Девиз: «В геометрию тропинку одолеем без запинки».
Цели:
- Обучающие: повторить свойства треугольника, сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника, следствия из неё. Ввести понятия остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников, т. е. классифицировать треугольник по углам, повторить классификацию треугольников по сторонам. Рассмотреть задачи на применение доказанных утверждений.
- Развивающие: умение анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, классифицировать, развивать математическую речь.
- Воспитывающие: инициативность, творческую активность.
Предварительный анализ урока Приложение.
Ход урока
1. Повторение
(В руках треугольник) И опять треугольник! Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся или почти вся геометрия строится на треугольнике. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о геометрии треугольника как о самостоятельном разделе геометрии.
Рис.1
? Что такое треугольник? (треугольник - это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)
? Посмотрите на треугольник, что можете сказать? Чему равен ∟В?
Так вот сегодня на уроке мы попробуем с вами сформулировать и доказать замечательное свойство треугольника, которое нам поможет ответить на данный вопрос. Открыли тетради, записали число, тема урока: Сумма углов треугольника.
Но перед тем как рассмотреть свойства треугольника, проведем их классификацию.
? Какие треугольники различают по сторонам? (равнобедренный, равносторонний, разносторонний)
Треугольники классифицируют и по углам. Сначала вспомним об углах.
Домой было задано задание составить рассказ по теме «Угол», был дан план.
(с рассказом выступает ученик)
- Угол – это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи называют сторонами угла, а точки – вершиной угла.
- Если, величина угла 90º, то угол называют прямой.
Если, величина угла 180º, то угол называют развёрнутый.
Если, угол больше 90º, но меньше180º, то угол называют тупым. - Таким образом, углы бывают тупые, острые, прямые, развернутые.
- Внутренний угол треугольника это угол, образованный его сторонами. Вершина треугольника является вершиной этого угла.
- Значит, в треугольнике углы могут быть различными (тупые, острые, прямыми)
(В тетради!) Начертите угол (Ι ряд – острый угол, ΙΙ ряд – тупой угол, ΙΙΙ ряд – прямой угол)
Дополните рисунок до треугольника. Что для этого надо сделать? (взять по точке на сторонах угла и соединить их)
Полученные треугольники можно назвать по углам.
Тупоугольные, прямоугольные, остроугольные.
Стр. 67 п. 31 второй абзац определения (Л.С. Атанасян Геометрия учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений)
Названия треугольников внесем в таблицу в правую часть.
Заполнить таблицу (кому трудно с доски)
Таблица Треугольников
Обратим внимание, что у остроугольного треугольника все углы острые.
Сколько тупых (прямых) углов может быть в треугольнике?
? Как это обосновать?
Это обосновать нам поможет замечательное свойство треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - это одна из самых важных теорем геометрии.
(5 класс № 1637, 1638. Впервые встречалась в этих задачах)
? Чему равна сумма углов треугольника? ? Как это можно узнать?
Практически – измерением. Теоретически – рассуждениями.
Домой, было, задание измерить углы треугольника, І – ? ІІ – ? ІІІ – ? Какие треугольники?
Задание. Найдите сумму углов ваших треугольников. Чему она равна? Что заметили? (все суммы близки к 180º.) Посмотрите ребята! Треугольники у всех были взяты произвольные, углы в треугольниках различные, а результаты у всех получились одинаковыми.
Чем объясняется небольшое различие? Тем ли что нет никакой закономерности, или тем, что закономерность есть, но нашими инструментами мы не можем установить её с достаточной точностью?
? Как же сформулируем утверждение, которое будем доказывать?
Сумма углов треугольника равна 180º.
Доклад о теореме. О сумме углов треугольника
Свойство суммы углов треугольника было эмпирически, т. е. опытным путём установлено, вероятно, еще в Древнем Египте, однако дошедшие до нас сведения о разных его доказательствах относятся к более позднему времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментарии Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что согласно Евдему Родосскому это доказательство было открыто ещё пифагорейцами (v в. до н. э.). Прокл пишет: «Пифагор впервые разработал принципы геометрии». Пифагорейцы содействовали формированию геометрии как науки, основанной на аксиомах и доказательствах.
В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа. Великий древнегреческий философ Аристотель (VΙ в. до н. э.) в своей «Метафизике» упоминает об этом предложении, как известном ему.
Следует отметить, что как доказательство Прокла, так и доказательство Евклида основываются на том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей внутренние накрест лежащие, а также и соответственные углы равны. Это предложение в свою очередь доказывается при помощи аксиомы параллельности Евклида. Итак, теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180º, верна, если верна аксиома параллельности Евклида, которая принята в системе аксиом Евклида без доказательства.
Теорема о сумме углов треугольника приписывается многим, в том числе Евклиду и Пифагору. Теорема о сумме углов треугольника. Теорема Пифагора-Евклида многострадальная «твёрдо установленная», которая была подвергнута ревизии в неевклидовой геометрии.
Рис.2
Рис.3
Дано: ΔАВС – произвольный
Доказать: ∟А + ∟В + ∟С = 180º
Доказательство:
- проведем, а
АС - ∟5 = ∟1 (накрест лежащие)
∟4 = ∟3 (накрест лежащие) - ∟5 + ∟2 + ∟4 = 180º
∟1 +∟2 + ∟3 = 180º ч. т. д.
Повторяем план доказательства:
- Провести прямую через одну из вершин противолежащей стороне.
- Составить пары равных углов.
- Представить развёрнутый угол в виде суммы.
- Заменить слагаемое равным им углам треугольника.
Повторите доказанное соседу.
Что утверждает теорема? (сумма углов треугольника 180º)
Ёще одно доказательство этой теоремы рассмотрим, когда дадим понятия внешнего угла треугольника.
? Чему равен ∟В (Рис.1)? (60º)
? Чему равен угол равностороннего треугольника? (60º)
? Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? (90º)
? Чему равен острый угол прямоугольного, равнобедренного треугольника? (45º)
? Почему в треугольнике не может быть двух прямых (тупых) углов?
? Почему в треугольнике не может быть один тупой, а другой прямой?
Эти утверждения – ответы на вопросы вытекают (следуют) из теоремы, т.е. являются следствием из теоремы.
Повторяем следствия иллюстрируя чертежами (показать в Таблице Треугольников)
Закрепление
I. Раздаточный материал (развитие мышления в процессе решения задач)
Рис.4
Для тех, кто выполнил данное задание дополнительно по учебнику №227
II.
- Сумма углов треугольника равна 180º. Равна ли 180º сумма внутренних углов четырёхугольника? (проблема)
- Определить вид треугольника, если один его угол 40º, а другой 100º?
- В ΔАВС, ∟А в 2 раза > ∟В, а ∟С = 30º. Определите ∟А, ∟В?
- Один из углов прямоугольного треугольника равен 20º (30º, 45º). Найдите второй острый угол.
- Определите острый угол прямоугольного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого?
- На рисунке даны чертежи к задачам и проставлены градусные величины углов. Проверьте правильно ли указаны числовые данные на каждом рисунке?
- Является ли треугольник прямоугольным?
- Угадайте слово по трём определениям.
- Геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом.
- Место, куда можно поставить нерадивого ученика.
- Если справа приписать ь, то получится полезное ископаемое.
Домашнее задание п. 30, 31 2 способ доказательства теоремы, классификация Δ по таблице.
№223 а, б №226 (у) №228 а (по желанию) Проблема? Сколько решений имеет задача?