Цели работы:
освоить алгоритм построения таблиц истинности для логических функций;
научиться определять и анализировать функции проводимости переключательных схем.
Задачи:
- обучающие: закрепление знаний о логических операциях, освоение алгоритма построения таблиц истинности, умение определять и анализировать функции проводимости переключательных схем;
- развивающие: развитие умений и навыков построения таблиц истинности, внимания;
- воспитательные: воспитание аккуратности, терпения, усидчивости.
Тип урока: практическая работа.
Порядок выполнения работы.
Часть 1. Построение таблиц истинности для логических функций
Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Буль первым показал, что существует аналогия между алгебраическими и логическими действиями, так как и те, и другие предполагают лишь два варианта ответов – истина или ложь, нуль или единица.
На основе анализа логической связи между высказываниями делается логический вывод. Для получения логического вывода составляется таблица истинности, в которой записывают все возможные комбинации каждого простого высказывания.
Работа ЭВМ как автоматических устройств
основана исключительно на математически
строгих правилах выполнения команд, программ и
интерпретации данных. Тем самым работа
компьютеров допускает строгую однозначную
проверку правильности своей работы в плане
заложенных в них процедур и алгоритмов обработки
информации. Это позволяет использовать
математический аппарат для анализа и разработки
логических устройств вычислительной техники.
Функцией логических переменных называют
взаимосвязь логических переменных по законам
логики. Значения входных переменных и выходных
функций связаны некоторым преобразованием,
которое реализует логическую функцию.
Логические операции
Инверсия (логическое отрицание)
Операция, выражаемая словом "не",
называется логическим отрицанием (инверсией) делает
истинное выражение ложным и, наоборот, ложное –
истинным. Обозначается «
».
Обозначение: НЕ, OА, 
, NOT A
Таблица истинности для логического выражения А имеет вид
А |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
Конъюнкция (логическое умножение)
Операция, выражаемая связкой "и", называется логическим умножением (конъюнкцией) и обозначается " U" (может также обозначаться знаками «?» (точка) или &). Высказывание АUВ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
Обозначение: А и В, AUB,
A?B, A AND B
Таблица истинности для логических переменных A и B
А |
В |
А/\B |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Дизъюнкция (логическое сложение)
Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется логическим сложением (дизъюнкцией) и обозначается знаком U (или +). Высказывание А U В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Обозначение: А ИЛИ В, AUB, A+B, A OR B
Таблица истинности для логических переменных A и B
А |
В |
А U B |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
В алгебре логики любую логическую
функцию можно выразить через основные
логические операции, записать ее в виде
логического выражения и упростить ее, применяя
законы логики и свойства логических операций. По
формуле логической функции легко рассчитать ее
таблицу истинности. Необходимо только учитывать
порядок выполнения логических операций
(приоритет) и скобки. Операции в логическом
выражении выполняются слева направо с учетом
скобок.
Приоритет выполнения логических операций:
- инверсия,
- конъюнкция,
- дизъюнкция.
Задание 1.
Построить таблицу истинности для
логической функции 
1. Определить количество строк в таблице истинности, которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение: количество строк = 2n, где n – количество переменных
Количество логических переменных – 3 (A, B, C) поэтому количество строк – 2n = 8.
А |
|
С |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2. Определить количество столбцов:
количество столбцов=количество переменных+количество операций.
Количество логических операций -5 (умножение – 2, сложение – 1, отрицание – 2), поэтому количество столбцов 3+5=8
3. Построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести возможные наборы значений исходных логических переменных.
А |
|
С |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
4.Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности
Задание 2.
Построить таблицы истинности для логических функций
1) 
2) 
3) 
Часть 2. Построение логических выражений для переключательных схем.
Переключательная схема — это схематическое
изображение некоторого устройства, состоящего
из переключателей и соединяющих их проводников,
а также из входов и выходов, на которые подаётся и
с которых снимается электрический сигнал.
В компьютерах и других автоматических
устройствах широко применяются электрические
схемы, содержащие сотни и тысячи
переключательных элементов: реле, выключателей и
т.п. При разработке схем используется аппарат
алгебры логики.
Каждый переключатель имеет только два состояния:
замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х
поставим в соответствие логическую переменную х,
которая принимает значение 1 в том и только в том
случае, когда переключатель Х замкнут и
схема проводит ток; если же переключатель
разомкнут, то х равен нулю.
Будем считать, что два переключателя Х и
связаны таким образом,
что когда Х замкнут, то разомкнут, и наоборот. Следовательно,
если переключателю Х поставлена в соответствие
логическая переменная х, то
переключателю должна
соответствовать переменная .
Всей переключательной схеме также можно
поставить в соответствие логическую переменную,
равную единице, если схема проводит ток, и равную
нулю — если не проводит. Эта переменная является
функцией от переменных, соответствующих всем
переключателям схемы, и называется функцией
проводимости.
Функции проводимости F некоторых переключательных схем:
1) |
|
Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1; |
2) |
|
Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0; |
3) |
|
Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x; |
4) |
|
Схема проводит ток, когда
переключатель х разомкнут, и не
проводит, когда х замкнут, следовательно, (x) = |
5) |
|
Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x,y) = x Uy; |
6) |
|
Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x,y)=x U y; |
;
Любая сложная схема может быть преобразована в отдельные группы и представлена в виде логических функций нескольких переменных.
Задание 3.
Определить и проанализировать функцию проводимости переключательной схемы
рис.1
Функция проводимости имеет вид: F(a,b,c) = aU(bUc)
Построим таблицу истинности
a |
b |
c |
bUc |
aU(bUc) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Анализируя таблицу истинности, можно сделать логический вывод, что для прохождения тока необходимо и достаточно, чтобы были замкнуты переключатели a и b или a и c, или все три a, b, c.
Задание 4.
Определить и проанализировать функции проводимости переключательных схем.
1)
рис. 2
2)
рис. 3
3)
рис. 4
Литература:
1. Шауцукова Л. З. Информатика 10-11. – М.: Просвещение, 2004 г.