План-конспект урока по теме "Теорема Пифагора"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • повторить и закрепить свойства измерения площадей геометрических фигур;
  • закрепить формулы нахождения площадей;
  • провести доказательство теоремы Пифагора;
  • научиться применять теорему к простейшим задачам;
  • совершенствовать умения и навыки работы в координатной плоскости;
  • закрепление навыков решения неполных квадратных уравнений;
  • вспомнить понятие иррационального числа.

Оборудование:

  • магнитные модели равных прямоугольных треугольников;
  • раздаточный материал (модели равных прямоугольных треугольников);
  • линейки, циркули;
  • карточки с индивидуальными заданиями;
  • учебник “Геометрия 7-9” Л.С.Атанасян и др., изд-во “Просвещение”.

Ход урока:

  1. Организация внимания:
  • Проверка готовности к уроку;
  • Психологическая установка на начало работы.
  1. Повторение изученного материала:

    2. Фронтальный опрос.

    - Как измеряется площадь фигуры?

    - Сформулировать основные свойства площадей многоугольников.

    - Формулы нахождения площади каких фигур вы знаете?

    - Формула площади какой фигуры берётся за аксиому?

    Индивидуальный опрос:

    На доске начерчены геометрические фигуры – квадрат, прямоугольник, прямоугольный треугольник, параллелограмм, произвольный треугольник, ромб и трапеция.

    - запишите формулы нахождения площадей данных фигур (один учащийся работает на доске, остальные – в тетрадях).

  2. Изучение нового материала:

На магнитной доске расположены 4 модели равных прямоугольных треугольников, у учащихся на столах находятся такие же модели.

Задания учащимся:

- вспомните, как мы составляли из данных треугольников различные геометрические фигуры, и с помощью свойств измерения площадей, находили площади этих фигур;

- составьте из своих моделей квадрат.

(учащиеся составляют квадрат различными способами, один ученик работает у магнитной доски.)

Возможные варианты построения:

- Представьте, что вам известны длины катетов a и b, и выведите формулу для нахождения площади квадрата OPRS (для первого варианта) или MNKL(для второго варианта построения).

- Вопросы к первому варианту построения:

  • Каким четырёхугольником является фигура ABCD? (квадратом).
  • Какова длина стороны этого квадрата? (сумма катетов треугольников)
  • Чему равна площадь этого квадрата? (квадрату суммы катетов).
  • Какого вида четырёхугольником является фигура OPRS? (квадратом).
  • По какой формуле мы найдём площадь квадрата OPRS? (S=c2).
  • Однако в данном случае длина стороны этого квадрата неизвестна. Есть ли обходной путь?

Найдём площадь одного треугольника по формуле S=ab. Так как квадрат ABCD разбит на четыре прямоугольных треугольника и квадрат, то его площадь равна сумме площадей этих фигур: S=4*0,5ab + c2. С другой стороны, площадь квадрата можно найти по формуле S=(a+b)2. Приравнивая обе формулы, получаем:

4*0,5ab + c2 = (a + b)2,

2*ab + c2 = a2 + 2ab + b2,

c2 = a2 + b2.

  1. Теперь обратите внимание на связь в полученном выражении между катетами и гипотенузой рабочего треугольника. (Мы видим, что в формуле задействованы стороны треугольника, к тому же квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Этому важнейшему факту геометрии около 3800 лет. Вам придётся тоже вслед за многими поколениями учащихся и учёных много с ним работать. Ему даже стихи посвящены. Этим стихам тоже много лет, где-то около 150. Я предлагаю вам послушать:

    2. Не знаю, чем кончу поэму
    И как мне печаль избыть,
    Известную теорему
    Никак не могу я забыть.

    Стоит треугольник, как ментор,
    И угол прямой в нём есть,
    И всем его элементам
    Повсюду почёт и честь,

    Прелестная гипотенуза
    Взнеслась так смело ввысь!
    И с нею в вечном союзе
    Два катета переплелись.

    Она царит на квадратах,
    И песню поёт она;
    Та песня влечёт куда-то –
    Геометров древних волна.

    И все на торжищах света,
    Как в огненном кольце,
    И все повторяют это:
    Ах, “a” квадрат, “b” квадрат, “c”!

    И даже в холодной медузе
    Огонь эта песня зажгла,
    И всё это гипотенузы
    И катетов двух дела!

    Так вот факт, о котором мы сейчас говорим, называется “теорема Пифагора”. К тому же вы сами повторили одно из более двухсот доказательств известнейшей теоремы – ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. В доказательстве мы использовали формулы нахождения площади квадрата и прямоугольного треугольника. Однако это были только вспомогательные факты. Суть состоит в зависимости длины гипотенузы треугольника от длин его катетов. Попробуйте сформулировать правило.

    Откройте “правильные тетради” и запишите формулировку теоремы Пифагора:

    “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.
  2. Теперь наступило время научиться пользоваться этим правилом.

    3. На чертеже начерчены прямоугольные треугольники. Взяв за единицу длины длину одной клетки, устно посчитайте длины катетов и, используя теорему Пифагора, вычислите длину гипотенузы.

    Далее идёт работа по нахождению гипотенузы треугольников ABC, DEF, KLM и NOP, причём первый пример учитель показывает сам на доске, остальные решают ученики у доски и в тетрадях:

    В треугольнике ABC длина отрезка AC=-9-(-12)=3, длина отрезка BC=11-5=6, угол С=900, по теореме Пифагора

    AB2 = AC2 + BC2 ;

    при подстановке известных элементов, получаем:

    AB2 = 32 + 62;

    AB2 =45.

    (В этом месте необходимо задать учащимся вопрос, сколько корней имеет уравнение

    Х2 = С).

    Таким образом, уравнение AB2 =45 имеет два корня:

    AB= - и AB= .

    Поскольку длина отрезка – величина положительная, число - для задачи является посторонним корнем, в ответ идёт только одно число .

    Ответ: AB= .

    При решении подобных задач закрепляется отношение к арифметическому корню, как к давно ставшему привычным рациональному числу.

    Что касается треугольника SRT, то работа с ним требует отдельного внимания, так как требуется доказать, что он равнобедренный прямоугольный, к тому же легко просчитывается длина гипотенузы, а вот длину катетов находим, составляя уравнение: Х2 + Х2 = 64. Поэтому работу стоит проводить при достаточном количестве времени. Треугольник UFY пригодится для работы на следующем уроке, на котором с помощью координат и теоремы Пифагора будем находить его стороны.

  3. После решения задач можно обратить внимание на то, что длины сторон треугольников DEF, KLM и выражены целыми числами, добавить список ещё несколькими треугольниками:
  • 3; 4; 5;
  • 5; 12; 13;
  • 8; 15; 17;
  • 7; 24; 25.

Общее название у таких треугольников: ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ, а первый из них более известен как ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

Итог урока: в конце урока целесообразно обратить внимание учащихся на то, что раньше мы могли в треугольнике находить угол, зная два других, а теперь есть инструмент, помогающий находить сторону прямоугольного треугольника, зная две другие. Повторить формулировку теоремы.

Домашнее задание: по учебнику (№464в, №465, №471а) на повторение, (№ 483а, №484а) на закрепление новой темы.

  1. При наличии времени можно решить следующие задачи:
  • Найти больший катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если меньший угол 30 градусов, меньший катет 6 см.
  • Найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если его катет равен 5 см.