₀₌250г

T=1 сут.

 t=3, 5 сут.

m=m_{0 ()}^3,5.

m=250 ∙0,5^7/2=250 = 250 ∙ 0 ,25 22,1(г).

Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определён примерный возраст Земли (около 5,5 млрд. лет).

3) Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается формулой p=p₀ a^k , где p₀-атмосферное давление над уровнем моря, а – некоторая постоянная.

4) Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идёт гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась Т₀, а температура воздуха Т_1, то через t сeкунд температура Т чайника выразится формулой: Т = (Т₁-Т₀) е^-кt + Т_1, где к - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которая в нём находится.

 5) При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определённой величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv, то через t секунд скорость падения будет равна: v = mg/k(1-e^-kt/m),

где m -масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени e^-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.

Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.

V. Динамическая пауза.

VI. Решение показательных уравнений и неравенств.

В своей автобиографии Альберт Эйнштейн - величайший физик ХХ века – подчёркивает своё удивление, ощущение чуда, которые он испытал, перед, казалось бы, обычными явлениями. Именно умение удивиться и поставить вопрос там, где другие не видели ничего замечательного, - вот что сделало Эйнштейна наиболее выдающимся учёным. Понятно, что одного удивления, одной постановки вопроса недостаточно, и Эйнштейн соединил способность ставить вопрос с умением решить его, с владением всей нужной математической техникой.

Давайте повторим основные приёмы и способы решения показательных уравнений и неравенств.

Класс работает по группам. Каждая группа получает карточку с заданием. После обсуждения представитель от каждой группы отчитывается у доски.

Группа 1.

1. Перечислите основные способы решения показательных уравнений.
2. Решить уравнение:

1,5^3х-4 =*^х

Решение:

( )^3х-4 = ()^1-х

3х-4 = 1-х

4х = 5

Х =

Группа 2.

1. Проверьте решение уравнения. Исправьте, если неверно. Каким способом решается данное уравнение?

10^х - 5^х-1 * 2^х-2 = 950

10^х - 10* 5 = 950

10^х-2 (100 – 5) = 950

10^х-2 = 10

Х – 2 = 1

Х = 3

Группа 3.

1. На основании какого свойства показательной функции решается неравенство: 0,2^х 0.2⁵ ?
2. Проверьте решение неравенства. Исправьте, если неверно.

4 16

4 4²

у = 4^t - возрастающая

2

а) х+1 -2

Х -3

Ответ. .

 б) х+1 2

Х 1

Группа 4.

1. Получится ли неравенство, равносильное данному, если обе его части разделить на 12^х ?
2. Решите неравенство:

х² 5^х – 5^2+х 0

5^х (х² – 25) 0

Т.к. 5^х положительно, то

х² – 25 0

(х-5) (х+5) 0

-5 х 5

VII. Решение теста c последующей взаимопроверкой.

Ответы:

Тест

Показательная функция

Вариант 1

А1. Найдите область определения функции .

1. ( 0; 1);
2. (-∞; +∞);
3. (-∞;0] И[1; +∞);
4. (-∞;0)И(1; +∞).

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1. [-2; -1)
2. [-1; 1)
3. [1; 3)
4. [3; 5)

А3. Найдите сумму корней уравнения 64^х-17·8^х+16=0.

1. 
2. 
3. 5
4. 8

А4. График какой функции изображен на рисунке?

1. у = -2^х
2. у = 2^х
3. у = 2^-х
4. у = -2^-х

А5. Решите неравенство ≥ 4.

1. (-∞; -4)
2. (-4; +∞)
3. (-∞;-4]
4. [4; +∞;)

Тест

Показательная функция

Вариант 2

А1. Найдите область определения функции y=3.

1. ( 0; 1)
2. (-∞; +∞)
3. (-∞;0] И[1; +∞)
4. (-∞;0)И(1; +∞)

А2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1. (0; 1)
2. (4; 6)
3. (2; 4)
4. (1; 3)

 А3. Найдите сумму корней уравнения

1.  
2.  30
3.  5
4.  3

А4. График какой функции изображен на рисунке?

1. у = -3^х
2. у = 3^-х
3. у = 3^х
4. у = -3^-х

А5. Решите неравенство 0,2^х-2> 5.

1. (-∞; 2)
2. (1; +∞)
3. (-∞; 1)
4. (-∞; 0]

VIII. Домашнее задание:

1. Дифференцированное задание на карточках (задания из текстов ЕГЭ).
2. Подобрать материал о применении показательной функции в других разделах науки. (дополнительное задание по выбору).

IX Подведение итогов урока. Рефлексия.

Учащиеся получают оценки за урок. Во время устного обсуждения ребята осмысливают свою работу на уроке, отмечают особенно понравившиеся моменты, отмечают, что полезного получили каждый для себя, какие вопросы ещё остаются достаточно сложными.