На итоговых уроках по геометрии времени на то, чтобы прорешать задачи по всему курсу в целом практически не остается. А в КИМы ЕГЭ традиционно включаются задачи, решение которых требует знаний планиметрии по теме «Вписанные и описанные окружности». Поэтому предложенный материал поможет не только вспомнить данную тему, но и систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на вписанные и описанные окружности, а также подготовиться к решению подобных задач в ЕГЭ. При этом предполагается, что ученик хотя бы на минимальном уровне владеет всем курсом школьной геометрии (планиметрии).
Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные задачи, не выработав прочных навыков по изготовлению «хороших» чертежей, не выработав привычки (даже рефлекса) - не начинать решать задачу, пока не сделан «большой и красивый» чертеж. В качестве основного метода решения геометрических задач выдвигается алгебраический метод с составлением последующего алгоритма. Ставя во главу угла алгебраический метод, необходимо предостеречь от чрезмерного увлечения алгеброй и счетом, не забывать о том, что речь идет все же о геометрических задачах, а поэтому, работая над задачей, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрию. Выделив два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, - чертеж плюс метод, добавим сюда третье - владение определенными теоремами и опорными задачами, известными геометрическими фактами.
I. Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника. (Приложение 1)
II. Решение задач по готовым чертежам (удобно воспользоваться кодоскопом).
При этом ученики устно объясняют ход решения задач, формулируют теоремы и опорные задачи, применяемые при решении задач по готовым чертежам.
Готовый чертеж |
Дано
|
Решение
|
|
AB = BC
PABC = ? |
Отрезки касательных равны: BM = BK = 5
AB = BC = 12 MC = CN = 7, AC = 14, AK = AN = 7, PABC = 12 + 12 + 14 = 38 Ответ: PABC = 38 |
|
AB = 6,
PABC = ? |
Отрезки касательных равны: АВ = ВС
1) ![]() ![]() 2) АВ = ВС, ![]() 3) ![]() Ответ: PABC = 18 |
|
AD - диаметр окружности,
АВ = 3, ВД = 4 1. Доказать: NM ![]() 2. R = ? |
1. Т.к. AD - диаметр, то DB ![]() ![]() ![]() Значит NM ![]() 2. AD = ![]() ![]() Ответ: R = 2,5 |
|
R = ? |
AC - диаметр окружности и гипотенуза прямоугольного ![]() ![]() Ответ: R = 1,5 |
|
AB = 24,
ОК = 5 R = ? |
О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ![]() ![]() КО = 5, ВО = ![]() Ответ: R = 13 |
III. Решение задач.
1. Найти периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 2 см, а гипотенуза 13 см.
![]() |
Пусть AM = AN = x, тогда AC = x + 2, CB = 2 + 13 - x = 15 - x
(x + 2)2 + (15 - x)2 = 169 x2 - 13x + 30 = 0 x1 = 10, x2 = 3; AC = 5, CB = 12; P = 30 см Ответ: P = 30 см. |
2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности 3 см, О - центр вписанной окружности, ,
. Найти площадь треугольника.
![]() |
АО - биссектриса, ![]() sin ![]() ![]() AN = AK = ![]() ![]() ![]() tg 60о = ![]() ![]() SABC = ![]() ![]() Ответ: S = ![]() |
3. Периметр треугольника 84. Точка касания вписанной окружности делит одну из сторон на отрезки 12 и 14. Найти радиус вписанной окружности и площадь АВС, если ОВ = 18, О - центр вписанной окружности.
![]() |
P = 84, KB = BN = 16, ON = ![]() ![]() AB = 28, BC = 30, AC = 26 По формуле Герона: SABC = ![]() Ответ: r = ![]() |
4. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины не равного угла 5 см. Большая сторона 10 см. Найти радиус вписанной окружности.
![]() |
OB = 5, ![]() OM = OB . ![]() ![]() AH = 2r, ![]() ![]() 4r2 = 100 - (5 + r)2, r2 + 2r - 15 = 0, r1 = - 5, r2 = 3 Ответ: r = 3 см. |
5. Основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, равно 6 см. Найти периметр треугольника.
![]() |
![]() AB = BC = ![]() ![]() P = ![]() Ответ: P = ![]() |
6. Периметр треугольника АВС равен 72 см. AB = BC, AB:AC = 13:10. Найти радиус описанной около треугольника окружности.
![]() |
AB + BC + AC = 72, ![]() ![]() AC = 20, AB = BC = ![]() ![]() BN = NA = 13, ![]() ![]() ![]() Ответ: R = ![]() |
7. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной окружности 13 см. Найти боковую сторону треугольника.
![]() |
OC = 13, AC = 24, HC = 12
![]() ![]() BH = BO - OH =13 - 5 = 8 ![]() ![]() Ответ: ![]() |
8. Окружность, диаметром которой служит АС треугольника АВС, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найти отношение длины стороны АС к длине проведенной к ней медианы.
![]() |
AO = OC = R = OM, BM = 2R,
BO = 3R, ![]() Ответ: ![]() |
9. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
![]() |
SABCD = ![]() Т.к. окружность вписанная, то AB + CD = AD + BC = 20 h = 2r = 8, ![]() Ответ: 80. |
10. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если AB = , BD = 16.
![]() |
![]() ![]() AD = 32 По теореме об отрезках пересекающихся хорд: BO • OD = AO • OE, 8 • 8 = 16 • OE, OE = 4, CE = 16 - 4 = 12 Ответ: 12. |
IV. Задачи для самостоятельного решения.
1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Найдите больший катет треугольника.
Ответ: (6; 8).
2. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75о описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.
Ответ: (8).
3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота BH равна 12 и известно, что ,
.
Ответ: (4).
4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: (25).
5. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18.
Ответ: (6).
6. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM= 18, MK = 8, BK = 10.
Ответ: (15).
7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
Ответ: (12).
8. Угол В треугольника АВС равен 60о, радиус окружности, описанной около АВС, равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и С и центр окружности, вписанной в АВС.
Ответ: (2).
9. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Ответ: (11 : 7).
10. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к меньшему.
Ответ: ().
11. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке М, прямые AB и CD пересекаются в точке N. Известно, что ,
. Найти
и
.
Ответ: (66o, 42o).
12. Высоты AH и BK остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, . Найдите градусную меру угла ABO, где O - центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Ответ: (15o).
13. Около окружности описана равнобочная трапеция с основаниями 5 и 3. Найти радиус окружности.
Ответ: ().
14. В равнобедренный АВС с основанием BC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке M. Найдите радиус окружности, если AM = 6, BM = 24.
Ответ: (8).
15. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Через центр O вписанной в треугольник окружности проведен луч BO, пересекающий катет AC в точке M. Известно, что AM = ,
. Найдите гипотенузу и радиус окружности, описанной около треугольника.
Ответ: (24; 12).