Интегрированный урок по теме "Площадь криволинейной трапеции"

Цели:

Образовательные:

• закрепить изученный материал: правила нахождения первообразных, формулу для вычисления площади криволинейной трапеции;
• выработать у учащихся навыки использования теории нахождение площади криволинейной трапеции при решении разнообразных задач;
• сформулировать целостную систему полученных знаний;
• уметь вычислять площадь фигуры, ограниченной линиями, строить графики в координатной плоскости, выполняя их преобразования, работа на компьютере, находить конкретную первообразную в указанной точке.

Развивающие:

• развитие познавательных интересов, самостоятельности, логической мыслительной деятельности, коммуникативных качеств.

Воспитательные:

• мотивировать к учебной деятельности, прививать любовь к предмету, через различные виды деятельности,
• продолжить формирование умения работать в парах.

Тип урока: интегрированный

Формы, применяемые на уроке: устная работа, работа в парах, самостоятельная работа, работа на компьютере.

Используемые технологии: личностно-ориентированные, ИКТ, диалоговые, технология сотрудничества.

План

I. Организационный момент.
II. Проверка домашней работы .
III. Индивидуальный опрос (у доски по карточкам).
IV. Устный счет.См. презентацию (Приложение 1).
V. Историческая справка.См презентацию (Приложение 2).
VI. Решение задачи из ЕГЭ. (Приложение 3).
VII. Самостоятельная работа в группах.
Теоретики выполняют работу по нахождению площади криволинейной трапеции в тетрадях, практики на компьютере. Решение показывают на экране всем учащимся после проверки результатов.

VIII. Дополнительные задания. (Приложение 4). Тесты по теме:
IX. Итог урока.
X. Домашнее задание. См. презентацию. из учебника № 356 (а), № 157 (в, г).
Урок сопровождается презентацией.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашней работы

Ассистенты докладывают о проверке домашней работы.

III. Индивидуальный опрос у доски по карточкам

Задача 2

При каком значении параметра а прямая х = а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³, у = 2, у = 0, пополам?

Решение:

В одной системе координат построим кривые, заданные в условии

F (x) = Sф = F (2) – F (0) = По условию задачи половина площади , поэтому S2 = F(a) – F(0) = Ответ: при (рис 3.)

Задача 3.(связь с физикой)

Точка движется прямолинейно с ускорением (t) = 12+4. Найдите закон движения точки, если в момент t = 1сек, её скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения равна 1м/с²).

Решение:

Найти общий вид первообразных для функции а(t) = 12t+4. Это v(t) = 4t³ + 4t + c₁

При t = 1c имеем v(t) = 10 м/с, 10 = 4 + 4 + с₁ , итак, с₁ = 2. v(t) = 4t³ + 4t +2.

Далее находим общий вид первообразных для функции v(t) = 4t³ + 4t +2. Это x(t) = t⁴ + 2t² + 2t +c₂;

при t = 1, x(1) = 12 12 = 1+2+2+c₂ и с₂ = 7.

Искомый закон движения х(t) = t⁴ + 2t² + 2t +7.

Ответ: х(t) = t⁴ + 2t² + 2t +7.

IV. Устная работа

№ 1. Назовите площадь заштрихованной фигуры, как сумму или разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.

Ответ:

а) S_ф = S_AOB+ S_OBC;

б) S_ф = S_{EBmCD –} S_EBCD

в) S_ф = S_{ABCD –} S_ABnCD;

г) S_ф = S_{OmCD –} S_OnCD

№ 2

Функция	Первообразная
1) f(x) = 5 2) f(x) = 0 3) f(x) = ... 4) f(x) = xm (m-1) 5) f(x) = 25x3+	F(x) =5x F(x) = .. F(x) = -cos x+c F(x) = ... F(x) = ...

V. Историческая справка

Приложение 1

VI. Решение задачи из ЕГЭ

Могут встречаться в ЕГЭ примеры такого вида:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , х = -1,

х = 1.

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций и

Получим уравнение и выясним, что является графиком этого уравнения.

, – это окружность, R = 1.

В данном случае графиком является полуокружность. R = 1. (рис 8.)

Sф есть удвоенная разность площади трапеции и четверти круга. Sкруга = R2 = Sфигуры = 2 Sтр. – Sкруга = Ответ: Sф =

Фигура состоит из двух частей, являющихся симметричными относительно оси ординат, поэтому достаточно найти S фигуры, находящейся в I координатной четверти.

VII. Работа в группах

Задание 1 группы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 4х – х2, у = 5, х = 3. (рис 9.) х0 = 2, у0 = 4 Sф = SОАВД – SОСД Sпрям. = SОСД = F(3) – F(0), где F(x) первообразная для функции f(х) = 4х – х2 F(х)=; SОСД= Sф = 15 – 9 = 6. Ответ: 6.

Задание 2 группы:

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2)², х = 0, у = 0.

Решение:

АОВ – криволинейный треугольник или криволинейная трапеция. (рис 10.)

S = F(0) – F(-2) = F(x) = x2 +4x+4; F(x) = S =

Задание 3 группы:

Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х² + 1 и прямой у = х + 3.

Решение:

Построим в одной системе координат графики данных функций.

1) у = х² + 1, х₀ = 0, у₀ = 0.

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	10	5	2	1	2	5	10

2) у = х + 3

3) х² + 1 = х + 3

х1 = 1, х2 =2. Sф = S1АВСД – S2АВmСД Sтр.АВСД = SАВmСД = F(2) – F(-1), F(x) = , S = 6 Sф = S1 – S2 = 4,5.

II способ.

S_АВСД = F(2) – F(-1), F(x) = .

Ответ: S_ф = 4,5.

Задание 4 группы:

Найдите 3 четверти площади фигуры, ограниченной параболой, заданной уравнением у = – х2+4х-3 и осью абсцисс. (рис. 11) 1) хВ=2, уВ=1 2) – х2+4х-3=0 х1=3, х2=1 Функция неотрицательна на [1;3] F(x) = Sф = F(3) – F(1) = 3) Умножим Sф на . Sиск.=

Задание 5 группы:

Найти S фигуры, ограниченной линиями f1(x) = x2; f2(x) = 2x – x2 . Решение: 1) Схематично изобразим данную фигуру (рис. 12) f2(x) = – x2 + 2x х0 = , у0 = 1

2) Найдем абсциссы точек пересечения этих линий

х² = 2x – x²

2x² – 2х = 0

х = 0, х = 1

3) Найдем площадь фигуры

F₂(x) = x² –

S₂ = F(1) – F(0) =

F₁(x) = ; S₁ = .

4) S_ф = S₂ – S₁ = .

Ответ: S_ф = .

Задание 6 группы:

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями: у=х3+1, у=0, х=0, х=2. (рис. 13) F(x) = S = F(2) – F(0) = 16/4 + 2 – 0/4 + 0 = 6 Ответ: 6.

IX. Итог урока

Многие ребята справились с самостоятельной работой, а также выполнили тесты быстро и правильно. Они получают оценки:

X. Задание на дом

Тесты, № 356 (а), № 350, повторить № 157 (в, г).