Урок по алгебре в 8-м классе по теме: "Теорема Виета. Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений общего вида"

Цель урока: Сформулировать приём, позволяющий свести решение уравнения общего вида к нахождению целых корней вспомогательного уравнения и решение с применением теоремы Виета.

Образовательные задачи урока: Обеспечить закрепление теоремы Виета. Научить учащихся решать квадратные уравнения общего вида, с использованием теоремы Виета. Привить навыки устного решения квадратных уравнений общего вида.

Воспитательные задачи урока: Способствовать выработке у школьников умения обобщать факты, содействовать стремлению к личностному росту учащихся; развивать самостоятельность путём использования ИКТ для выполнения упражнений, навыки групповой и парной работы, самооценку собственных достижений.

Формы работы на уроке:

• групповая работа
• индивидуальная работа
• фронтальная работа
• парная работа

Методы работы на уроке:

• компьютерное состязание (тренажёр на время)
• взаимопроверка
• беседа
• создание проблемной ситуации и открытие знаний в результате проблемного диалога.
• работа с электронными учебниками.
• поощрение
• работа в тетрадях

План урока:

Конспект урока:

Организационный момент. Обеспечение техники безопасности, постановка цели урока. Создание условий для успешной совместной деятельности (Работа на уроке оценивается бальной системой, ведётся электронный журнал).

Проверка домашнего задания (электронный журнал к уроку). ( Слайд №3 «ссылка на проверка домашнего задания»).

Домашнее задание было трёх уровней: А, В и С.

Задание на дом: §29

Задачи трёх уровней: (Решения задач даны в Microsoft office на компьютерах для сверки с домашним заданием учащихся)

Уровень А.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

А)

Б)

Решение:

А) по теореме Виета:

Ответ: сумма корней равна 16, а произведение равно 28.

Б) по теореме Виета:

Ответ: сумма корней равна 12, а произведение равно -45.

2.Пользуясь теоремой обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Решение: -общий вид приведённого квадратного уравнения.

,

Уравнение имеет вид:

Если умножить обе части уравнения на какое-нибудь число, то получим новое равносильное уравнение. Например:

Уровень В.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

А)

Б)

Решение:

А) По теореме Виета

Б)

Приведём к виду . Для этого разделим обе части уравнения на 2, получим:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и

Решение:

Уравнение имеет вид:

Уровень С. (2балла)

Пример.

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна 4.

Разбор задания С. (Слайд №3 «ссылка на уровень С»).

Уровень С.

Пример.

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна 4.

Решение: По условию задачи уравнение должно быть разрешимо, т.е. и где - корни уравнения.

Значит:

так как по теореме Виета

Тогда

Ответ: a=0

Устный опрос учащихся (взаимопроверка и выставление баллов в карточку учёта результатов, в ходе урока результаты заносятся в электронный журнал).

Учитель: (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Какое уравнение называется квадратным.

Учащиеся:

Квадратным уравнением называется уравнение , где - заданные числа

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Какое квадратное уравнение называется приведённым.

Учащиеся:

Квадратным уравнение вида называется приведённым. В этом уравнении старший коэффициент равен единице.

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Как привести квадратное уравнение к приведённому виду.

Учащиеся:

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду делением обеих частей уравнения на

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Сформулируйте теорему Виета

Учащиеся:

Если и - корни уравнения то справедливы формулы , , т.е сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета

Учащиеся:

Если числа таковы, что , , то и - корни уравнения

Учитель (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Зачем нужна теорема Виета.

Учащиеся:

• Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его;
• Зная один корень, найти другой;
• Определить знаки корней уравнения;
• Подобрать корни уравнения, не решая его

Устный счёт с использованием электронного тренажёра (в начале оранжевые карточки, затем жёлтые, в ходе устного счёта «компьютерное тестирование» проходят все учащиеся класса). Математика 5-11 (Практикум. Лаборатория. Тренажёр для устного счёта).

(фиксируется время 2 мин. Решить приведённые квадратные уравнения, предложенные случайным образом компьютером, после работы компьютер выдаёт протокол результатов, и дети заносят их в карточку учёта результатов, в ходе урока результаты заносятся в электронный журнал). Учащиеся за партами работают с таблицей на карточках и проверяют совместно с учителем на электронной таблице, которая показывает правильность найденных ответов.

При выполнения первые выполняют 1-4 примеры, последующие 5-8 примеры: (Слайд№10 «ссылка переход к тесту»)

 

Проблемное задание (работа в группах), задания на красных листочках.

Учитель: Решите уравнение:

(Слайд№11)

Учащиеся решают разными способами, которые известны (через дискриминант, кто-то пытается через теорему Виета). Решая теоремой Виета, учащиеся получают .

Такие числа подобрать очень сложно (возникает проблема у учащихся).

Учитель:

Подобрать два числа, сумма которых равна (), а произведение корней равно () не так просто. Для преодоления возникающей трудности мы будем использовать приём, позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного уравнения.

Итак, открыли тетради, запишем дату и тему сегодняшнего урока. (Слайд№12)

(Объяснение нового материала на доске с использованием проблемно-диалогического метода).

Пусть требуется решить квадратное уравнение

(Для него ).

Умножив обе части данного уравнения на , перепишем его в виде

Обозначим , получим уравнение. Это приведённое квадратное уравнение. В полученном уравнении, т.е.

т.е. . Теперь видно, что для решения исходного уравнения достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение и его корни разделить на . Показывается связь между уравнениями и

Для практического применения этого приёма мы формулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на a.(Слайд№13)

Покажем это на конкретных примерах. (Слайд№14) Возьмём наше уравнение

Запишем вспомогательное уравнение , имеющее корни Следовательно, исходное уравнение имеет корни

Далее идёт решение №444 (1,3) с использованием теоремы Виета. Первый пример учитель решает у доски сам, далее у доски решают учащиеся 3 пример и пример из карточки. Решите уравнения:

У каждого на парте имеются карточки с заданиями.

1. 
2. 
3. 
4. 

Инструкция: «перебросить» коэффициент в свободный член, найти корни нового уравнения и разделить их на a.

Ребятам предлагается дополнительно работать с электронным учебником Алгебра 7-11. Электронный учебник справочник. Квадратные уравнения. Сильные учащиеся обычно сразу же обращаются к компьютерам.

Идёт самостоятельная работа за компьютерами и за партами. Индивидуальная работа учащихся, самооценка и коррекция знаний с использованием ИКТ.

Рефлексия: В заключение урока была организована самооценка собственной деятельности. На данном этапе были ярко выражены основные идеи урока, подведены итоги работы в группах и представлены вывода о значимости нового способа решения уравнений для дальнейшего обучения.

На уроке в качестве «яркого пятна» используется «Линия времени» электронного учебника «Математика 5-11. Практикум. Интерактивная линия жизни учёных математиков». (Слайд№15)

Подведение итогов урока:

Представление результатов по этапам урока в электронной форме: в виде таблиц и диаграмм.

Выставление оценок, распечатка результатов

Материалы к уроку