Цель: научить учащихся, используя таблицу, быстро решать “трудные” задачи.
При решении многих задач можно использовать таблицу, которая мобилизует, упрощает, помогает решению задач. Для начала введем стандартную таблицу.3 на 3 (Три линии по горизонтали и три по вертикали)
Схема таблицы:
Данная таблица приемлема при решении задач на движение, на работу, на сплавы, растворы и проценты. При решении многих задач в столбцах рекомендую детям следующее обозначение (См. презентацию):
Рассмотрим задачи.
1. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди (1 вещество) в 6% и 11%.Сколько надо взять “бедной” руды, чтобы получить при смешивании с “богатой” (2 вещество), 20 тонн с содержанием меди 8% (1+2 вещество)?
Возможны наводящие вопросы:
- Если первое вещество 6%, то второе сколько %?
- Первое обозначаем Х т, а общий вес 20 т, то второго сколько т?
- Медь первого куска и второго составляет медь сплава.
Заполним таблицу:
| 1-ое вещество (медь) | 2-ое вещество | Вес (т) | |
| 1. | 6% | 94% | х |
| 2. | 11% | 89% | 20-х |
| 1. + 2. | 8% | 92% | 20 |
Составим уравнение с использованием 1-го или 2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное уравнение. Решение не вызывает трудности.
| 1столбец и 3 столбец | или | 2столбец и 3 столбец |
| 6х+11(20-х)=8*20 | 94х+89(20-х)=92*20 | |
| х=12 |
Ответ 12т
2.Раствор 18% соли (1 вещество) массой 2 кг разбавили стаканом воды (2 вещество)0,25 кг. Какой концентрации раствор (1+2 вещество) в процентах в результате был получен?
Возможны наводящие вопросы:
Добавляем чистую воду, тогда сколько % соли?
| 1 в-во (соль) | 2 в-во (вода) | вес | |
| 1 | 18% | 82% | 2 кг |
| 2 | 0% | 100% | 0,25 кг |
| 1+2 | х% | (100-х)% | 2,25 кг |
Составим уравнение с использованием 1-го или 2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное уравнение. Решение не вызывает трудности.
1столбец и 3 столбец 2столбец и 3 столбец.
18*2=х*2,25 или 82*2+100*0,25=2,25(100-х)
х=16
Ответ 16%
3.Цену товара первоначально снизили на 20%, затем еще на 15%. На сколько процентов всего снижена цена?
При решении задач на проценты меняется точка отсчета, “стало” из первой строки переходит в “было” второй строки т.д. (См. презентацию)
| Было | Изменение | Стало | |
| 1 | х | -20% | х-0,2х=0,8х |
| 2 | 0,8х | -15% | 0,8х(1-0.15)=0,68х |
| 0,68х |
Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:
х-0,68х=0,32х 32%
Ответ 32%
4.Цену на автомобиль подняли сначала на 45%, а затем ещё на 20%,и после перерасчета повысили на 10%. На сколько процентов всего повысилась цена?
| Было | Изменение | Стало | |
| 1 | х | +45% | х+0,45х=1,45х |
| 2 | 1,45х | +20% | 1,45х(1+0,2)=1,74х |
| 3 | 1,74х | +10% | 1,74х(1+0,1)=1,914х |
Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:
1,914х-1=0,914х 91,4%
Ответ:91,4%
5.Два комбайна убирали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?
| v | t | A | |
| 1 | 1\х | х | 1 |
| 2 | 1\(х-6) | х-6 | 1 |
| 1+2 | 1\4 | 4 | 1 |
1\х+1\(х-6)=1\4
4(х-6)+4х=х(х-6)
х=12
Ответ:12 дней
6.Один завод может выполнить некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ, в пять раз больший?
| v | t | A | |
| 1. | 1\х | х | 1 |
| 2. | 1\(х+4) | х+4 | 2 |
| 1.+2. | 5\24 | 24 | 5 |
1\х+1\(х+4)=5\24
5х2-28х-96=0
х=8, 8 дней и 12 дней.
Ответ: 8 дней; 12 дней.
7.Две бригады работниц пропололи по 280 грядок каждая, причем первая бригада, пропалывая в день на 30 грядок меньше, чем вторая работала на 3 дня больше. Сколько дней работала каждая бригада?
| v | t | Vраб | |
| 1 | х | 280\х | 280 |
| 2 | х+30 | 280\(х+30) | 280 |
| t1-3=t2 |
280\х-3=280\(х+30)
x=40 (грядок), 7 дней и 4 дня.
Ответ: 7 дней, 4 дня.
8.Свежие грибы содержат по массе 90% воды сухие-12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг свежих?
Что происходит с водой? (испаряется)
Какой компонент не меняется? (Вещество)
| Воды | Вещество | Вес | |
| Сухое | 12% | 88% | х |
| Свежее | 90% | 10% | 22 кг |
| Одинаково |
На основании этого составим уравнение:
0,88х=0,1*22
х=2,5
Ответ: 2,5 кг.
Примеры задач для самостоятельного решения:
- В результате очистки сырья количество примесей в нём уменьшилось от 20% в исходном сырье до 5% в очищенном. Сколько надо взять исходного сырья, чтобы получить 160 кг очищенного?
- Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.Сколько нужно взять металла каждого сорта, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля 30%?
- Цену на столовый сервиз повысили сначала на 25%, а потом ещё на 20%. Во сколько раз увеличилась цена сервиза?
- Морская вода содержит 5% (по весу) соли: Сколько кг пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли в последней стала 2%?
- Применить этот метод можно к разным типам задач. Научившись решать не трудные задачи постепенно возможно и усложнение текста. Главное экономия времени. Рассматривая Кимы ЕГЭ задачи такого содержания очень популярны.
Литература:
- Система тренировочных задач и упражнений по математике. Симонов А.Я. Бакаев Д.С. Эпельман А.Г. и др.
- Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Под ред. Звавич Л.И., и под ред. Л.В.Кузнецовой.
- ДВГТУ центр довузовской подготовки Математика (задачи на сплавы, растворы, на проценты) г. Владивосток 1998 г.