Вначале отработаем необходимые навыки решения на элементарных задачах, затем перейдем к решению реальных задач равнопеременного движения.
Развитие мышления осуществляется по ступеням, “перепрыгивать” через которые — значит вредить процессу формирования умений. И, ставя цель формирования навыков решения сложных задач данного класса, следует начинать с формирования простейших мыслительных действий, связанных с овладением навыков решения элементарных задач: “большие скачки” здесь, как и везде, могут принести только вред.
Учащимся для решения задач предлагается Таблица 1.
Данная классификации позволяет построить эффективную систему обучения навыкам решения задач кинематики равнопеременного движения.
Эти задачи разделяются на 5 групп: задачи 1-й группы — решаются с помощью формулы (1), 2-й группы — с помощью формулы (2), 3-й группы — с помощью формулы (3), 4-й группы — с помощью формулы (4) и 5-й группы — с помощью формулы (5).
Далее, каждую из групп элементарных задач можно разделить на четыре подгруппы в зависимости от того, какая из четырех входящих величин — необходимых данных задачи является искомой неизвестной. При этом в обозначении элементарной задачи будем использовать две цифры: первая обозначает номер группы, вторая — номер подгруппы. Например, задача 1-2 — элементарная задача 1-й группы 2-й подгруппы, 5-4 — 5-й группы 4-й подгруппы.
Таблица 1
Классификация элементарных задач по группам и подгруппам
| Группа и подгруппа задачи | Условия задачи | Формула | ||||
| 1-1 | S* | V = ? | V0 | a | t | V = V0 +аt (1) |
| 1-2 | S* | V | V0 = ? | a | t | |
| 1-3 | S* | V | V0 | a = ? | t | |
| 1-4 | S* | V | V0 | a | t = ? | |
| 2-1 | S = ? | V* | V0 | a | t | S = V0t + at2/2 (2) |
| 2-2 | S | V* | V0 = ? | a | t | |
| 2-3 | S | V* | V0 | a = ? | t | |
| 2-4 | S | V* | V0 | a | t = ? | |
| 3-1 | S = ? | V | V0* | a | t | S = Vt – at2/2 (3) |
| 3-2 | S | V = ? | V0* | a | t | |
| 3-3 | S | V | V0* | a = ? | t | |
| 3-4 | S | V | V0* | a | t = ? | |
| 4-1 | S = ? | V | V0 | a* | t | S = ((V0 + V)/2) * t (4) |
| 4-2 | S | V = ? | V0 | a* | t | |
| 4-3 | S | V | V0 = ? | a* | t | |
| 4-4 | S | V | V0 | a* | t = ? | |
| 5-1 | S = ? | V | V0 | a | t* | S = (V2 – V02 )/2a (5) |
| 5-2 | S | V = ? | V0 | a | t* | |
| 5-3 | S | V | V0 = ? | a | t* | |
| 5-4 | S | V | V0 | a = ? | t* | |
Здесь в 1-й колонке указаны обозначения задач всевозможных групп и подгрупп. Во 2-й колонке приведена строка из 5 величии равнопеременного движения, записанная для всех задач в одном и том же, стандартном порядке: S V V0 a t.
Принцип классификации задач по группам и подгруппам, группам, заложенный в табл.1, следующий. В стандартной строке S V V0 a t пронумеруем величины слева направо (верхняя нумерация). Затем обозначим звездочкой величину с номером, соответствующим номеру группы задачи (эта величина является отличительным признаком). Например, для задачи 3–4 имеем: V0*. Остальные четыре величины подчеркиваем – они составляют необходимые данные задачи. Перенумеруем необходимые данные также слева направо (нижняя нумерация). Приравниваем к знаку вопроса ту из величин необходимых данных, номер которой соответствует номеру подгруппы задачи. Для задачи 3–4 – это четвертая величина t = ?
Тогда для задачи 3–4 получаем:
| S | V | V0* | a | t = ? |
Аналогично этому имеем:
для задачи 2–3:
| S | V* | V0 | a =? | t |
для задачи 1–1:
| S * > | V = ? | V0 | a | t |
Пользуясь табл.1 или указанным выше способом классификации элементарных задач по группам и подгруппам, перейдем к составлению конкретных элементарных задач и к их решению.
Начнем с задачи 1-й группы 1-й подгруппы (задачи 1–1). Ее условие имеет вид:
Задача 1–1 → S* V=? V0 a t
Составим текст этой задачи и выполним ее решение.
