Цель: Доказательство теоремы Пифагора и ее применение к решению задач.
Задачи:
- Образовательная: установить соотношение между сторонами прямоугольного треугольника через доказательство теоремы Пифагора;
- Развивающая: научить самостоятельно мыслить, делать выводы, обобщать изучаемый материал;
- Воспитательная: воспитывать внимательность, терпение и настойчивость.
Оборудование:
- Компьютер (для учителя)
- Мультимедийная установка
- Экран
- Учебник «Геометрия» автор Л.С. Атанасяна
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Здравствуйте, ребята, садитесь. Дежурный,
сообщите, кто отсутствует в классе. Спасибо.
– Ребята откройте свои тетради, запишите дату и
слова классная работа.
II. Проверка домашнего задания
– Начнем урок с проверки домашнего задания. Предлагаю ученику рассказать решение № 471, затем показываю слайд с этим решением и ставлю оценку ученику.
№471. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты:
а) а = 4 см, в = 11 см. в) а = 1,2 дм, в = 3 дм
(Приложение. Слайд 1 с решением домашнего задания)
Решение:
а) S = 1/2 · 4 · 11 = 22 (см2)
в) S = 1/2 · 1,2 · 3 = 0,6 · 3 = 1,8 (дм2)
Ответ: а) 22 см2, в) 1,8 дм2
Так же один из учащихся комментирует решение задачи, идет слайд 2 с правильным решением, ученику выставляется оценка.
№ 472 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12.
Решение:
Пусть в одной части х см., тогда а = 7х
см, в = 12х см.
Составим уравнение, используя формулу площади
прямоугольного треугольника:
S = 1/2 а в.
168 = 1/2 · 7х · 12х
168 = 42х2
х2 = 4
х = 2
Тогда, а = 7 · 2 = 14 (см), в = 12 · 2. = 24 (см)
Ответ: 14 см, 24 см.
Итак, ребята при решении этих задач, мы использовали формулу площади прямоугольного треугольника S = 1/2 ав (Приложение. Слайд 2)
III. Объяснение нового материала
Перейдем к изучению нового материала. Тема
сегодняшнего урока: «Теорема Пифагора». Запишем
тему урока в тетрадь. Ребята, теорема, которую нам
предстоит доказать, устанавливает
замечательное соотношение между гипотенузой
и катетами прямоугольного треугольника и
является важнейшей теоремой геометрии.
Итак,
теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с
катетами а, в и гипотенузой с. (Приложение. Слайд 3)
Докажем, что с2 = а2 + в2
Достроим данный прямоугольный треугольник до
квадрата со стороной а плюс в, то есть увеличим
длину каждого катета на длину другого катета, как
показано на рисунке
(Приложение. Слайд 4)
Площадь построенного квадрата равна S = (a + в)2
(1)
С другой стороны, этот квадрат составлен из 4-х
равных прямоугольных треугольников, площадь
каждого из которых равна S = 1/2 ав и квадрата со
стороны с, а значит его площадь равна S = 4 ·
1/2 ав + с2 = 2ав + с2
(2)
Левые части (1) и (2) равны, а значит, равны и правые,
то есть 2ав + с2 = (a + в)2
2ав + с2 = а2 + 2ав
+ в2
Вычтем из
левой и правой части равенства одинаковые
слагаемые и получим с2 = а2
+ в2
Что и требовалось доказать.
Интересна история теоремы Пифагора. В
истории развития математических идей древней
Греции Пифагор занимает почетное место. Пифагор
– древнегреческий ученый VI века до нашей эры. (Приложение. Слайд 5)
Хотя доказанная нами сейчас теорема и
связывается с именем Пифагора, она была
известна задолго до него. В вавилонских
текстах эта теорема встречается за 1200 лет до
Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее
доказательства, а само соотношение между
гипотенузой и катетами было установлено опытным
путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому,
нашел доказательство этого соотношения.
Сохранилось древнее предание, что в честь своего
открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по
другим свидетельствам – даже 100 быков. На
протяжении последующих веков были найдены
различные другие доказательства теоремы
Пифагора. В настоящее время их насчитывается
более 100.С одним из них мы уже познакомились, еще с
одним познакомимся в следующей главе. Если вы
заинтересуетесь, то другие доказательства
сможете найти в занимательной литературе по
математике.
IV. Закрепление изученного материала
А теперь, ребята, поучимся применять теорему
Пифагора при решении задач.
Решим задачу № 483 (б, г) и № 484 (а, г)
На каждую из четырех задач вызывается к доске
ученик, решает задачу, получает уточняющие
вопросы и ему выставляется комментируемая
оценка.
№483
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катета а и в.
б) а = 5, в = 6
Решение:
Применим теорему Пифагора: с2 = а2
+ в2
Подставим значение катетов: с2 = 52
+ 62 , с2 = 25 + 36, с2 =
61
Получаем, с = 
г) а = 8, в = 
Решение.
Подставим в уже написанную нами теорему
Пифагора значения катетов и найдем значение
гипотенузы. с2 = 82 + ()2, с2 = 64 + 64 · 3, с2
= 64 · (1 + 3), с2 = 64 · 4
с = 
= 8 · 2 = 16
Ответ: б) , г) 16
№484
В прямоугольном треугольнике а и в – катеты, с – гипотенуза. Найдите в, если: а) а = 12, с = 13
Решение.
Подставим данные в теорему Пифагора:
144 + в2 = 169
в2 = 25
в = 5
г) а = 
, с = 2в
в2 = с2 – а2, в2
= (2в)2 – ()2,
в2 = 4в2 – 4 · 3, 3в2
= 12, в2 = 4, в = 2
Ответ: а) 5, г) 2
V. Самостоятельная работа (5-7 минут)
1 вариант 2 вариант
1) Найти гипотенузу, если известны катеты а и в
а = 3, в = 4 а = 6, в = 8
2) Найти катет а, если известен другой катет и гипотенуза.
с = 10, в = 6 с = 13, а = 5
– Проверим решение своих задач. (Приложение. Слайд 6)
1 вариант 2 вариант
1) с2 = а2 + в2 , с2
= 9 + 16, с2 = 25, с =
5 1)
с2 = а2 + в2, с2
= 36 + 64, с2 = 100, с = 10
2) а2 = с2 – в2, а2
= 100 – 36, а2 = 64, а =
8 2)
в2 = с2 – а2, в2
= 169 – 25, в2 = 144, в = 12
– Молодцы ребята. Вы справились с задачами, то есть увидели применение теоремы Пифагора на конкретных примерах.
VI. Подведение итогов урока
– Ребята, сегодня на уроке мы не только
познакомились с доказательством одной из самых
знаменитых теорем, но и научились применять ее
при решении задач, большинство из вас справилось
с этими решениями, вы получили хорошие оценки за
урок.
– Запишем домашнее задание: п. 54, № 483 (в), № 484 (б, в,
д)
– Спасибо. Урок окончен.