Внеклассная работа по математике

Основной вопрос: “Где светят царственные числа”?

Проблемный вопрос: Чем связаны литература и искусство?

Учебные вопросы:

• Как связаны математика и русская классическая литература?;
• Пропорциональность, теория перспективы и “золотое сечение” в живописи и скульптуре;
• Музыка и математика.

Дидактические цели:

• Приобретение навыков самостоятельной работы с большими объёмами информации;
• Умение увидеть проблему и наметить пути её решения;
• Формирование навыков работы в команде.

Методические задачи:

• Освоить представление “золотого сечения”, теории перспектив, проекции в искусстве;
• Уметь находить математическую закономерность в музыке;
• Уметь находить в большом объёме художественной литературы высказывания о математике и математиках.

Темы самостоятельных исследований:

• “Литературная математика”
• “Математика в искусстве”
• “Математика в музыке”

Этапы проведения проекта: теоретический материал, формулирование тем исследований учащихся, формирование групп для проведения исследований, выдвижение гипотез, обсуждение плана индивидуальной и групповой работы учащихся, обсуждение возможных дополнительных источников информации, самостоятельная работа групп по выполнению заданий, подготовка учащимися презентации по отчету о проделанной работе, защита полученных результатов и выводов.

Приложение 1

Теоретический материал.

Музыка и математика.

Музыканты редко увлекаются математикой. Спросите любого: даже если он и уважает математику, все же старается держаться от нее подальше. Помните этот вечный спор между Моцартом и Сальери? Один был гений, другой – талант. Гений – Моцарт – считал, что искусство надо чувствовать и служить ему беззаветно. Талант – Сальери – говорил, что искусство надо творить, просчитывать, ставить на службу себе. Между тем, музыканты, даже те, которые не проверяют алгеброй гармонию, как Сальери у Пушкина, соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают.

Все знают, что Пифагор был ученым, автором знаменитой теоремы, но то, что он был блестящим музыкантом, известно далеко не каждому. Сочетание этих дарований позволило Пифагору первым догадаться о существовании природного звукоряда.

Пифагору принадлежит и математическое объяснение основ гармонии. Суть гармонии такова: наиболее естественно воспринимаются ухом частоты, которые находятся между собой в простых числовых соотношениях.

Оказывается, длины 3-х струн, дающих ноты “до”, “ми”, “соль” (самый благозвучный аккорд – мажорный) относятся, как числа 1:4/5:2/3, а числа колебаний струны, как 1:5/4:3/2.

Наше ухо способно воспринимать частоту звука от 16 до 4700 герц. В этом диапазоне человек может различить по высоте около полутора тысяч музыкальных звуков. Но в музыке используются около сотни звуков, причем, в зависимости от частоты звуки имеют свое название. Например, звуки с частотами 55, 110, 220, 440, 880, 1760, 3520 герц называются “ля”. И как бы ни удваивалась эта частота, мы будем слышать все тот же звук “ля”. Каждая из этих частот завершает одну октаву и открывает другую. За основу берется звук “ля” первой октавы, частота которого на всех инструментах равна 440 герц. Семь нот внутри октавы для музыки так же естественны, как десять пальцев для арифметики.

Можно также доказать, что играя на клавишах рояля, мы играем на логарифмах, только не по основанию 10, как обычно принято, а по основанию 2.

Положим, что нота “до” самой низкой (нулевой) октавы определена n колебаниями в секунду, тогда “до” первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-ой октавы n? 2 ^m колебаний. Обозначим все ноты темперированной гаммы рояля номерами p, принимая основной тон “до” каждой октавы за нулевой; тогда например, тон “соль” будет 7-ой, “ля” будет 9-й и т.д. 12-й тон будет снова “до”, только уже октавой выше. Так как в темперированной гамме рояля каждый следующий тон имеет в большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

N_pm = n ? 2^m ()^p

Прологарифмируем эту формулу по основанию 2:

log₂N_pm = log₂ n + mlog₂ 2 + p , или

log₂N_pm = log₂ n + (m + )log₂2, принимая число колебаний самого низкого “до” за единицу (n = 1), получаем log₂ N_pm = m + , т.е. видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.

Математик Лейбниц в 1712 году дал такое определение музыки: “Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом”.

Живопись, скульптура и математика.

Наряду с математической теорией музыки существует и математическая теория живописи. Это теория перспективы, которая по словам Леонардо да Винчи “…силою линий заставляла казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико”.

Леонардо да Винчи впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков, удаляющихся вглубь картины, дает правило построения изображений на цилиндрических и сферических сводах. Он математически обосновал правила распределения теней на полотне, характер отражения и изменения окраски предметов.