Задача 1 (задача 1–1). Велосипедист движется с начальной скоростью 4 м/с и ускорением 0,3 м/с2. Какова его скорость через 20 с?
Решение
1. Находим необходимые данные и отличительный признак.
Для этого запишем стандартную строку из 5 величин равнопеременного движения:
S V V0 a t и заполним ее согласно условию задачи. При этом из текста задачи непосредственно имеем три заданные величины: V0 = 4 м/с; a = 0,3 м/с2; t = 20 с и одну искомую неизвестную V = ? Эти четыре величины образуют необходимые данные задачи. Тогда 5-я величина S* является отличительным признаком.
Итак, стандартная строка условия из пяти величин заполнена, т. е. найдены необходимые данные и отличительный признак:
| S * | V = ? | V0 = 4 м/с | a = 0,3 м/с2 | t = 20 с |
2. Выбираем формулу и находим искомую неизвестную.
Согласно отличительному признаку S* выбираем из табл. 1 формулу (1):
V = V0 + аt
Подставляем необходимые данные и находим искомую неизвестную:
V = 4 + 0,3 * 20 = 10 (м/с)
Задача решена.
На основании текста этой задачи составим тексты задач 1-й группы 2-й подгруппы, 3-й подгруппы и 4-й подгруппы, т. е. задач 1–2, 1–3 и 1–4. В этих задачах, в отличие от задачи 1–1, неизвестной величиной вместо V = ? будет соответственно: V0 = ? a = ? t = ?
Текст задачи 1–2 будет следующим:
Задача 2 (задача 1–2). Велосипедист движется с ускорением 0,3 м/с2 и через 20с его скорость равна 10 м/с. Какова его начальная скорость?
Решение
Находим необходимые данные и отличительный признак.
Составляем стандартную строку условия задачи S V V0 a t и заполняем ее согласно условию задачи:
| S * | V = 10м/с | V0 = ? | a = 0,3м/с2 | t = 20 с |
2. Выбираем формулу и находим искомую неизвестную.
Согласно отличительному признаку S*, выбираем ту же формулу (1)
V = V0 + аt
откуда искомая неизвестная равна:
V0 = V – at = 10 – 0,3 * 20 = 4 (м/с),
что совпадает со значением V0 = 4 м/с в задаче 1.
Задача решена.
Далее, текст задачи 1–3 запишется так.
Задача 3 (задача 1–3). Велосипедист движется с начальной скоростью 4 м/с и через 20 с его скорость равна 10 м/с. Найти ускорение велосипедиста.
Задача 1-й группы 4-й подгруппы (задача 1–4) имеет следующий текст.
Задача 4 (задача 1–4). Велосипедист движется с начальной скоростью 4 м/с и ускорением 0,3 м/с2 и достигает скорости 10 м/с. Найти время его движения.
Решать задачи 1–3 и 1–4 в целях отработки навыков решения элементарных задач нет необходимости. Решение этих задач, по существу, совпадает с решением задач 1–1 и 1–2, отличие лишь в том, что из той же формулы (1) определяются другие искомые величины: a = ? или t = ? Эти задачи могут быть оставлены для самостоятельного решения. Полученные при этом ответы можно сверить с величинами, известными из задач 1–1 и 1–2.
Далее перейдем к составлению и решению задач следующих групп – от 2-й по 5-ю и подгрупп – от 1-й по 4-ю в каждой группе. Но делать это подряд для всех этих групп и подгрупп нет необходимости. Достаточно сделать это выборочно.
Составим, например, задачи 3–2 и 5–4. Условия этих задач имеют вид:
задача 3–2 → S V = ? V0* a t
задача 5–4 → S V V0 a = ? t*
Составляем тексты этих задач, пользуясь текстами предыдущих задач.
Задача 5 (задача 3–2). Велосипедист, двигаясь с ускорением 0,3 м/с2, за 20 с проходит 140 м. Какой скорости достигает велосипедист за это время?
Задача 6 (задача 5–4). Велосипедист, имея начальную скорость 4 м/с, проходит 140 м и получает скорость 10 м/с. Найти его ускорение.
