Цели работы:

освоить алгоритм построения  таблиц истинности для логических функций;

научиться определять и анализировать функции проводимости переключательных схем.

Задачи:

• обучающие: закрепление знаний о логических операциях, освоение алгоритма построения таблиц истинности, умение определять и анализировать функции проводимости переключательных схем;
• развивающие: развитие умений и навыков построения таблиц истинности, внимания;
• воспитательные: воспитание аккуратности, терпения, усидчивости.

Тип урока: практическая работа.

Порядок  выполнения  работы.

Часть 1. Построение таблиц истинности для логических функций

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица.

На основе анализа логической связи между высказываниями делается логический вывод. Для получения логического вывода составляется  таблица истинности, в которой записывают все возможные комбинации каждого простого высказывания.

Работа ЭВМ как автоматических устройств основана исключи­тельно на математически строгих правилах выполнения команд, программ и интерпретации данных. Тем самым работа компьютеров допускает строгую однозначную проверку правильности своей работы в плане заложенных в них процедур и алгоритмов обработки информации. Это позволяет использовать математический аппарат для анализа и разработки логических устройств вычислительной техники.
Функцией логических переменных называют взаимосвязь логических переменных по законам логики. Значения входных переменных и выходных функций связаны некоторым преобразованием, которое реализует логическую функцию.

Логические операции

Инверсия (логическое отрицание)

Операция, выражаемая словом "не", называется логическим отрицанием (инверсией) делает истинное выражение ложным и, наоборот, ложное – истинным. Обозначается «».

Обозначение: НЕ, OА, , NOT A

Таблица истинности для логического выражения А имеет вид

Конъюнкция (логическое умножение)

Операция, выражаемая связкой "и", называется логическим умножением (конъюнкцией) и обозначается " U" (может также обозначаться знаками «?» (точка) или &). Высказывание АUВ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Обозначение: А и В, AUB, A?B, A AND B

Таблица истинности для логических переменных A и B

Дизъюнкция (логическое сложение)

Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется логическим сложением (дизъюнкцией) и обозначается знаком  U (или +).  Высказывание А U В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Обозначение: А ИЛИ В, AUB, A+B, A OR B

Таблица истинности для логических переменных A и B

В алгебре логики любую логическую функцию можно выразить через основные логические операции, записать ее в виде логического выражения и упростить ее, применяя законы логики и свойства логических операций. По формуле логической функции легко рассчитать ее таблицу истинности. Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок.
Приоритет выполнения логических операций:

• инверсия,
• конъюнкция,
• дизъюнкция.

Задание 1.

Построить таблицу истинности для логической функции  

1. Определить количество строк в таблице истинности, которое равно  количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение: количество строк = 2n, где n – количество переменных

Количество логических переменных – 3 (A, B, C) поэтому количество строк – 2n = 8.

2. Определить количество столбцов:

количество столбцов=количество переменных+количество операций.

Количество логических операций -5 (умножение – 2, сложение – 1, отрицание – 2), поэтому количество столбцов 3+5=8

3. Построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести возможные наборы значений исходных логических переменных.

4.Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

Задание 2.

Построить таблицы истинности для логических функций

1)

2)

3)

Часть 2. Построение логических выражений для переключательных схем.

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.
В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. При разработке схем  используется аппарат алгебры логики.
Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.
Будем считать, что два переключателя Х и связаны таким образом, что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю должна соответствовать переменная .
Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Функции проводимости F некоторых переключательных схем:

Любая сложная схема может быть преобразована в отдельные группы и представлена в виде логических функций нескольких переменных.

Задание 3.

Определить и проанализировать функцию проводимости переключательной схемы

рис.1

Функция проводимости имеет вид: F(a,b,c) = aU(bUc)

Построим таблицу истинности

Анализируя таблицу истинности, можно сделать логический вывод, что для прохождения тока необходимо и достаточно, чтобы были замкнуты переключатели a и b или a и c, или все три a, b, c.

Задание 4.

Определить и проанализировать функции проводимости переключательных схем.

1)

рис. 2

2)

рис. 3

3)

рис. 4

Литература:

1. Шауцукова Л. З. Информатика 10-11. – М.: Просвещение, 2004 г.