Очень большое значение придавал Леонардо связи отношений размеров человеческого тела с формулой “золотого сечения”. “Золотое сечение” выражается пропорцией, в которой в качестве среднего пропорционального между всем отрезком (а) и его меньшей частью (в) выступает большая часть отрезка (с), т.е. а : с = с : в. Для нормально развитого человеческого тела эти пропорции в общем характерны. Эталоном мужской красоты считается фигура Аполлона Бельведерского. Оказывается, если ее высоту разделить в отношении “золотого сечения” и то же самое проделать с руками, ногами, верхней частью туловища, то точки деления придутся на анатомически важные пункты: талию, адамово яблоко, коленную чашечку… Так вот, талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”: а : с = 1,618. У мужчин эта величина чаще всего 1,625, а у женщин – 1,6, так что пропорции мужчины ближе к “золотому сечению”, т.е. к идеальным, чем пропорции женщин. Для новорожденного отношение это равно 2, т.е. талия ребенка делит его рост пополам.

Существует предание о том, как в конце XV века во Флоренции была раскопана статуя богини Венеры и как пораженный совершенством женского тела Леонардо да Винчи, взяв в руки инструменты, принялся измерять пропорции его. “Стоя на коленях рядом с Венерой, вынул он циркуль, угломер, полукруглую медную дугу, наподобие тех, какие употреблялись в математических приборах, и с выражением упорного, спокойного и проникновенного любопытства в холодных, светло-голубых глазах и тонких плотно сжатых губах, начал мерить различные части прекрасного тела… Ножки циркуля складывались и раздвигались, описывая правильные геометрические фигуры…”.

Очень много внимания уделял вопросам пропорций и перспективы в живописи современник Леонардо да Винчи, один из самых замечательных немецких живописцев, непревзойденный мастер гравюр Альбрехт Дюрер. В частности он утверждал, что хотя “человеческое тело не может быть вычерчено с помощью циркуля и линейки, но должно быть нарисовано от точки к точке. Без правильных же измерений никто не может сделать ничего хорошего”.

О пропорциях человеческого тела Дюрер, основываясь на собственном опыте и трудах древних, говорил: “Лицо от подбородка до верха, где начинаются волосы, составляет десятую часть человека. Такую же длину имеет вытянутая ладонь. Голова же человека составляет восьмую часть; от верхней части груди до того места, где начинаются волосы – одна шестая часть. Если же разделить лицо на три части от волос до подбородка, то в верхней будет лоб, во второй – нос, в третьей – рот с подбородком. Также ступня составляет шестую часть человека, локоть – четвертую, грудь – четвертую часть”.

Если положить на землю человека с распростертыми руками и ногами и поставить ножку циркуля в пупок, то окружность коснется рук и ног. И подобным образом строится квадрат: если измерить длину от ног до макушки, то ширина распростертых рук будет равна этой длине. Отсюда выводится квадратное строение. [ 6 ]

Дюрер портил великолепные гравюры, вписывал в них окружности, квадраты, треугольники. Не щадил ни Аполлонов, ни Венер. Объяснялось это просто: он пытался разложить человеческое тело на геометрические фигуры, вычислить их размеры и высчитать соотношения. Потом решал задачу в обратном порядке: громоздил друг на друга геометрические фигуры, обводил их карандашом и получал контур Аполлона.

На основе теоретического материала учащимся предложено подготовить буклет “Математика в искусстве”

Приложение 2

Математика и литература.

Учащимся предложено подготовить презентацию, в которой выполнена исследовательская работа, целью которой является поиск в литературных произведениях математических задач, логических рассуждений и высказываний о математике.

Пример работы ученика: А. Блок “Скифы”:

Мы любим всё – и жар холодных чисел,
И дар божественных видений,
Нам внятно всё – и острый гальский смысл,
И сумрачный германский гений.

В. Брюсов “Числа”:

Мечтатели, сибиллы и пророки,
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли – вне сознания – далеко,
Туда, где светят царственные числа.
Предчувствие разоблачает тайны,
Проводником нелицемерным светит:
Едва откроется намек случайный,
Объемлет нас не предсказанный трепет…
Вам поклоняюсь, вас желаю, числа,
Свободные, бесплатные, как тени,
Вы радугой связующей повисли
К раздумиям с вершины вдохновенья!

Л. Толстой :

“Человек есть дробь. Числитель – это сравнительно с другими – достоинства человека; знаменатель – это оценка человеком самого себя. Увеличить своего числителя – свои достоинства – не во власти человека, но всякий может уменьшить свой знаменатель – свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству”

Ф.Достоевский “Братья Карамазовы” :

…Но вот что, однако, надо отметить: если бог есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он её по Евклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, … которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная… была создана лишь по Евклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые по Евклиду ни за что не могут сойтись на земле, может быть и сошлись бы где-нибудь в бесконечности…

А. Чехов: “Каникулярные работы институтки Наденьки Н.”