Решать эти задачи также нет необходимости: найти необходимые данные этих задач и их отличительные признаки труда не представляет, выбрать формулу согласно отличительному признаку и найти из нее неизвестную величину особых методических навыков не требует. Эти задачи также могут быть предложены для самостоятельного решения. При этом полученные ответы можно сверить с соответствующими величинами, вытекающими из решенных ранее задач.
Итак, мы завершили рассмотрение наипростейших элементарных задач, в которых все 4 величины — необходимые данные заданы в тексте задачи в явном виде (элементарные задачи с явно заданными необходимыми данными).
Однако чаще всего в условиях элементарных задач не все необходимые данные приведены в явном виде, часть этих данных задана в неявном виде. Такие элементарные задачи являются задачами с неявно заданными необходимыми данными. Решение этих задач сводится, по существу, к тому, чтобы из их неявного задания получить недостающие необходимые данные.
При этом из четырех величин необходимых данных чаще всего неявно заданы либо одна, либо две величины.
Рассмотрим вначале элементарные задачи с одной неявно заданной величиной. Как правило, из величин S V V0 a t неявно заданной величиной является: либо V0 , либо V, либо а. При этом под неявным заданием V0 либо V может пониматься равенство этой величины нулю, а под неявным заданием ускорения а равенство этого ускорения величине g или –g.
Перейдем к конкретным задачам с одной неявно заданной величиной.
Задача 7. Автомобиль проходит тормозной участок 40 м за 10 с. Найти ускорение торможения.
Решение
1. Находим необходимые данные и отличительный признак.
Заполняем согласно условию задачи стандартную строку величин S V V0 а t. При этом в явном виде имеем 3 величины:
S = 400 м; a = ?; t = 10 с
Четвертая величина – одна из двух оставшихся величин: V или V0 задана неявно. Чтобы найти эту величину, рассмотрим характер движения и ключевые слова, если они есть в тексте задачи.
Движение в этой задаче замедленное (считаем его равнозамедленным), есть в тексте и ключевые слова: “тормозной участок”. Все это и помогает распознать неявно заданную величину: конечную скорость V = 0. Оставшаяся пятая величина V0 является отличительным признаком.
Итак, получаем:
| S = 400 м | V = 0 | V0* | a = ? | t = 10 с |
что соответствует задаче 3–3.
2. Выбираем формулу и находим неизвестную.
Согласно отличительному признаку V0* , выбираем формулу (3) (табл. 1):
S = Vt – at2/2
Подставляя V = 0, а остальные величины сохраняя в буквенном виде, получаем:
S = – at2/2,
откуда неизвестная величина
а = -2S/t2 = -2*400/102 = -8 (м/с2)
Задача решена.
Однако для нас с вами уже совершенно очевидно, что выполнять все это решение нет необходимости. Главным в методическом плане является получение четвертой неявно заданной величины необходимых данных: из характера движения — равнозамедленное движение и ключевых слов “тормозной участок” имеем V = 0.
Если же в задаче имеются такие ключевые слова, как “окончание движения”, “остановка” и т. п., то отсюда также следует, что V = 0.
Задача 8. Поезд движется со скоростью 54 км/ч. Если прекратить подачу пара, то он останавливается через 30 с. Найти тормозной путь.
Решение
Рассматривать все решение здесь нет необходимости. Главное – выявить ключевые слова: “останавливается”, “тормозной путь”, откуда V = 0.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 9. Какую скорость получит тело через 20 с от начала движения, если его ускорение 0,3 м/с2?
Решение
1. Находим необходимые данные и отличительный признак.
Заполняем стандартную строку из пяти величин равнопеременного движения: S V V0 a t. Из текста задачи в явном виде имеем три величины: V=?; a = 0,3 м/с2; t = 20 c. Четвертая величина – одна из двух величин: S или V0 задана неявно. Исходя из характера движения – равноускоренное и ключевых слов: “от начала движения” получаем V0 = 0. Тогда S* – отличительный признак.
Остальные действия затруднений не вызывают и могут быть выполнены учащимся самостоятельно.
Задача 10. Через сколько секунд от начала движения автомобиль достигнет скорости 10 м/с при ускорении 0,2 м/с2?
Решение
Главное здесь в том, что из пяти величин S V V0 a t в явном виде заданы три: V = 10 м/с; а = 0,2 м/с2; t = ? Четвертая величина – S или V0 задана неявно. По ключевым словам “от начала движения” имеем V0 = 0.
Задача 11. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с2, пройдет путь 30 м?
