Тригонометрические уравнения (10-й класс)

Цель урока:

1. Рассмотреть решение различных тригонометрических уравнений всеми изученными методами.
2. Показать прикладную направленность данной темы.
3. Способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений.
4. Выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала.
5. За неделю до проведения семинара всем учащимся даются задания Приложение 1 и на стенде помещается план семинара
   Приложение 2.

Класс разбивается на шесть групп и каждая группа получает одно из заданий, перечисленных в плане урока; седьмое задание беру себе. Каждая группа при подготовке к уроку прорабатывает соответствующие разделы учебника, используя дополнительную литературу, предложенную учителем, получает консультацию.

Учащиеся представляют тетради, в которых записаны схемы решения каждого из простейших тригонометрических уравнений Приложение 3.

1. Представитель 1-й группы делает доклад об истории развития тригонометрии.
2. Представитель 2-й группы объясняет решение уравнений:

1)

Пусть

3t² – t – 2 = 0; t₁ = 1,

или

2) 2 sin² 2x + 5sin2x – 3 = 0

Пусть sin2x = t

2t² +5t – 3 = 0; t₂ = –3 – постоянный корень, т.к. .

, , .

3. Представитель третьей группы показывает решение уравнений:

1) 4sin²x + cosx –

После преобразований получим

и

Ответ: ; ;

2)

3) При каких значениях x принимают значения функции y = 1 + cosx и y = – cos2x ?

4) Представитель четвертой группы объясняет решение однородных тригонометрических уравнений.

Они обладают тем свойством, что сумма показателей степеней при sinx и cosx у всех членов уравнения одинаковая. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Решаются эти уравнения делением на cosx, cos²x, cos³x, …., cosⁿx и сводятся к

3) Еще один представитель этой же группы предлагает рассмотреть решение следующего уравнения:

6sin²x + sinxcosx – cos²x = 2.

Это уравнение не является однородным, т.к. правая часть не нуль, но его легко свести к однородному, используя формулу cos² x + sin² x = 1.

Полученное однородное уравнение разделим на получим квадратное уравнение:

4tg²x + tgx – 3 = 0

Заменять tgx через вспомогательную переменную необязательно,

Замечание: Уравнение 2 sin x * cos x – 2 cos² x = 0 почленно нельзя делить на cos x², т.к.

5. Представитель пятой группы учащихся объясняет решение тригонометрических уравнений разложением на множители:

6. Представители шестой группы решают физические задачи и объясняют прикладную направленность тригонометрических уравнений.

1) Спортсмен на соревнованиях, проходивших в Осло, послал копье на 90м 86см. На каком расстоянии приземлилось бы копье, если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения в Осло равно 9,819 м/с², а в Токио – 9,798 м/с².

2) Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 40°, определить коэффициент трения.

7. Решение уравнений различными способами.

Рассматриваем решение двумя способами Приложение 4.

2) sin x – cos x = 1/

Рассматриваем решение пятью способами Приложение 4.

8. Самостоятельная работа Приложение 5.