“Три купца внесли для одного торгового предприятия капитал, на который через год было получено 8000 рублей прибыли. Спрашивается: сколько получил каждый из них, если первый внес 35000 рублей, второй 50000 рублей и третий 70000 рублей?”

А. Пушкин: “Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии”.

А.Н.Уайтхед: “История человеческой мысли, игнорирующая в ней роль математики, есть постановка на сцене “Гамлета”, если не без самого Гамлета, то по меньшей мере без Офелии”

Вывод: искусство надо принимать сердцем, душой и служить ему, но тем не менее, если мы попытаемся приложить математику к какой-то области искусства, то наша попытка, скорее всего увенчается успехом.

Приложение 3

Пример работы ученика

Кроссворд “Литературная математика”.

1. Автор знаменитой комедии, в которой преподавал Цыфиркин

а) Д.Фонвизин;
б) Н.Некрасов;
в) В.Астафьев

2. Кто написал известный рассказ “Федина задача”?

а) А.Чехов;
б) Н.Носов;
в) В.Скотт.

3. Кому принадлежат слова “мы любим все - и жар холодных чисел…”?

а) А.Дюма;
б) М.Твен;
в) А.Блок.

4. Известный русский поэт, автор строк “Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии”.

а) А.Пушкин;
б) Н.Гоголь;
в) С.Маршак.

5. В произведении какого автора братья Карамазовы ведут разговор про евклидову геометрию?

а) К.Паустовский;
б) Е.Баратынский;
в) Ф.Достоевский.

6. Известная комедия про нерадивого ученика Митрофанушку.

а) “Протекция”;
б) “Недоросль”;
в) “Опытность”.

7. Какой русский писатель сравнивал человека с дробью?

а) Л.Толстой;
б) М.Зощенко;
в) М.Пришвин

8. Автор рассказа, где институтка Наденька решает задачу про трех купцов.

а) С. Голон;
б) П.Бажов;
в) А.Чехов.

9. Какой поэт в своем стихотворении поклонялся “царственным числам”?

а) Ф.Тютчев;
б) А.Майков;
в) В.Брюсов.

Ты просто гений!

Теперь ты знаешь, что еще кроме литературы связано с математикой.

Приложение 4

Итоговый тест.

1. Известный русский поэт, автор строк “Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии”.

а) А.Пушкин;
б) Н.Гоголь;
в) С.Маршак.

2. Какая теория по словам Леонардо да Винчи “силою линий заставляла казаться отдаленным то, что близко”?

а) теория отношений;
б) теория перспективы;
в) теория чисел.

3. Чему равно основание логарифмов, связывающих номера клавиш с числами колебаний соответствующих звуков?

а) 10;
б) 2;
в) 4.

4. В произведении какого автора братья Карамазовы ведут разговор про евклидову геометрию?

а) К.Паустовский;
б) Е.Баратынский;
в) Ф.Достоевский.

5. Кто математически объяснил основы гармонии?

а) Моцарт;
б) Пифагор;
в) Сальери.

6. Кто впервые математически обосновал правило распределения теней на полотне?

а) Микеланджело;
б) Рафаэль;
в) Леонардо да Винчи.

7. Какой русский писатель сравнивал человека с дробью?

а) Л.Толстой;
б) М.Зощенко;
в) М.Пришвин.

8. Кто из современников Леонардо да Винчи вписал человеческое тело в окружность и квадрат?

а) Дюрер;
б) Рафаэль;
в) Микеланджело.

9. Автор слов: “Музыка есть арифметическое упражнение души, которое исчисляется, не зная об этом”.

а) И.Ньютон;
б) М.Твен;
в) Лейбниц.

10. Какой поэт в своем стихотворении поклонялся “царственным числам”?

а) Ф.Тютчев;
б) А.Майков;
в) В.Брюсов.

Спасибо за ответы!

Ключ к тесту:

Список литературы:

1. Б.В.Гнеденко “Математика в современном мире”, Москва “Просвещение”.
2. Л.М.Фридман “Учитесь учиться математике”, Москва “Просвещение”.
3. С.Газарян “В мире музыкальных инструментов”.
4. Д.С.Мережковский “Воскресшие боги Леонардо да Винчи”.
5. ЖЗЛ С.Зарницкий “Дюрер”.
6. И.Г.Зенкевич “Эстетика урока математики”.
7. Детская энциклопедия, том 12 “Искусство”.
8. Энциклопедия “Я познаю мир”.