Решение
По ключевым словам “из состояния покоя” имеем V0 = 0. С учетом явно заданных величин имеем:
| S = 30 м | V* | V0 = 0 | а = 0,6 | м/с2 t = ? |
Задача 12. Пуля вылетает из пистолета вертикально вверх со скоростью 2 м/с. На какой высоте от пистолета она будет через 0,1 с ?
Решение
Движение вертикально вверх считаем свободным подъемом, следовательно, а = –g. В итоге имеем:
| S = ? | V* | V0 = -2 м/с | а = -g | t = 0,1 с |
Задача 13. Свободно падающее тело за 4 с проходит 100 м. Какова его скорость по прохождению этого пути?
Решение
1. Находим необходимые данные и отличительный признак.
Заполняем строку из пяти величин равнопеременного движения S V V0 a t согласно условию задачи.
Из текста задачи в явном виде имеем три величины: S = 100 м; V = ?; t = 4 с. Одна из двух оставшихся величин: V0 или а задана неявно.
Характер движения в этой задаче – свободное падение, следовательно, a = g. Тогда V0* – отличительным признак.
Выбираем формулу и находим неизвестную величину.
Согласно отличительному признаку V0* выбираем формулу (3):
S = Vt – at2/2.
Подставляя а = g :
S = Vt – gt2/2,
Находим искомую величину
V= (S + gt2/2)/t = (100 + 10 * 42/2)/4 = 45 (м/с)
Задача решена.
Перейдем к элементарным задачам с двумя неявно заданными величинами.
Задача 14. Найти путь, пройденный свободно падающим телом за 4 с.
Решение
Находим необходимые данные и отличительный признак.
Заполняя строку из 5 величин равнопеременного движения S V V0 a t согласно условию задачи, в явном виде получаем лишь две величины:
S = ?; t = 4 c. Из трех оставшихся величин: V V0 a – две величины заданы неявно. Найдем их.
Учитывая характер движения – свободное падение, имеем: a = g. Остается найти одну из двух величин: V0, V. Что касается конечной скорости V, то она, конечно, не равна нулю, ее величина в условии задачи не задана и искомой неизвестной она не является. Поэтому найти ее из условия задачи невозможно. Остается только одно: считать начальную скорость V0 = 0. Тогда V* – отличительный признак.
Итак, имеем:
| S = ? | V* | V0 = 0 | a = g | t = 4 c |
Главное в этой задаче – нахождение из ее условия двух неявно заданных величин: a = g и V0 = 0, которые вытекают из характера движения – свободное падение.
Дальнейшие шаги в решении этой задачи – выбор формулы и определение из нее неизвестной – не вызывает затруднений.
Рассмотрим еще одну задачу с двумя неявно заданными величинами.
Задача 15. Струя воды, направленная из брандспойта вертикально вверх, достигла высоты 20 м. С какой скоростью она выходит из брандспойта? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
1. Определим необходимые данные и отличительный признак.
Заполняем, согласно условию задачи, строку из пяти величин равнопеременного движения:
S V V0 a t.
При этом в явном виде получаем лишь две величины, из них одна – искомая неизвестная: S = 20 м; V0 =? Из трех оставшихся величин V, a, t надо определить две неявно заданные величины.
Характер движения в этой задаче – свободный подъем, следовательно, а = –g. Остается найти одну из двух оставшихся величин: V, t. Что касается величины t, то найти ее из условия задачи невозможно: ее величина не задана и искомой она не является. Значит должна быть известной величина V. Так как высота, заданная в условии задачи, является наибольшей высотой подъема, т. е. еще выше струя не поднимается, то на этой высоте она останавливается, следовательно, конечная скорость V = 0. Тогда t* – отличительный признак.
В итоге получаем:
| S = 20 м | V = 0 | V0 = ? | а = –g | t* |
Выбор формулы и нахождение из нее искомой неизвестной затруднений не вызывают и отработки навыков не требуют.
Итак, мы рассмотрели особенности элементарных задач с двумя неявно заданными величинами из четырех величин необходимых данных.
Принципиально возможны элементарные задачи и с тремя неявно заданными величинами. Что же касается задач со всеми четырьмя неявно заданными величинами, то такие задачи практически не встречаются.
Этот метод позволяет систематизировать знания и навыки учащихся и практически сразу же приступить к решению трудных задач. Следовательно, его можно применять в классах с любой профильной направленностью.