Урок алгебры в 9-м классе по теме "Основы теории вероятностей и математической статистики"

Тема урока: Введение в теорию вероятностей и комбинаторику

Основные цели и задачи урока: Ввести основные понятия изучаемого предмета: события, их виды, вероятность. Развивать умения решать задачи по теме, логическое мышление, математический кругозор. Воспитывать культуру письменной и устной математической речи.

Тип урока: урок -лекция с элементами практикума.

Ход урока

I. Организационный момент. Вводная беседа.

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдаются те или иные явления, проводят определенные эксперименты. В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями, то есть такими событиями, которые могут произойти или не произойти. Например, поражение мишени или промах при выстреле - случайные события. Выигрыш команды во встрече с соперником, поигрыш или ничейный результат - это тоже случайные события. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. И даже в газете читаем: вероятность долговременного прогноза погоды на неделю - 80%. Каждый из нас не отделен от окружающего мира глухой стеной, да и в своей жизни мы ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями. Проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных ситуациях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов личности. Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики, и в частности ее раздел ''математическая статистика''. Что же изучает математическая статистика? Рассмотрим пример: Лампочка считается стандартной, если она горит не менее 1400 часов. Как проверить партию лампочек на стандартность? Что можно предположить и какие сделать выводы? Данные о времени "горения" каждой лампочки - статистические данные. Математическая статистика - это раздел математики, который изучает методы обработки и классификации статистических данных для получения научно - обоснованных выводов и принятия решений. В связи с тем, что статистические данные зависят от случайных факторов, математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой. В наши дни результаты наблюдений используют для статистической оценки качества изготовляемой продукции и для управления качеством в процессе производства. И на производстве и в научных экспериментах очень важно бывает проверить, насколько неизменны условия наблюдения. Например, на технологической линии была изменена какая - то операция. Не сказалась ли эта замена на качестве продукции? Статистические гипотезы могут быть самыми разнообразными: сорт пшеницы А урожайнее сорта В, лекарство А не оказывает положительного воздействия на больных болезнью В.Статистика приводит к более общим зависимостям переменных, чем те, которые даются посредством функций. Например, изучается зависимость высоты сосен от их диаметра. Если мы начнем сравнивать эти характеристики, то найдем множество сосен одной и той же высоты, но разного диаметра или же одного диаметра, но разной высоты. Функциональной зависимости между высотой и диаметром нет, однако общая тенденция такова, что с увеличением высоты в среднем увеличивается и диаметр. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической основе. Теория вероятностей есть математический анализ понятия случайного эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиями этой теории.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зверя гораздо больше, чем у одного. Поэтому о охотились тогда коллективно. Необоснованно было бы думать. Что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Позднее, с опытом, человек все чаще и чаще стал взвешивать события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайность не так уж редко управляют объективные закономерности.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большей серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: "Это очень возможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это никогда не случится". Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; завтра на уроке математике вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить.

Все это примеры событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

II. Сообщение темы и целей урока

III. Изучение нового материала

- Определим виды событий.

Достоверное событие, которое происходит при каждом эксперименте (исходе).

Невозможное событие, которое никогда не может произойти.

Случайное событие, достоверность которого выясняется после эксперимента.

- Дадим определения и приведем примеры.

Каждое случайное событие - есть следствие действия очень многих случайных величин. (Сила, с которой брошена монета, форма монеты и многое другое). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, так как число их велико и законы действия неизвестны. Теория вероятностей и не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет - она просто не в силах это сделать. Если же речь идет о массовых однородных случайных событиях, то они подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

- Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений "герба", если монета будет брошена достаточно большое количество раз.

В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово "комбинаторика" происходит от латинского слова combinare, которое означает "соединять, сочетать".

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

- Рассмотрим пример. Пусть имеются две (три, четыре, пять) книг. Как можно расставить эти книги на полке? Обозначим эти книги a,b (c,d,e), :

Сколько способов, как подсчитать?

1!= 1

2! = 1*2

3! =1*2*3 = 6

4! = 1*2*3*4 = 24

5! = 1*2*3*4*5 = 120

Напрашивается гипотеза: число перестановок n предметов, равно произведению первых n натуральных чисел. Р_n = n! = 1*2*3*4*:*n

- Рассмотрим еще один пример. Семь букв разрезной азбуки А,А,Б,Б,К,У,Ш положены в мешок, откуда их вынимают наудачу и располагают одну за другой в порядке, в котором они появляются. В результате появляется слово БАБУШКА. Занумеруем А₁,А₂, Б₃, Б₄, К₅, У₆, Ш₇. карточки можно расположить по порядку 7! = 5040 способами. Слово БАБУШКА появится в четырех.

Б₃А₁Б₄У₆Ш₇К₅А₂

Б₃А₂Б₄У₆Ш₇К₅А₁

Б₄А₁Б₄У₆Ш₇К₅А₂

Б₄А₂Б₄У₆Ш₇К₅А₁

Говорят, что из общего числа случаев (5040) четыре случая благоприятствуют появлению интересующего нас события. Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу случаев называют вероятностью события. Р=. Вероятность эта очень мала и наше событие действительно "маловероятно".

- В чем практический смысл этой задачи? Если много раз повторить испытания с буквами, то примерно один раз на 1260 испытаний произойдет наше событие (само собою сложится слово БАБУШКА)

Аналогично можно рассчитать, что из четырех букв А,А,М,М слово МАМА будет складываться с вероятностью Р=.

Равновозможные случаи. Игральная кость - кубик, на гранях которого обозначено число очков от 1 до 6. выбросив 2 кости, можно получить сумму очков на верхних гранях от 2 до 12. Можно было бы думать, что в задаче имеется 11 возможных случаев и вероятность появления каждого из них равна 1/11. Но это не так. Почему? Опыт показывает, что сумма 7 появляется много чаще, чем сумма 12, т.к. 12 получается только как 6+6, а 7 многими способами:1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7 (1+6 и 6+1 различные возможности). В основу подсчета вероятностей здесь надо положить рассмотрение всех 36 случаев.

Все эти случаи равновозможны. При большом числе повторений эти 36 случаев появляются примерно одинаково часто.

Какие же события называются равновозможными?

Равновозможными называются события, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Приведите примеры. Появление герба и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости - равновозможные.

IV. Закрепление материала

Решим задачи:

1. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

2.Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг - это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

3. ученик записал в тетрадь произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

4.На полке стоит 12 книг, из которых 4 - это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

V. Подведение итогов.

• Что узнали?
• Что такое математическая статистика.
• Что изучает теория вероятностей.
  • Виды событий.
  • Перестановки.
  • Вероятность.
  • Равновозможные события.

VI. Рефлексия

- Ответить на вопросы теста (тесты раздаются группам в печатном виде, учащиеся подчеркивают верные варианты ответа; используется мультимедийная презентация).

1. Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов бытового обслуживания, способы пошива комбинезонов, способы решения задач на различные комбинации объектов.
2. Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно воспользоваться правилом: сложения, умножения, возведения в степень.
3. Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать формулы: сочетаний, сокращенного умножения, теорему Пифагора.
4. 5! - это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5, произведение натуральных чисел от 1 до 5 (вычислите).
5. Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой, переэкзаменовкой, экзаменационной комиссией (как?).
6. Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера-визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, повара (добавьте свой пример)

- Спасибо за урок.